高中数学34.doc

/2003年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题 (本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。)1. 删去正整数数列1，2，3，中的所有完全平方数，得到一个新数列这个数列的第2003项是 【答】（ ）（A）2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049yxyxxyyx2. 设那么直线和曲线的图形是【答】（ ） (A) (B) (C) (D)3. 过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线. 若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与轴交于P点，则线段PF的长等于 【答】（ ）（A） (B) (C) (D) 4若则的最大值是 【答】（ ） （A） (B) (C) (D) 5. 已知在区间内，且则函数的最小值是 【答】（ ）（A） (B) (C) (D) 6. 在四面体ABCD中设，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于 【答】（ ）（A） (B) (C) (D) 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。7不等式的解集是_8设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积等于_.9. 已知 若，则实数的取值范围是_.10. 已知均为正整数，且若，则_.11. 将八个半径都为的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于_.12设是中元素的个数，是中所有元素的和，则_三、解答题 （本题满分60分，每小题20分）13 设 证明不等式 14设A,B,C分别是复数（其中都是实数）对应的不共线的三点. 证明：曲线 与中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点. 15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A, 且OA=a, 折叠纸片，使圆周上某一点刚好与A点重合. 这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当取遍圆周上所有的点时，求所有折痕所在直线上点的集合.2003年全国高中数学联赛加试试题第二试一、（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A, B. 所作割线交圆于C, D两点，C在P, D之间. 在弦CD上取一点Q, 使 求证：二、（本题满分50分）设三角形的三边长分别是整数且已知其中而表示不超过的最大整数. 求这种三角形周长的最小值.三、（本题满分50分）由n个点和这些点之间的条连线段组成一个空间四边形，其中已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有条连线段. 证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A,B,C,D和四条连线段AB,BC,CD,DA组成的图形）2003年全国高中数学联赛第一试参考答案一、选择题123456CBACDB提示：1. 注意到,故;2. 题设方程可化为和,观察图形可知；3. 易知直线AB的方程为,因此A,B两点的横坐标满足方程,从而弦AB中点的横坐标为,纵坐标,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P的横坐标即PF=；4. 原函数可化为,可以证明函数在已知的区间上为增函数，故当时，y取最大值;5. 消去y之后可得：,用基本不等式可求得函数u的最小值;6. 可用等积法求得，过程略。二、填空题7. . 提示： 原不等式可以化为:8. 4 是直角三角形，故的面积为;9. 提示：,令,则只需在（1，3）上的图象均在x轴的下方，其充要条件是,由此推出;1093 提示： 由已知得,又 ，故,推得,;11 提示：如图，上下层的四个球的球心A1,B1,C1,D1,A,B,C,D分别是上下两个边长为2的正方形的顶点，且以它们的外接圆为上下底面构成圆柱，同时A1在底面上的射影M为弧AB的中点。由于A1A=A1B=AB=2, , ,求得 ,故所求的高为 ； 12 提示： ,三、解答题13证明：由可得当且仅当a=b=c=d时取等号 5分则 15分因为不能同时相等，所以 20分14设,则代入并由复数相等可得即因为A,B,C不共线 ，所以,可见所给曲线是抛物线段（图略）5分AB,BC的中点分别是,；所以DE的方程为 10分联立两式得,得 ,注意到,所以抛物线与中平行于AC的中位线DE有且只有一个公共点，此点的坐标为,相应的复数为 15分15如图建立直角坐标系，设,MN为AA1的中垂线，设P（x,y）是MN上任一点，则|PA|=|PA1| 5分代入推得 10分可得其中,. 所以 15分平方后可化为所求点的集合为椭圆外（含边界）部分。20分北京上门一对一物理家教北京上门一对一物理家教辅导老师NO.1:大学期间获得多次一等奖学金，尤其擅长化学高考141分，能快速理清化学脉络，抓住核心难点进行讲解，单科优秀，物理高考128分，擅长高中家教，曾带过三名高中理科学生，成绩均有显著提高，以优异成绩考入中科院研究生院化学学院，专业物理化学。 北京上门一对一物理家教辅导老师NO.2:特别擅长辅导初高中化学家教，已经带过八名高中学生的物理化学，化学高考146分（江苏满分150分），能快速理清化学脉络，讲清楚高中化学所有重难点，特别是高考常考知识点，曾带过多名理科学生，成绩均有显著提高，正在带一名高一的数学物理化学和三名高三的化学学员。 北京上门一对一物理家教辅导老师NO.3:理工科出身，数学家教、物理家教擅长，化学基本功扎实。善于举一反三，对