高考数学一轮复习 不等式选讲课件 湘教版选修45.pptVIP

4 5 1含有绝对值的不等式4 5 2几个重要不等式的证明及其应用 选修4 5不等式选讲 知识点 考纲下载 绝对值不等式 几个重要不等式的证明及其应用 通过一些简单问题 了解证明不等式的基本方法 比较法 综合法 分析法 4 5 1绝对值不等式 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c ax b c 1 若不等式 ax 2 6的解集为 1 2 则实数a等于 a 8b 2c 4d 8 解析 由 ax 2 0时 有 8 a x 4 a 由已知得 8 a 1 4 a 2 无解 当a 0时 有4 a x 8 a 由已知得4 a 1 8 a 2 a 4 故选c 答案 c 5 若不等式 x 1 x 3 a 4 a对任意的实数x恒成立 则实数a的取值范围是 解析 当a 0时 显然成立 当a 0时 x 1 x 3 的最小值为4 a 4 a 4 a 2 综上可知a的取值范围是 0 2 答案 0 2 绝对值三角不等式定理 1 该定理可以强化为 a b a b a b 它经常用于证明含绝对值的不等式 2 当ab 0时 a b a b 当ab 0时 a b a b 这两个结论在解题时经常用到 应熟练掌握 答案 a 绝对值不等式的解法 绝对值不等式的证明 含绝对值不等式的证明题主要分两类 一类是比较简单的不等式 往往可通过公式法 平方法 换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式证明题 或利用绝对值三角不等式性质定理 a b a b a b 通过适当的添 拆项证明 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式 往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想 或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明 1 熟练掌握绝对值不等式的基本解法 2 充分利用绝对值的几何意义处理绝对值不等式 更直观 简捷 3 注意绝对值三角不等式的运用 本节内容在高考中主要考查至多含有两个绝对值的不等式的求解问题 绝对值三角不等式和简单的含绝对值不等式证明 其中绝对值不等式的解法是热点 题型为填空题和解答题 难度属中等偏易 1 2014 重庆卷 若不等式 2x 1 x 2 a2 1 2a 2对任意实数x恒成立 则实数a的取值范围是 解析 令f x 2x 1 x 2 则 当x5 当 2 x 12时 f x 2x 1 x 2 x 3 故5 2 f x 5 当x 1 2时 f x 2x 1 x 2 3x 1 5 2 综合 可知f x 5 2 所以要使不等式恒成立 则需a2 1 2a 2 5 2 解得 1 a 1 2 答案 1 1 2 2 2014 江西卷 x y r 若 x y x 1 y 1 2 则x y的取值范围为 时作业4 5 1 课时作业4 5 1 4 5 2几个重要不等式的证明及其应用 4 证明不等式的方法 1 比较法 求差比较法知道a b a b 0 ab 只要证明a b 0即可 这种方法称为求差比较法 求商比较法由a b 0 ab 1且a 0 b 0 因此当a 0 b 0时要证明a b 只要证明a b 1即可 这种方法称为求商比较法 2 分析法从待证不等式出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式 已知条件 定理等 这种证法称为分析法 即 执果索因 的证明方法 3 综合法从已知条件出发 利用不等式的有关性质或定理 经过推理论证 推导出所要证明的不等式成立 即 由因寻果 的方法 这种证明不等式的方法称为综合法 4 反证法的证明步骤第一步 作出与所证不等式相反的假设 第二步 从条件和假设出发 应用正确的推理方法 推出矛盾的结论 否定假设 从而证明原不等式成立 5 放缩法所谓放缩法 即要把所证不等式的一边适当地放大或缩小 以利于化简 并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显 从而得到欲证不等式成立 6 数学归纳法设 pn 是一个与自然数相关的命题集合 如果 1 证明起始命题p1 或p0 成立 2 在假设pk成立的前提下 推出pk 1也成立 那么可以断定 pn 对一切自然数成立 用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值 实质上就是利用基本不等式进行放缩 在放缩过程中要注意两点 一是要注意 放 或 缩 的结果是否为常数 二是要注意 放 或 缩 的过程中等号成立的条件是否满足 方法二 不等式证明 1 比较法 比较法是证明不等式的最基本 最重要方法之一 可分为差值比较 作差法 和商值 作商法 比较 2 综合法 从不等式的性质和有关定理 已知成立的不等式出发经过逻辑推理 最后达到要证明的结论 3 分析法 从待证的结论出发 逐步寻找使它成立的充分条件 直至找到一个明显成立的结论 分析法要注意叙述的形式 要证a 只需证b 这里b是a成立的充分条件 分析法和综合法是两种思路截然相反的证明方法 分析法便于寻找解题思路 综合法便于叙述 因而在解题中经常结合使用 1 证明不等式除了比较法 综合法 分析法 还可运用反证法 放缩法 数学归纳法等 证明不等式时既可探索新的方法 也可一题多证开阔思路 2 运用柯西不等式的关键是巧