企业退休职工养老金制度的改革.doc

企业退休职工养老金制度的改革摘要本文研究了养老保险管理中要实现的目标替代率、养老保险基金收支平衡的问题.对于问题一：根据经济发展规律以及发达国家的经济发展现状可知，当经济发展到一定程度后，受到的阻滞越来越大，增长趋于平缓.由于工资和经济增长相关，假设工资的增长率是减函数，因此运用Logistic模型描述工资的变化，结合附件1的数据算出参数，预测出从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资，其中2035年的山东省职工的年平均工资为205020元，其余见文中表2.对于问题二：取附表2中各段收入范围的平均值作为该段的工资收入，利用数学期望算出各年龄段月平均工资，然后对这些数据进行多项式拟合，估算出60-65岁年龄段平均工资.由2009年各年龄段月平均工资结合问题1中每年工资的增长率，估算出各个年龄段在2000-2035年的月平均工资.我们给出了刚退休时养老金的计算模型，计算各种情况下的养老金替代率，如下表：30岁开始缴养老金替代率40岁开始缴养老金替代率55岁退休34%55岁退休22%60岁退休44%60岁退休30%65岁退休60%65岁退休41%对于问题三 给出了退休后若干年缴存养老保险基金、领取的养老金累积额的计算公式，并建立了养老金的收支平衡模型.通过计算得出：30岁职工分别在55岁，60岁，65岁退休并在75岁死亡时产生的缺口分别为：577816元，557472元，192650元，并且分别在64岁,69岁，74岁时养老金达到收支平衡.对于问题四，结合问题二和问题三的结果，既要维持养老金收支平衡，又要到达目标替代率，提出措施如下：适当推迟退休年龄，提高个人账户的收益率，鼓励提早参加养老保险等.关键词：Logistic 模型 多项式拟合 收支平衡 替代率 养老金一问题重述我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额（20%）按一定比例缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户.这两个账户我们合称为养老保险基金.退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金.养老金会随着社会平均工资的调整而调整. 养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡.影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率.替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口.需要解决的问题：1.对未来中国经济发展和工资增长的形势给出简化、合理的假设，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资.2.考虑企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率.3.计算给定条件下的养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡.4. 若既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，则应采取什么措施. 二、问题分析问题一：根据我国经济发展规律以及发达国家的经济发展现状，可知当经济发展到一定程度后，就趋于一种缓慢的增长趋势.分析其原因，我们发现经济增长到一定程度后，受到人口因素、能源因素及环境因素等因素的影响就越大，因而对经济发展的增长起着阻滞作用，并且随着经济的增长，阻滞的作用就越来越大. 由于工资和经济增长相关，假设工资的增长率是减函数，因此我们可以考虑应用Logistic模型描述工资的变化.结合附件1的数据算出参数，预测出从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资.运用此模型估算出1978-2010历年平均工资，与实际值进行对比分析，评价此模型.问题二：取附表2中各段收入范围的平均值作为该段的工资收入，利用数学期望算出各年龄段月平均工资，然后对用最小二乘法对这些数据进行多项式拟合，估算出60-65岁年龄段月平均工资.由2009年各年龄段月平均工资结合山东省职工的历年工资的增长率，估算出各个年龄段在2000-2035年的工资.我们将给出刚退休时养老金的计算模型，计算各种情况下的养老金替代率.问题三：为考虑职工不同情况下退休时，到75岁死亡，养老基金的缺口情况，以及养老金领取到多少岁时，缴存与支取的养老金达到收支平衡.我们计算出该员工退休后年累计领取的养老金总额，以及其缴存的养老基金.给出养老保险基金收支平衡时的模型：当该员工在退休年后，养老金缺口为：问题四：为给出既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡的措施，我们主要结合问题二、问题三的求解结果.对其进行总结、推理，得出影响替代率和养老保险基金收支平衡的因素，从而给出相应的措施.三、模型假设1未来经济增长良好，没有大范围失业情况发生；3领取养老金和缴纳养老金是在每年1月1日；4年度每月工资不发生变化； 5. 该企业职工的年平均工资的增长率与山东省职工的年平均工资的增长率一致； 6. 不出现职工退休前死亡的情形； 7. 不出现因企业破产或经济困难造成的，拖欠或不交基础养老金以及退保等情形； 8. 各参保人员所有年度都缴足12个月，并从开始缴养老金到退休为止每年都缴； 9. 个人账户利率按复利计算.四、定义与符号说明：基础养老金； ：个人账户存储总额；：养老金替代率； ：个人账户养老金；：职工退休时的养老金； ：缴费年限；：个人账户养老金计发月数； ：银行月利率 ：银行年利率，统一取3%； ：社会统筹账户缴费比例，2005年前取0.17，2005年后取0.2；：个人账户的缴费比例，2005年前取0.11，2005年后取0.08；：职工在退休前年时的缴费工资额；：职工退休前年时企业平均工资；：职工退休后年时个人账户存储总额；：职工退休后年共领取的养老金总额：职工退休年后，养老基金；其余符号见文中五、模型的建立与求解问题一的模型建立与求解：通过问题分析，我们可以得出随着经济的发展对职工平均工资的阻滞作用主要体现在对其增长率的影响：随着职工平均工资的增加而下降.若将表示为的函数，则它应是减函数.建立如下阻滞增长型模型： （1） 其中 这里为工资的固有增长率，表示职工工资很少时的增长率，表示工资的饱和值，为初始时刻时的职工工资.方程（1）右端体现了职工工资自身的增长趋势，因子则体现了工资的阻滞作用.显然越大，前一因子越大，后一因子越小，职工工资的增长就是两个因子共同的结果.应用变量分离法，求解（1）可以得到： （2） 为了计算式中的，选取，三年的，其中，由:，得到： （3） 由于数据取自1978至2010年，为此选择1980、1995、2010间距相等的3个年份.代入式（3）得： 将代入（2）得：平均工资变化的趋势函数： （4）将该函数与所给数据拟合（程序见附录1），作出图像如下（见图1）：图1应用该函数预测出1978年至2035年的山东省职工的年平均工资(见表1，表2)表1：1978至2010年山东省职工的年平均工资 单位：元年份实际年平均工资预测年平均工资误差值年份实际年平均工资预测年平均工资误差值197856657591995514551505197963265523199658095848391980745746119976241663839719817558499419986854753367919827699661971999765685438871983789110031120008772968391119849851252267200110007109699621985111014253152002113741241710431986131316213082003125671404614791987142818444162004143321587315411988178220983162005166141792013061989192023574372006192282020998119902150271556520072284422762821991229230877952008264042560280219922601351090920092968828752936199331493989840201032074320740199443384533195表2：2010至2035年山东省职工的年平均工资 单位：元年份社会年均工资年份社会年均工资20103207420231111302011360722024119880201240281202512809020134488120261362902014498822027144400201555292202815236020166111220291601202017673372030167610201873950203117479020198093020321816202020882432033188070202195848203419413020221037002035205020根据山东省职工历年平均工资拟合图像与表格中可以看出，拟合效果比较理想.从图像中可以看出山东省在21世纪中叶时职工月平均大致为25万左右，已经达到中等发达国家水平.我们可以看出该模型整体上来说还是可以用来描述未来中国经济发展和工资增长的形势.问题二的模型建立与求解： 根据养老金的计算办法可知：替代率受退休前一年的职工工资，基础养老金，以及个人帐户养老金三部分影响.2.1、数据准备 取附表2中各段收入范围的平均值作为该段的工资收入，统计出每个年龄段在各段收入的频率，利用数学期望算出2009年各年龄段月平均工资.通过计算，可以得出2009年各年龄段职工的平均工资、该企业平均工资、职工缴费指数，见下面表3：表3：2009年各年龄段职工的月平均工资、职工缴费指数 单位：元年龄段月平均工资职工缴费指数20-24岁职工数17270.6725-29岁职工数20770.8130-34岁职工数25350.9835-39岁职工数27521.0640-44岁职工数30261.1745-49岁职工数32681.2650-54岁职工数31181.2155-59岁职工数29801.15由2009年各年龄段月平均工资结合问题1中每年工资的增长率，估算出各个年龄段2000-2035年的工资我们通过分析，对该企业2009年各年龄段的月平均工资进行多项式拟合（程序见附录2），拟合多项式为：拟合图形见图2用该多项式估算出2009年该企业60-64岁年龄段：月平均工资为：2533元同样利用2009年各年龄段的职工缴费指数用多项式拟合估算出60-64岁年龄段缴费指数为：0.96图2我们假设该企业职工工资每年增长幅度与山东省职工年工资增长幅度相同，可以由2009年该企业各个年龄段的平均工资估算出该企业各年龄段2000-2035年的月平均工资（结果见附录3），则可以整理出该企业30、40岁职工2000年以后的历年的工资如下（见表4、表5）：表4：30岁职工各年的月平均工资 单位：元年份工资额年份工资额年份工资额200074920124097202412567200185420134565202512826200297120145074202613647200310732015606820271445920041223201667072028152572005153920177390202916034200617812018811620301430120072116201988822031149132008244620209250203215496200927502021100472033160462010326220221087120341656320113669202311649表5：40岁职工各年的月平均工资 单位：元年份工资额年份工资额年份工资额20008922009325820187405200110182010336220198104200211572011378120207529200312782012422320218178200414582013470520228848200518232014522920239482200621102015553720241022820072507201661192008289820176743由于各年龄段职工的月工资增长率与该企业职工平均工资的增长率是相同的，因而我们可以认为各年龄段平均缴费指数是不变的.2.2、养老金替代率的计算公式：职工退休时的养老金由两部分组成：养老金=基础养老金+个人账户养老金基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）2缴费年限1%计算公式如下：个人账户养老金=个人账户存储额计发月数我们假设某职工退休前年的每个月的缴费金额为，表示个人账户的缴费比例(2005前为0.11，之后为0.08)， 表示国家规定的个人账户计发月数，月利率，则退休前年存的工资额到退休时的本息和为，职工自缴费之日起至退休时个人账户累计额为： （5）由此我们可以得出退休时养老金: （6）养老金的替代率计算公式为： （7）2.3问题的解答：运用上述公式（5）、（6）、（7）计算可以得出30岁，40岁不同年龄开始缴养老金时在不同年龄退休时的养老金，替代率整理得出如下表格（见表6、表7）：表6: 30岁时在不同年龄退休的情况 单位：元30岁时交养老保险金养老金退休前一年时的工资替代率55岁退休42701261234%60岁退休70801610544%65岁退休98521665560% 表7: 40岁时在不同年龄退休的情况 单位：元40岁时交养老保险金养老金退休前一年时的工资替代率55岁退休1133526822%60岁退休2409820630%65岁退休42051031241%从表中可以看出：30岁开始缴纳养老金，在65岁退休时，目标替代率为60%，比较接近国家的目标替代率，比较理想.问题三的模型建立与求解：养老金收支平衡的办法是以交费期的收入满足若干年后退休养老金的支付.3.1 退休后年共领取的养老金总额：1)该职工基础养老金为：2)个人账户养老金：该职工退休后年时个人账户存储总额：3)退休后年共领取的养老金总额该职工在退休后第年时每月领取的养老金：所以退休后年共领取的养老金总额： （8）3.2 退休后年的养老基金：我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户养老基金由社会统筹基金和个人缴纳的个人账户基金组成.该职工退休年后企业缴纳的社会统筹基金为: 为企业在该职工退休前第年时的职工平均工资；该职工退休年后个人缴纳的个人账户基金为：则在该职工退休年后，养老基金为： （9）3.3 养老金收支平衡模型如下： （10）3.4 问题的解答：根据公式（8）、（9）、（10）可以求解出该职工在不同年龄退休收支平衡与缺口情况，整理可得如下表格（见表8）表8：不同年龄退休时收支平衡与缺口情况 单位：元 退休年龄收支平衡75岁时的缺口年龄领取到养老金累计额养老基金领取到养老金累计额养老基金缺口55岁64485987461385111910154128557781660岁69803570742858136647480900255747265岁741164995109111512988571106207192650由此可以得出：（1）当该职工55岁退休，75岁死亡时：养老保险基金的缺口值：；大约在64岁时缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡；（2）当该职工60岁退休，75岁死亡时：养老保险基金的缺口值：；大约在69岁时缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡；（3）当该职工65岁退休，75岁死亡时：养老保险基金的缺口值：；大约在74岁时缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡；具体的数据见下面的表（表9-表11）:1）30岁职工在不同年龄退休时，退休后不同年龄领取养老金总额以及养老基金额整理如下（见表9）:表9：55岁退休时的各种情况 单位：元年龄领取的养老金总额养老基金年龄领取的养老金总额养老基金5651579 417770 66596604 474027 57103503 422677 67652602 480637 58155782 427725 68709079 487451 59208425 432913 69766050 494467 60261445 438273 70823528 501687 61323312 564116 71881530 509141 62377121 449493 72940071 516814 63431342 455353 73999169 524737 64485987 461385 741058840 532878 65541070 467620 751119101 541285 表10：60岁退休时的各种情况 单位：元年龄领取的养老金总额养老基金年龄领取的养老金总额养老基金61 84430 671277 69 803570 742858 62 169553 679330 70 895032 753092 63 255387 687614 71 987398 763607 64 341953 696129 72 1080697 774456 65 429276 704926 73 1174956 785638 66 534350 911463 74 1270206 797153 67 623255 723341 75 1366474 809002 68 712987 732958 表11：65岁退休时的各种情况 单位：元年龄领取的养老金总额养老基金66 119589 985546 67 240584 997423 68 363023 1009640 69 486948 1022198 70 612407 1035172 71 773897 1339776 72 902569 1062330 73 1032918 1076515 74 1164995 1091115 75 1298857 1106207 问题四的模型建立与求解：从社会保障角度来看，一种较好的养老保险制度关系到国家、企业、个人三个方面.保持养老保险基金的收支平衡是养老保险管理的一个重要目标，它关系到社会的稳定和老龄化社会的顺利过渡.替代率是影响养老保险基金收支平衡的重要因素，替代率过高会使养老保险基金收支平衡难以维持，过低则退休职工的生活水准低.从问题二的求解结果:30岁职工分别在55岁，60岁，65岁退休时的替代率分别为：34%，44%，60%;40岁职工分别在55岁，60岁，65岁退休时的替代率分别为：22%,30%,41%.我们可以看出，替代率主要受退休年龄以及就业年龄的影响，就业年龄越大，替代率越低，退休年龄越大，替代率越大.故要求使替代率符合目标替代率，则应该提高退休年龄，以及使职工养老金缴费年限变大（使职工在职时间变久）.从问题三的求解结果：30岁职工分别在55岁，60岁，65岁退休并在75岁死亡时产生的缺口情况分别为：577816，557472，192650，并分别在64岁,69岁，74岁时养老保险基金达到收支平衡.我们可以得出就业人员退休年龄越大，产生的缺口将会越来越小.故从整体上来讲，应该在一定范围内将退休年龄调大，以及使职工养老金缴费年限变大（使职工在职时间变久）.综上所述，既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡.主要可以通过在一定范围内提高退休年龄，鼓励提前参保以及提高个人账户的收益率.但当退休年龄太大时，此时在职员工比较多，此时能向社会提供的就业岗位比较少，失业率就会提升.故我们可以考虑在适当降低就业率的情况下提高退休年龄，与此同时设立一些机构对失业人员进行安置.六、模型评价与推广(1)模型的评价：Logistic模型很好的吻合问题中所提供的数据，我们认为此模型是合理有效的，并且在随着时间的变化过程中，能够较为准确的预测出未来时间里企业职工的平均工资，并且最后将建立的模型应用到具体的问题求解中去，对预测养老保险金的收支平衡具有指导作用. 模型的优点：1.本模型简单易懂，具有较好的通用性.2.模型把复杂的经济问题转化为数据模型的简单变化.模型的缺点：1.本模型存在近似误差，是通过拟合产生的.2.原题中统计数据有限，并且影响工资变化的因素很多，所以如何提高模型的稳定性，是模型需要进一步讨论的问题.（2）模型的推广：本文所运用的模型具有广泛的应用价值：Logistic模型，多项式拟合等方法稍作修改可以用于人口预测，可以推广到传染病传播问题的解决，并且运用到的模型在经济，保险等领域都有广泛的应用.七、参考文献1 姜启源，谢金星，叶俊，数学建模，北京：高等教育出版社，2003.82吕志勇，王霞，张良，新政策下养老保险基金收支平衡精算模型的相关因素分析，山东大学学报，第一期，20093 郭翠，柳向东，王蕙，社会保障养老金平衡的精算研究，科学技术与工程，第11卷，第15期，16711815,20114 张德丰，MATLAB概率与数理统计分析，北京：机械工业出版社，2010.15 刘波，董普，利息理论，北京：对外经济贸易大学出版社，20106 朱道元等，数学建模案例精选，北京：科学出版社，2003.37 赵静，但琦等，数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社，20008 杨启帆，谈之奕，何勇，数学建模，杭州：浙江大学出版社，1999.89刘卫国，MATLAB程序设计教程教程，北京：中国水利水电出版社，2010.210 范金城，梅长林，数据分析，北京：科学出版社，2010.2,108-109八、附录附录1：首先建立fun11.m文件：function f=fun11(t)f=252780/(1+338*exp(-0.13*t);再输入命令：(Untitled3)fplot(fun11,0,80)hold onx=0:30;y=745 , 755 , 769 , 789 , 985 , 1110 , 1313 , 1428 , 1782 , 1920 , 2150 , 2292 , 2601 , 3149 , 4338 , 5145 , 5809 , 6241 , 6854 , 7656 , 8772 , 10007 , 11374 , 12567 , 14332 , 16614 , 19228 , 22844 , 26404 , 29688 , 32074;plot(x,y,r+)xlabel(时间)ylabel(平均工资)title(山东省职工历年平均工资拟合图像)grid onlegend(拟合曲线,实际数据)附录2：职工平均工资拟合：程序：（Untitled_nihe.m）x=1:1:8;y=1726.5, 2076.5, 2533.8, 2749.9, 3019.6, 3258.3, 3112.1, 2972.8;A=polyfit(x,y,3)z=polyval(A,x);A =-5.9,31.1,327.1,1370.6得到二次多项式拟合方程：程序：首先建立M文件：（fun1.m）function f=fun1(x)f=-5.9*x3+31.1*x2+327.1*x+1370.6;再输入命令：（Untitled_nihe2.m）x=1:1:8;y=1726.5, 2076.5, 2533.8, 2749.9, 3019.6, 3258.3, 3112.1, 2972.8;plot(x,y,r*)hold onfplot(fun1,1,10)xlabel(年龄段)ylabel(职工月平均工资)title(职工月平均工资拟合图像)grid on legend(实际数据,拟合曲线)附录3： 各年龄段的各年的月平均工资 单位：元20-24岁25-29岁30-34岁35-39岁40-44岁45-49岁50-54岁55-59岁60-64岁2000510 614 749 813 892 963 920 878 748 2001582 700 854 927 1018 1098 1049 1002 854 2002661 796 971 1054 1157 1248 1192 1139 970 2003731 879 1073 1164 1278 1379 1317 1258 1072 2004833 1002 1223 1328 1458 1573 1502 1435 1223 2005966 1162 1418 1539 1690 1823 1742 1664 1418 20061118 1345 1641 1781 1956 2110 2016 1925 1641 20071328 1598 1950 2116 2323 2507 2395 2287 1949 20081536 1847 2254 2446 2686 2898 2768 2644 2253 20091727 2077 2534 2750 3020 3258 3112 2973 2533 20101865 2243 2737 2971 3262 3520 3362 3212 2737 20112098 2523 3079 3341 3669 3959 3781 3612 3078 20122343 2817 3438 3731 4097 4421 4223 4034 3437 20132610 3139 3830 4157 4565 4926 4705 4494 382