14.2导数的应用

要点梳理1 函数的单调性在 a b 内可导函数f x f x 在 a b 任意子区间内都不恒等于0 f x 0 f x 为 f x 0 f x 为 14 2导数的应用 增函数 减函数 基础知识自主学习 2 函数的极值 1 判断f x0 是极值的方法一般地 当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 2 求可导函数极值的步骤 求f x 求方程的根 检查f x 在方程的根左右值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 极大值 极小值 3 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则为函数的最小值 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则为函数的最大值 为函数的最小值 3 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤如下 求f x 在 a b 内的 将f x 的各极值与比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 f b f a f b 极值 f a f b f a 4 生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是 基础自测1 函数y x3 3x的单调递减区间是 A 0 B 0 C 1 1 D 1 1 解析 y 3x2 3 由3x2 3 0 得 1 x 1 C 2 函数f x x3 ax 2在区间 1 上是增函数 则实数a的取值范围是 A 3 B 3 C 3 D 3 解析 f x x3 ax 2在 1 上是增函数 f x 3x2 a 0在 1 上恒成立 即a 3x2在 1 上恒成立 又 在 1 上 3x2 3 a 3 B 3 函数y 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最大值 最小值分别是 A 5 15B 5 4C 4 15D 5 16解析 y 6x2 6x 12 0 得x 1 舍去 或2 故函数y f x 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最值可能是x取0 2 3时的函数值 而f 0 5 f 2 15 f 3 4 故最大值为5 最小值为 15 A 4 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数f x 在开区间 a b 内有极小值点 A 1个B 2个C 3个D 4个解析f x 0时 f x 单调递增 f x 0时 f x 单调递减 极小值点应在先减后增的特殊点 即f x 0 f x 0 f x 0 由图象可知只有1个极小值点 A 5 2009 辽宁文 15 若函数f x 在x 1处取极值 则a 解析因为f x 在x 1处取极值 所以1是f x 0的根 将x 1代入得a 3 3 题型一函数的单调性与导数 例1 已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在实数集R上单调递增 求实数a的取值范围 2 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出a的取值范围 若不存在 请说明理由 求f x f x 0或f x 0恒成立 a的范围 思维启迪 题型分类深度剖析 解 1 由已知f x 3x2 a f x 在 上是增函数 f x 3x2 a 0在 上恒成立 即a 3x2对x R恒成立 3x2 0 只要a 0 又 a 0时 f x 3x2 0 f x x3 1在R上是增函数 a 0 2 由f x 3x2 a 0在 1 1 上恒成立 a 3x2在x 1 1 上恒成立 又 1 x 1 3x2 3 只需a 3 当a 3时 f x 3 x2 1 在x 1 1 上 f x 0 即f x 在 1 1 上为减函数 a 3 故存在实数a 3 使f x 在 1 1 上单调递减 探究提高利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便 但应注意f x 0 或f x 0 仅是f x 在某个区间上为增函数 或减函数 的充分条件 在 a b 内可导的函数f x 在 a b 上递增 或递减 的充要条件应是f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 且f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于0 这就是说 函数f x 在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f x0 0 甚至可以在无穷多个点处f x0 0 只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间 因此 在已知函数f x 是增函数 或减函数 求参数的取值范围时 应令f x 0 或f x 0 恒成立 解出参数的取值范围 一般可用不等式恒成立理论求解 然后检验参数的取值能否使f x 恒等于0 若能恒等于0 则参数的这个值应舍去 若f x 不恒为0 则由f x 0 或f x 0 恒成立解出的参数的取值范围确定 知能迁移1已知f x ex ax 1 1 求f x 的单调增区间 2 若f x 在定义域R内单调递增 求a的取值范围 3 是否存在a 使f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 解f x ex a 1 若a 0 f x ex a 0恒成立 即f x 在R上递增 若a 0 ex a 0 ex a x lna f x 的单调递增区间为 lna 2 f x 在R内单调递增 f x 0在R上恒成立 ex a 0 即a ex在R上恒成立 a ex min 又 ex 0 a 0 3 方法一由题意知ex a 0在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 ex在 0 上为增函数 x 0时 ex最大为1 a 1 同理可知ex a 0在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 a 1 a 1 方法二由题意知 x 0为f x 的极小值点 f 0 0 即e0 a 0 a 1 题型二函数的极值与导数 例2 设x 1与x 2是函数f x alnx bx2 x的两个极值点 1 试确定常数a和b的值 2 试判断x 1 x 2是函数f x 的极大值点还是极小值点 并说明理由 1 函数的导函数在极值点处的函数值为0 列方程组求解 2 极大值点与极小值点的判断应根据极值点的定义判断 思维启迪 解 1 f x 2bx 1 函数定义域为 0 列表 x 1是f x 的极小值点 x 2是f x 的极大值点 此题属于逆向思维 但仍可根据函数极值的步骤求解 但要注意极值点与导数之间的关系 利用这一关系 f x 0 建立字母系数的方程 通过解方程 组 确定字母系数 从而解决问题 探究提高 知能迁移2已知函数f x ax3 bx2 3x在x 1处取得极值 1 讨论f 1 和f 1 是函数f x 的极大值还是极小值 2 过点A 0 16 作曲线y f x 的切线 求此切线方程 解 1 f x 3ax2 2bx 3 依题意 3a 2b 3 03a 2b 3 0 f 1 f 1 0 即 解得a 1 b 0 f x x3 3x f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令f x 0 得x 1 x 1 若x 1 1 则f x 0 故f x 在 1 上是增函数 f x 在 1 上是增函数 若x 1 1 则f x 0 故f x 在 1 1 上是减函数 所以f 1 2是极大值 f 1 2是极小值 2 曲线方程为y x3 3x 点A 0 16 不在曲线上 设切点为M x0 y0 则点M的坐标满足y0 3x0 因f x0 3 1 故切线的方程为y y0 3 1 x x0 注意到点A 0 16 在切线上 有16 x 3x0 3 x 1 0 x0 化简得x 8 解得x0 2 所以 切点为M 2 2 切线方程为9x y 16 0 题型三函数的最值与导数 例3 已知a为实数 且函数f x x2 4 x a 1 求导函数f x 2 若f 1 0 求函数f x 在 2 2 上的最大值 最小值 先求函数的极值 然后再与端点值进行比较 确定最值 解 1 f x x3 ax2 4x 4a 得f x 3x2 2ax 4 思维启迪 2 因为f 1 0 所以a 有f x x3 x2 4x 2 所以f x 3x2 x 4 又f x 0 所以x 或x 1 又f f 1 f 2 0 f 2 0 所以f x 在 2 2 上的最大值 最小值分别为 探究提高在解决类似的问题时 首先要注意区分函数最值与极值的区别 求解函数的最值时 要先求函数y f x 在 a b 内所有使f x 0的点 再计算函数y f x 在区间内所有使f x 0的点和区间端点处的函数值 最后比较即得 知能迁移3已知a为实数 函数f x x2 1 x a 若f 1 0 求函数y f x 在 1 上的最大值和最小值 解 f x 3x2 2ax 1 又f 1 0 3 2a 1 0 即a 2 f x 3x2 4x 1 3 x x 1 由f x 0 得x 1或x 由f x 0 得 1 x 因此函数f x 的单调递增区间为 1 1 单调递减区间为 1 f x 在x 1取得极大值为f 1 2 f x 在x 取得极小值为f 又 f f 1 6 且 f x 在 1 上的最大值为f 1 6 最小值为f 题型四生活中的优化问题 例4 12分 某分公司经销某种品牌产品 每件产品的成本为3元 并且每件产品需向总公司交a元 3 a 5 的管理费 预计当每件产品的售价为x元 9 x 11 时 一年的销售量为 12 x 2万件 1 求分公司一年的利润L 万元 与每件产品的售价x的函数关系式 2 当每件产品的售价为多少元时 分公司一年的利润L最大 并求出L的最大值Q a 思维启迪 关键抽象出具体函数关系式 运用导数去解决 解 1 分公司一年的利润L 万元 与售价x的函数关系式为 L x 3 a 12 x 2 x 9 11 2分 2 L x 12 x 2 2 x 3 a 12 x 12 x 18 2a 3x 令L 0得x 6 a或x 12 不合题意 舍去 4分 3 a 5 8 6 a 在x 6 a两侧L 的值由正变负 所以 当8 6 a 9即3 a 时 Lmax L 9 9 3 a 12 9 2 9 6 a 7分 当9 6 a 即 a 5时 Lmax L 6 a 6 a 3 a 12 6 a 2 4 3 a 3 10分 9 6 a 3 a 4 3 a 3 a 5 11分 答若3 a 则当每件售价为9元时 分公司一年的利润L最大 最大值Q a 9 6 a 万元 若 a 5 则当每件售价为 6 a 元时 分公司一年的利润L最大 最大值Q a 4 3 a 3 万元 12分 所以Q a 探究提高 1 解决优化问题的基本思路是 2 求函数最值时 不仅可用导数 也可以选择更为适当的方法求解 知能迁移4 2009 山东理 21 两县城A和B相距20km 现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂 其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关 对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和 记C点到城A的距离为xkm 建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y 统计调查表明 垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比 比例系数为4 对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比 比例系数为k 当垃圾处理厂建在弧的中点时 对城A和城B的总影响度为0 065 1 将y表示成x的函数 2 讨论 1 中函数的单调性 并判断弧上是否存在一点 使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小 若存在 求出该点到城A的距离 若不存在 说明理由 解 1 根据题意 ACB 90 AC xkm BC km 且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为 对城B的影响度为因此 总影响度 0 x 20 又因为垃圾处理厂建在弧的中点时 对城A和城B的总影响度为0 065 则有 0 065 解得k 9 所以 0 x 20 由y 0解得x 4或x 4 舍去 易知4 0 20 y y 随x的变化情况如下表 由表可知 函数在 0 4 内单调递减 在 4 20 内单调递增 y最小值 y x 4 此时x 4 故在上存在C点 使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小 该点与城A的距离为4km 方法与技巧1 注意单调函数的充要条件 尤其对于已知单调性求参数值 范围 时 隐含恒成立思想 2 求极值 最值时 要求步骤规范 表格齐全 含参数时 要讨论参数的大小 3 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值比较 思想方法感悟提高 失误与防范1 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯 可使问题直观且有条理 减少失分的可能 2 求函数最值时 不可想当然地认为极值点就是最值点 要通过认真比较才能下结论 3 要强化自己用导数知识处理函数最值 单调性 方程的根 不等式的证明等数学问题的意识 一 选择题1 函数y x3 2ax a在 0 1 内有极小值 则实数a的取值范围是 A 0 3 B 0 C 0 D 3 解析令y 3x2 2a 0 得x a 0 否则函数y为单调增函数 若函数y x3 2ax a在 0 1 内有极小值 则 1 0 a B 定时检测 2 已知f x 2x3 6x2 m m为常数 在 2 2 上有最大值3 那么此函数在 2 2 上的最小值是 A 37B 29C 5D 以上都不对解析 f x 6x2 12x 6x x 2 f x 在 2 0 上为增函数 在 0 2 上为减函数 当x 0时 f x m最大 m 3 从而f 2 37 f 2 5 最小值为 37 A 3 2008 福建文 11 如果函数y f x 的图象如图所示 那么导函数y f x 的图象可能是 A 解析由y f x 的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减 所以其导数y f x 的函数值依次为正负正负 由此可排除B C D 4 2008 湖北理 7 若f x x2 bln x 2 在 1 上是减函数 则b的取值范围是 A 1 B 1 C 1 D 1 解析由题意知f x x 0 x 1 即f x 0 即 x2 2x b x 1 2 1 b 0 1 b 0 b 1 C 5 若函数f x x3 6bx 3b在 0 1 内有极小值 则实数b的取值范围是 A 0 1 B 1 C 0 D 0 解析 f x 3x2 6b 由题意 函数f x 图象如右 f 0 0 f 1 0 6b 0 3 6b 0 D 即 得0 b 6 函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值10 则 A a 11 b 4B a 4 b 11C a 11 b 4D a 4 b 11解析由f x x3 ax2 bx a2 得f x 3x2 2ax b f 1 0 2a b 3 0 f 1 10 a2 a b 1 10 a 4 a 3 b 11 b 3 D 根据已知条件 即 或 解得 经检验应舍去 二 填空题7 2009 江苏 3 函数f x x3 15x2 33x 6的单调减区间为 解析 f x 3x2 30 x 33 3 x 11 x 1 令f x 0得 1 x 11 函数f x x3 15x2 33x 6的单调减区间为 1 11 1 11 8 已知函数f x x3 ax在区间 1 1 上是增函数 则实数a的取值范围是 解析由题意应有f x 3x2 a 0 在区间 1 1 上恒成立 则a 3x2 x 1 1 恒成立 故a 3 a 3 9 函数f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 有极大值又有极小值 则a的取值范围是 解析 f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 f x 3x2 6ax 3 a 2 令3x2 6ax 3 a 2 0 即x2 2ax a 2 0 函数f x 有极大值和极小值 方程x2 2ax a 2 0有两个不相等的实根 即 4a2 4a 8 0 a 2或a 1 a 2或a 1 三 解答题10 已知向量a x2 x 1 b 1 x t 若函数f x a b在区间 1 1 上是增函数 求t的取值范围 解f x a b x2 1 x t x 1 x3 x2 tx t f x 3x2 2x t f x 在 1 1 上是增函数 3x2 2x t 0在x 1 1 上恒成立 t 3x2 2x 令g x 3x2 2x x 1 1 g x 5 t 5 11 已知a是实数 函数f x x2 x a 1 若f 1 3 求a的值及曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 求f x 在区间 0 2 上的最大值 解 1 f x