2010高考数学一轮复习 第十三章 导数课件 新人教版选修2

命题预测 中学数学引入导数的内容使教学内容增添了更多的变量数学 拓展了学习和研究的领域 增加这部分内容 可以加强对考生的辩证思维的教育 使考生能以导数为工具研究函数的变化率 为解决函数极值问题提供更有效的途径 更简便的手段 加强对函数及其性质的深刻理解和直观认识 运用导数的有关知识研究函数的性质 单调性 极值和最值 是高考的热点 题 全国卷 21题 重庆卷 19题 等 通过上述分析估计2011年高考命题趋势为 例如2003年全国高考中仅在新课程卷中有体现 如选择题 7 解答题 19 但在2004年的高考中就成为考查的热点问题等 如2004年全国高考卷中 19题 3题 21题 等 2004年全国高考天津卷 21题 江苏卷 10题 浙江卷 21题 等 2005年全国卷 4题 全国卷 21题 天津卷 21题 重庆卷 19题 2006年安徽卷 7题 湖南卷 13题 北京卷 16题 天津卷 9题 江西卷 5题 全国卷 21题 等 2007年全国卷 11题 全国卷 22题 北京卷 20题 广东卷 20题 陕西卷 20题 2008年重庆卷 19题 江苏卷 14题 全国卷 22题 全国卷 21题 北京卷 17题 福建卷 21题 辽宁卷 22题 等 2009江苏卷 3题 湖南卷 7题 全国卷 21题 重庆卷 19题 等 通过上述分析估计2011年高考命题趋势为 1 可能会有一小一大的试题 小题主要考查导数概念 导数的几何意义及求函数的导数 大题是运用导数研究函数的单调性 极值或最值问题 2 仍可能以函数为背景 以导数作工具 在函数 不等式 解析几何等知识网络的交汇点处命题 备考指南 复习本章时建议如下 1 导数的概念 导数公式及求导法则是本章的一个重点 熟练记忆这些知识是正确进行导数运算的基础 复习时要引起重视 2 求函数的单调区间 极值 最值是本章的又一个重点内容 在复习中要明确导数作为一种工具在研究函数的变化率 解决函数的单调性 极值等方面的作用 这种作用不仅体现在为解决函数问题提供了一条有效的途径 还体现在能够很好地培养学生应用知识解决实际问题的能力 3 要有意识地与解析几何 函数的单调性 函数的极值 最值 二次函数 方程 不等式 代数不等式的证明等进行知识交汇 综合运用 特别是精选一些以导数为工具分析和解决一些函数问题 切线问题的典型例子 以及一些实际问题中的最值问题 提高综合解题能力 基础知识1 导数的定义设函数y f x 在x x0处附近有定义 当自变量在x x0处有增量 x时 则函数y f x 相应地有增量 y 如果 x 0时 y与 x的比值 也叫函数的平均变化率 有极限 即无限趋近于某个常数 我们就把这个极限值叫做 记作y x x0 即f x0 f x0 x f x0 函数y f x 在x x0处的导数 2 导函数如果函数y f x 在开区间 a b 内的每点处都有导数 此时对于每一个x a b 都对应着一个确定的导数f x 从而构成了一个新的函数f x 称这个函数f x 为函数y f x 在开区间内的导函数 简称导数 也可记作y 即f x 函数y f x 在x0处的导数y x x0就是函数y f x 在开区间 a b x0 a b 上导数f x 在x0处的函数值 即y x x0 f x0 所以函数y f x 在x0处的导数也记作f x0 3 导数的几何意义 1 设函数y f x 在点x0处可导 那么它在该点的导数等于函数所表示的曲线在相应点M x0 y0 处的 2 设s s t 是位移函数 则s t0 表示物体在t t0时刻的 3 设v v t 是速度函数 则v t0 表示物体在t t0时刻的 4 设c是成本 q是产量 若c c q 则c q0 表示产量q q0时的 切线斜率 瞬时速度 加速度 边际成本 4 几种常见函数的导数 1 C为常数 则C 0 2 xn n N 5 求导法则如果f x g x 有导数 那么 f x g x Cf x nxn 1 f x g x Cf x 易错知识一 切点确认不准导致漏解1 求曲线y 3x x3过点A 2 2 的切线方程 错解 显然点A在曲线y 3x x3上 y 3 3x2 切线斜率k y x 2 9 所求切线方程为 y 2 9 x 2 即9x y 16 0 分析 求曲线过点A 2 2 的切线方程 既包括点A处的切线 也包括过点A但切点在另一点处的切线 本题错在被局部现象所迷惑 没弄清本来面目而漏解 x0 2 2 x0 1 0 x0 2或x0 1 k 9或k 0 所求切线方程为y 2 9 x 2 或y 2 即9x y 16 0或y 2 回归教材1 设f x 在x0处可导 下列式子中与f x0 相等的是 A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 1 2 3 4 解析 1 符合定义 正确 答案 B 2 2009 吉林延边一模 曲线y x2 x在点 1 0 处的切线的倾斜角为 A 45 B 60 C 120 D 135 解析 y 2x 1 k tan f 1 2 1 1 1 所以倾斜角 为45 答案 A 3 2011 原创题 函数f x 满足f x 3x2 且f 1 2 则f x 的解析式为 A f x x3 3B f x x3 1C f x 3x3 5D f x 3x3 1解析 f x 3x2 设f x x3 c 则f 1 1 3 c 2 c 3 故选A 答案 A 4 已知y x3 2x 1 则y y x 2 曲线y x2在点 2 4 处的切线方程为 解析 y 3x2 2 y x 2 3 22 2 10 点 2 4 在曲线y x2上 y 2x y x 2 4 切线方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 答案 3x2 2104x y 4 0 5 利用导数定义求函数y x2在x 1处的导数 解析 由 y f 1 x f 1 1 x 2 12 x2 2 x 例1 已知某运动物体的位移y 米 与其运动时间t 秒 的函数关系式为 y t3 t 1 求y f t 利用导数的定义求f t 2 求该物体在t 2秒时的瞬时速度 思路点拨 首先求出f x0 x f x0 再对化简 最后求其极限 是求f x0 的基本步骤 物体在某时刻的瞬时速度即该时刻位移关于时间的函数的导数值 解析 1 f t t f t t t 3 t3 t t t t t t 2 t t t t2 1 t 3t2 3 t t t2 1 3t2 3 t t t2 1 f t 3t2 3t t t2 1 3t2 1即f t 3t2 1 2 t 2秒时的瞬时速度即f 2 速度为f 2 3 4 1 13 米 秒 拓展提升 本例主要考查导数概念 极限的运算以及代数式的变形 其中导数概念是解题的关键 当涉及导数的概念问题时 要注意导数是函数值增量与自变量增量比值的极限 自变量增量无限趋近于零时 解题时必须把握好增量的对应性 即函数值增量必须是相应自变量的函数值的差值 如 若本例题设条件不变 求该物体在t 2秒时的加速度的大小 解析 由题意可知 物体运动t秒时的速度为f t 3t2 1 即v t 3t2 1 t秒时刻的物体的加速度为 f t 3t2 1 6t 该物体在t 2秒时的加速度为6 2 12 米 秒2 例2 求下列函数的导数 1 y 2x3 1 3x2 x 2 y 3 2x 1 2 4x 命题意图 考查导数的运算法则 分析 解析式无法直接用公式求导数 展开再求导数 解答 1 y 6x5 2x4 3x2 x y 6x5 2x4 3x2 x 30 x4 8x3 6x 1 2 y 3 4x2 4x 1 4x 12x2 8x 3 y 12x2 8x 3 24x 8 总结评述 求多项式函数的导数 关键在于运算过程的准确 从而计算能力的训练是十分重要的 2009 启东中学 函数y x 2a x a 2的导数为 A 2 x2 a2 B 3 x2 a2 C 3 x2 a2 D 2 x2 a2 答案 C解析 y x3 2ax2 2ax2 4a2x a2x 2a3 3x2 3a2 3 x2 a2 故选C 2009 广西一模 已知函数f x 的导函数为f x 且满足f x 3x2 2xf 5 则f 5 答案 30解析 因为f x 6x 2f 5 所以f 5 30 2f 5 解得f 5 30 例3 2008 辽宁 6 设P为曲线C y x2 2x 3上的点 且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为 0 则点P横坐标的取值范围为 A 1 B 1 0 C 0 1 D 1 命题意图 本小题考查导数的运算 函数在某一点处导数的几何意义以及斜率与倾斜角的关系等基础知识 解析 y x2 2x 3 y 2x 2 曲线在点P x0 y0 处切线倾斜角的取值范围是 0 曲线在点P处的切线斜率0 k 1 0 2x0 2 1 1 x0 答案 A 2009 广东三市联测 已知函数f x 2x3 x2 m的图象上A点处的切线与直线x y 3 0的夹角为45 则A点的横坐标为 A 0B 1C 0或D 1或答案 C解析 由已知可得切线的斜率为0或不存在 f x 6x2 x 导数处处存在 即没有 竖直 的切线 令f x 0得x 0或 故选C 例4 2008 青岛模拟 已知曲线C y 3x4 2x3 9x2 4 1 求曲线C上横坐标为1的切线方程 2 第 1 问中的切线与曲线C是否还有其它公共点 解析 1 把x 1代入曲线C的方程 求得y 4 即切点为 1 4 又y 12x3 6x2 18x 曲线C在点 1 4 的斜率k y x 1 12 6 18 12 曲线在点 1 4 处的切线方程为 y 4 12 x 1 即12x y 8 0 2 由 得3x4 2x3 9x2 12x 4 0 x 1 2 x 2 3x 2 0 则x 1或x 2或x 分别代入12x y 8 0 得公共点的坐标为 1 4 2 32 0 已知函数f x x3 3x2 ax x R 且曲线y f x 的切线的斜率的最小值为 1 1 求a的值 2 求f x 在x 1处的切线方程 3 若直线l过原点 且与曲线y f x 相切 求直线l的斜率k的值 思路点拨 首先由 斜率的最小值为 1 求出解析式 再根据切线方程的求法列方程 求出k的值 解析 1 f x 3x2 6x a 3 x 1 2 a 3 切线斜率的最小值为f 1 a 3 1 a 2 2 f x 3x2 6x 2 曲线y f x 在x 1处的切线的斜率为f 1 1 切线方程为y 1 x 1 13 3 12 2 1 即y x 1 3 y x3 3x2 2x y 3x2 6x 2 直线和曲线均过原点 当原点是切点时 切线斜率k y x 0 2 当原点不是切点时 设切点为P x0 y0 其中x0 0 拓展提升 1 需要准确理解在已知曲线上某点处的切线的两层含义 一是该点的导数值等于切线的斜率 二是该点坐标满足已知曲线的方程 2 当某点不在曲线上求过此点的切线问题时 要先设出切点坐标 利用导数的几何意义表示出切线方程 再把已知点代入切线方程 从而得出所求方程 3 当不能确定曲线上的点 x0 f x0 是否为切点时 要注意分 x0 f x0 是切点和不是切点两种情况进行讨论 误区分析 易出现只考虑 0 0 为切点的情况 出错的原因在于没有理解条件 过原点 的各种情况 1 正确理解