2011年高考数学一轮复习 第2章《函数与导数》函数及其表示精品课件

学案1函数及其表示 返回目录 1 函数的基本概念 1 函数定义设集合A是一个非空的 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合A中的任意一个数x 在集合B中都有的数f x 和它对应 那么就称f A B为从集合A到集合B的一个函数 记作 数集 唯一确定 y f x x A 考点分析 返回目录 2 函数的定义域 值域在函数y f x x A中 x叫做自变量 x的取值范围A叫做函数的 与x的值相对应的y值叫做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函数的 显然 值域是集合B的子集 3 函数的三要素 和 4 相等函数 如果两个函数的相同 并且完全一致 则这两个函数相等 这是判断两函数相等的依据 2 函数的表示法表示函数的常用方法有 和 定义域 值域 定义域 值域 对应法则 定义域 对应关系 解析法 图象法 列表法 3 映射的概念设A B是两个非空的集合 如果按照某一个确定的对应关系f 使对于集合A中的任意一个元素x 在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 则称对应f A B是集合A到集合B的一个 4 由映射的定义可以看出 映射是概念的推广 函数是一种特殊的映射 要注意构成函数的两个集合A B必须是 非空数集 返回目录 映射 函数 返回目录 考点一函数的概念 下列四组函数中 f x 与g x 是否为同一函数 为什么 1 f x lgx g x lgx2 2 f x x g x 3 f x g x logaax 4 f x lgx 2 g x lg 分析 判断两个函数是否为同一函数 关键是判断它们的对应法则 定义域和值域是否分别相同 如果有一个不同 它们便不是同一函数 题型分析 返回目录 解析 1 f x 的定义域为 0 g x 的定义域为 0 0 定义域不同 故f x 与g x 不是同一函数 2 函数f x 的值域为 g x 的值域为 0 值域不同 故f x 与g x 不是同一函数 3 因为f x x x 0 g x x x R 定义域不同 故f x 与g x 不是同一函数 4 因为f x lgx 2 x 0 g x lg lgx 2 x 0 所以f x 与g x 的对应法则 定义域和值域都分别相同 故它们是同一函数 评析 1 只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时 这两个函数才是同一函数 换言之就是 定义域不同 两个函数也就不同 对应法则不同 两个函数也是不同的 即使定义域和值域都分别相同的两个函数 它们也不一定是同一函数 因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则 2 函数的对应法则可以化简 例如题型一 3 4 中的函数 再比如函数f x x 和g x 从表面上看它们的对应法则不同 但实质上是相同的 3 当一个函数的对应法则和定义域给定后 它的值域便随之确定 所以 函数的三要素可简化为定义域 对应法则两要素 返回目录 返回目录 对应演练 判断下列各组函数是否为同一函数 1 f x x2 2x 1 g t t2 2t 1 2 f x g x x 1 3 x 1 1 x 0 x 1 0 x 1 g x f 1 x 4 f x 返回目录 1 两函数的定义域 值域 对应法则均相同 所以它们是同一函数 2 y x 1 但x 1 而y x 1中x R 所以它们不是同一函数 3 函数f x 的定义域为 x x 0 而函数g x 的定义域为 x x 1或x 0 它们的定义域不同 所以不是同一函数 x 1 0 x 1 x 1 1 x 0 f x 与g x 定义域 值域 对应法则分别相同 故它们是同一函数 4 g x f 1 x 返回目录 考点二映射的概念 下列对应是否为从A到B的映射 1 A R B R f x y 2 3 A x x 0 B R f x y y2 x 4 A 平面 内的矩形 B 平面 内的圆 f 作矩形的外接圆 返回目录 解析 1 当x 1时 y值不存在 所以不是映射 2 A B两集合分别用列举法表述为A 2 4 6 由对应法则f a b 是映射 3 不是映射 如A中元素1有两个象 1 4 是映射 分析 解此题需要明确以下两点 集合A的元素是什么 什么是A到B的映射 评析 欲判断对应法则f A B是否是从A到B的映射 必须做两点工作 明确集合A B中的元素 根据对应法则判断A中的每个元素是否在B中能找到唯一确定的对应元素 返回目录 返回目录 对应演练 设A 0 1 2 4 下列对应法则能构成A到B的映射的是 A f x x3 1B f x x 1 2C f x 2x 1D f x 2x C 由映射的定义知C满足题意 故应选C C 考点三求函数解析式 根据下列条件分别求出函数f x 的解析式 1 2 f x 2 x2 3x 1 3 f x 2 3x 4 已知二次函数f x 满足f 3x 1 9x2 6x 5 求f x 返回目录 分析 1 可用配凑法 2 可将x 2看作一个整体 根据函数的定义 寻找x2 3x 1与x 2的对应关系 3 因考虑到x与的倒数关系 可通过解方程组来求解析式 4 可用待定系数法求解析式 但此题也可采用多种方法 返回目录 解析 1 因又 2或 2 则f x x2 2 x 2 2 返回目录 2 令x 2 t 则x t 2 代入已知得f t t 2 2 3 t 2 1 t2 7t 11 所以f x x2 7x 11 x R 3 由已知f x 2f 3x 以代替 中的x 得f 2f x 由 解得f x x x 0 4 解法一 换元法 令3x 1 t 则x f t 9 6 5 t2 2t 1 2t 2 5 t2 4t 8 f x x2 4x 8 返回目录 解法二 配凑法 f 3x 1 9x2 6x 5 3x 1 2 12x 4 3x 1 2 3x 1 8 f x x2 4x 8 解法三 待定系数法 设f x ax2 bx c a 0 则f 3x 1 a 3x 1 2 b 3x 1 c 9ax2 6a 3b x a b c f 3x 1 9x2 6x 5 9ax2 6a 3b x a b c 9x2 6x 5 9a 9a 16a 3b 6b 4a b c 5 c 8 f x x2 4x 8 比较两端系数 得 返回目录 评析 1 求解析式的目标就是求定义域与值域中对应元素的对应关系式 2 换元法求解析式时 要注意换元变量范围应保持一致 例如 已知f cosx cosx 求f x 可求得f x x 但此处应有 x 1 3 求解析式的几种常见方法 代入法即已知f x g x 求f g x 用代入法 只需将g x 替换f x 中的x即得 换元法已知f g x g x 求f x 用换元法 g x t 解得x g 1 t 然后代入f g x 中即得f t 从而求得f x 当f g x 的表达式较简单时 可用 配凑法 其实质是换元素 返回目录 待定系数法当函数f x 类型确定时 可用待定系数法 如 已知f x 是一次函数 且满足3f x 1 2f x 1 2x 17 求f x 解析 因为已知f x 是一次函数 故可设f x ax b 从而根据题意列出恒等式 确定a b的值 解 设f x ax b 则3f x 1 2f x 1 3ax 3a 3b 2a 2b 2ax ax b 5a 2x 17 所以a 2 b 7 所以f x 2x 7 方程组法方程组法求解析式的实质是用了对称的思想 一般来说 当自变量互为相反数 互为倒数或是函数具有奇偶性时 均可用此法 在解关于f x 的方程时 可作恰当的变量代换 列出f x 的方程组 求得f x 如 已知f x 满足f x 2f x x 求f x 的解析式 解 f x 2f x x 用 x替换x得f x 2f x x 联立 消去f x 即得f x x 返回目录 对应演练 根据下列条件分别求出函数f x 的解析式 1 f 1 x 2 2 f x 为二次函数且f 0 3 f x 2 f x 4x 2 返回目录 1 令t 1 t 1 x t 1 2 则f t t 1 2 2 t 1 t2 1 即f x x2 1 x 1 2 设f x ax2 bx c a 0 f x 2 a x 2 2 b x 2 c 则f x 2 f x 4ax 4a 2b 4x 2 4a 4a 14a 2b 2 b 1 又f 0 3 c 3 f x x2 x 3 返回目录 返回目录 考点四分段函数 x2 x 01 x 0 x 0 1 画出函数的图象 2 求f 1 f 1 f f 1 的值 分析 考虑特殊函数的图象在某区间内的形状 特别要注意区间的端点处 已知函数f x 返回目录 评析 分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的 处理分段函数的问题时 首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段 从而选相应的关系式 对于分段函数 注意处理好各段的端点 解析 1 分别作出f x 在x 0 x 0 x 0段上的图象 如图所示 作法略 2 f 1 12 1 f 1 1 f f 1 f 1 1 返回目录 对应演练 如图 OAB是边长为2的正三角形 直线x t 0 t 2 截这个三角形所得的位于此直线左方的图形的面积为f t 1 求函数y f t 的解析式 并指明它的定义域 2 求函数y f t 的值域 返回目录 1 当0 t 1时 所截图形是一个直角三角形 其面积f t t2 tan60 t2 当1 t 2时 所截图形是一个四边形 它的面积可由正三角形OAB的面积减去一个直角三角形的面积来计算 即f t 2 2 t 2 t tan60 2 t 2 当t 2时 所截图形即 OAB f t t2 0 t 1 2 t 2 1 t 2 此函数的定义域为 0 2 综上 f t 返回目录 2 当0 t 1时 0 t2 当1 t 2时 2 t 2 故函数f t 的值域为 0 返回目录 正确理解函数的概念是掌握好本学案内容的关键 函数的本质是一种特殊对应关系 它的特殊性在于 1 它是非空数集到非空数集的对应 2 定义域中的每个元素只有一个函数值 3 定义域中的每个元素一定有函数值 确定一个函数需要三个要素 定义域 对应法则 值域 对应法则是规定元素对应关系的法则 它不一定能够用解析式表示 如列表法和图象法表示的函数 对于f x 可以理解为根据对应法则f 自变量x对应的 高考专家助教 函数值 也可以理解为根据对