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1 第九章无穷级数 第一节常数项级数的概念及其基本性质 第二节正项级数及其敛散性判别 第三节任意项级数 第四节幂级数 第五节函数的幂级数展开 第六节幂级数在数值计算中的应用 2 无穷级数是高等数学中不可缺少的组成部分之一 它是表 无穷级数包括常数项级数和函数项级数两大类 常数项级数 示函数 研究函数的性态 进行数值计算的一种有效工具 它无论对数学理论本身 还是对数学的应用都具有重要的作用 是函数项级数的基础 因此 本章先介绍常数项级数 然后介绍 函数项级数中最重要的一类级数 幂级数 3 第一节常数项级数的概念及其基本性质 一 常数项级数的概念 二 无穷级数的基本性质 4 教学目标 1 了解常数项级数的概念 掌握级数收敛与发散的定义 并能利用定义判别一些级数的敛散性 2 理解无穷级数的基本性质 5 一 常数项级数的概念 1 引例 6 即 来的表达式 2 级数的定义 7 例如 是一个级数 称为调和级数 其通项为 的前n项部分和 记为 即 8 9 即 即 10 即 11 解 于是 由于 12 从而 故 即该级数收敛 其和为 13 例2讨论几何级数 或等比级数 的敛散性 若收敛 则求出其和 14 当n为奇数时 15 故原级数发散 几何级数 综上所述有如下结论 16 证反证法 而 与前者矛盾 故调和级数发散 但 17 二 无穷级数的基本性质 且 证 则 18 注2两个无穷级数必须收敛才能相加 而不象有限项情形 逐项相加总是可行的 所以 故 19 也收敛于ca 证 20 一个不为零的数 所得级数与原级数具有相同的敛散性 注 注4 21 证因在级数中增加或去掉有限项 总可通过在该级数前 设在级数 中去掉前m项 则得级数 令两级数的部分和分别为 的敛散性 增加或去掉有限项来实现 故只须证在级数前增加或去掉有 限项而其敛散性不变 22 注5级数中前面增加或去掉有限项 级数的敛散性不变 前者是收敛的 后者是发散的 于是 若收敛于S 则 故级数收敛 23 性质4收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和 则设级数按某一规律加括号所得的新级数为 则 24 仍为收敛级数 注6此定理表明收敛级数适合结合律 即收敛级数加括号 注7其逆否命题为 若加括号后所成的级数发散 则原级数也发散 注8发散级数加括号后级数有可能收敛 即 加括号后所 成的级数收敛 原级数不一定收敛 25 是收敛的 注9收敛级数去括号后不一定收敛 但将相邻的两项加括号后所得级数 注10各项均非负的级数 无论加括号还是去括号 都不影响其敛散性 26 注11其逆否命题为 则 27 注12 仅是收敛的必要条件而非充分条件 即 收敛级数通项必有 但通项极限为零的级数却不 一定收敛 解 因为 28 解 1 因为 29 29 机动目录上页下页返回结束 作业 P1001 2 3 30 内容小结 1 级数的概念 级数收敛与发散的定义 2 常见级数 几何级数 调和级数 的敛散性 3 级数的基本性质 4 判别
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