2011年高考数学一轮复习专题 第九章 直线与圆的方程 第二节理 课件苏教版

第二节两直线的位置关系 交点 距离 第九章直线与圆的方程 课前自主学案 知识梳理 1 直线与直线的位置关系 1 平行与垂直 若直线l1和l2有斜截式方程l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 则 直线l1 l2的充要条件是 直线l1 l2的充要条件是 若l1和l2都没有斜率 则l1与l2 若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0 则 2 相交 交点 直线l1 A1x B1y C1 0和l2 A2x B2y C2 0的公共A1x B1y C1 0点的坐标与方程组的解一一对应 A2x B2y C2 0 相交 平行 重合 2 点与直线的位置关系 若点P x0 y0 在直线Ax By C 0上 则有 若点P x0 y0 不在直线Ax By C 0上 则有 3 两点间的距离公式 已知A x1 y1 B x2 y2 则 AB 4 点与直线 平行线间距离 1 点P x0 y0 到直线l Ax By C 0的距离 d 2 两平行线l1 Ax By C1 0和l2 Ax By C2 0之间的距离 d 5 直线系 1 共点直线系方程 l1 A1x B1y C1 0 过两直线的交点的直线系方程l2 A2x B2y C2 0A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 为参数 A2x B2y C2 0不包括在内 2 平行 垂直直线系 Ax By m 0 m为参数 表示与Ax By C 0平行的直线系 Bx Ay n 0 n为参 表示与Ax By C 0垂直的直线系 基础自测 1 2008年全国卷 原点到直线x 2y 5 0的距离为 A 1B C 2 D 2 2009年吉林模拟 m 1 是 直线mx 2m 1 y 1 0和直线3x my 3 0垂直 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 当m 1时 k1 k2 3 k1 k2 1 l1 l2 但当l1 l2时 有3m m 2m 1 02m2 2m 0 m 0或 1 选A 答案 A 3 2009年厦门模拟 已知l1 2x my 1 0与l2 y 3x 1 若两直线平行 则m的值为 4 直线l1 5x 2y 3 0和l2 3x 5y 8 0的交点 的坐标是 课堂互动探究 已知两直线l1 x 2y 6 0 l2 2 x 3 y 2 0 若l1 l2 求实数m的值 解析 法一 当m 0时 l1 x 6 0 l2 x 0 l1 l2 当m 0时 l1 y l2 由故所求实数m的值为0或 1 法二 直线l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0平行的等价条件是 A1B2 A2B1 0且B1C2 B2C1 0或A1C2 A2C1 0 由所给直线方程可得 1 3m m2 m 2 0且1 2m 6 m 1 0 m m2 2m 3 0且m 3 m 0或 1 故所求实数m的值为0或 1 变式探究 1 2009年柳州模拟 已知两条直线l1 ax 3y 3 0 l2 4x 6y 1 0 若l1 l2 则a 解析 两条直线l1 ax 3y 3 0 l2 4x 6y 1 0 l1 l2 则a 2 答案 2 已知两直线l1 ax 2y 6 0和l2 x a 1 y a2 1 0 若l1 l2 求实数a的值 解析 法一 由直线l1的方程知其斜率为 当a 1时 直线l2的斜率不存在 l1与l2不垂直 当a 1时 直线l2的斜率为 由 1 a 故所求实数a的值为 法二 直线l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0垂直的等价条件是A1A2 B1B2 0 由所给直线方程可得 a 1 2 a 1 0a 故所求实数a的值为 点评 1 若直线l1和l2有斜截式方程l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 则 直线l1 l2的充要条件是k1 k2 1 2 设l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 则 l1 l2 A1A2 B1B2 0 变式探究 2 已知两条直线y ax 2和y a 2 x 1互相垂直 则a A 2 B 1 C 0D 1 解析 两条直线y ax 2和y a 2 x 1互相垂直 则a a 2 1 即a 1 故选D 答案 D 点到直线的距离公式及应用 已知点P 2 1 求 1 过P点与原点距离为2的直线l的方程 2 过P点与原点距离最大的直线l的方程 最大距离是多少 解析 1 过P点的直线l与原点的距离为2 而P点坐标为 2 1 可见过P 2 1 垂直于x轴的直线满足条件 其方程为 x 2 若斜率存在 设l的方程为y 1 k x 2 即 kx y 2k 1 0 由已知 得 2解得k 这时l的方程为3x 4y 10 0 综上 可得直线l的方程为x 2或3x 4y 10 0 解析 2 P点在直线l上 原点到直线l的距离d OP 过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线 由l OP 得kl kOP 1 kl 2 得直线l的方程为2x y 5 0 即直线2x y 5 0是过P点且与原点O距离最大的直线 最大距离为 解析 1 法一 设过点P 2 2 的直线l1方程为 Ax By C1 0 过点Q 1 3 的直线l2方程为Ax By C2 0 由于点P Q在直线上 得 2A 2B C1 0 A 3B C2 0 两式相减得C1 C2 3A 5B 两直线间的距离为 d 即 d2 9 A2 30 d2 25 B2 0 当B 0时 两直线斜率存在 有 d2 9 30 d2 25 0 由d 0及 0得 30 2 4 d2 9 d2 25 0 从而0 d 当B 0时 两直线分别为x 2 与x 1 它们间的距离为3 满足上述结论 综上所述 d的取值范围是 0 法二 两平行直线在旋转过程中 0 d PQ 而PQ 故d的取值范围是 0 2 当d 时 k 对应两条直线分别为l1 3x 5y 16 0 l2 3x 5y 18 0 两直线的交点 已知两直线l1 2x my 4 0和l2 2mx 3y 6 0的交点为P x0 y0 1 若点P在第二象限 求实数m的取值范围 2 证明 4x20 3y20 8x0 6y0 0 3 是否存在实数k 使对m R 点P x0 y0 均不在直线y kx上 说明理由 解析 1 由2x my 4 0 解得两直线的交点坐标为2mx 3y 6 0 由交点在第二象限知其横坐标为负 纵坐标为正 则 2 证明 由点P x0 y0 在两直线l1 l2上知 2x0 my0 4 0 my0 2x0 42mx0 3y0 6 0 2mx0 3y0 6 2x0 2x0 4 y0 3y0 6 4x20 8x0 3y20 6y0 0 3 由 1 知点P的坐标为 点P均不在直线y kx上 等价于关于m的方程 无解 方程4m 6 k 3m 6 无解 4 3k m 6 6k 0无解 即4 3k 0且6 6k 0 解得k 故存在实数k 使 m R 点P x0 y0 均不在直线y x上 变式探究 4 已知两直线l1 5x 4y 2m 1 l2 2x 3y m的交点为P x0 y0 1 若点P在第四象限 求实数m的取值范围 2 证明点P x0 y0 在直线 x 2y 1上 3 求点P x0 y0 到原点距离的最小值 解析 5x 4y 2m 1 x0 2m 3 1 由2x 3y m y0 m 2 x0 0 2m 3 0由 m 2 y0 0 m 2 0 故所求实数m的取值范围是 解析 2 x0 2y0 2m 3 2 m 2 1 点P x0 y0 的坐标满足直线方程x 2y 1 即点P在直线x 2y 1上 3 点P x0 y0 在直线x 2y 1上 点P到原点的距离 OP 的最小值即为原点到直线x 2y 1的距离d 而d 故 OP 的最小值为 温馨提示 1 要认清直线平行 垂直的充要条件 应特别注意对x y的系数中一个为零的情况的讨论 2 点到直线的距离公式是一个基本公式 它涉及绝对值 直线垂直 最小值等内容 3 在判断两直线的位置关系时 也可利用直线方程的一般式 由系数间的关系直接做出结论 设l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 1 l1 l2 2 l1与l2相交 3 l1与l2重合 4 l1 l2 A1A2 B1B2 0 4 判断两直线的位置关系时 要注意斜率不存在的情况 5 在运用公式d 求平行直线间的距离时 一定要把x y前面的系数化成相等 题型展示台 2009年全国卷 若直线m被两平行线l1 x y 1 0与l2 x y 3 0所截得的线段的长为2 则m的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 写出所有正确答案的序号 解析 两平行线间的距离为d 由图知直线m与l1的夹角为30 l1的倾斜角为45 所以直线m的倾斜角等于30 45 75 或45 30 15 答案 2009年江西卷 设直线系M xcos y 2 sin 1 0 2 对于下列四个命题 A M中所有直线均经过一个定点 B 存在定点P不在M中的任一条直线上 C 对于任意整数n n 3 存在正n边形 其所有边均在M中的直线上 D M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 写出所有真命题的代号 解析 因为xcos y 2 sin 1 所以点P 0 2 到M中每条直线的距离 d 即M为圆C x2 y 2 2 1的全体切线组成的集合 从而M中存在两条平行直线 所以A错误 又因为 0 2 点不存在任何直线上 所以B正确 对任意n 3 存在正n边形使其内切圆为圆C 故C正确 M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF 故D错误 故命题中正确的序号是BC 答案 BC 题型训练 1 已知三条直线l1 2x y a 0 a 0 l2 4x 2y 1 0 l3 x y 1 0 且l1与l2的距离为 1 求a的值 2 能否找到一点P 使得点P同时满足以下三个条件 点P是第一象限的点 点P到l1的距离是点P到l2距离的 点P到l1的距离与点P到l3距离之比为 若能 请求出点P的坐标 若不能 请说明理由 解析 1 将直线l2的方程化为l2 2x y 0 因为l1 l2 由两平行线间的距离公式可得l1与l2之间的距离为由此解得a 3 因为a 0 所以舍去a 4 2 假设满足条件的点P存在 且其坐标为P x0 y0 由条件 可知 即4x0 2y0 13 0或12x0 6y0 11 0 由条件 可得 即 x0 2y0 4 0或3x0 2 0 由条件 可知点P在第一象限 所以3x0 2 0不合题意 舍去 4x0 2y0 13 0 x0 3解方程组得不合题意舍去 解方程组x0 2y0 4 0 y0 12x0 6y0 11 0 可得x0 2y0 4 0 所以点就是同时满足三个条件的点P 2 已知n条直线lk x y Ck 0 k 1 2 n 其中 C1 C2 Cn l1 l2 ln中每两条之间距离依次为2 3 4 n 1 求Cn 2 求ln与x轴 y轴围成图形的面积 3 求ln 1与ln及