13正方形的性质与判定(2)

3 正方形的性质与判定 2 正方形的判定及中点四边形 九年级数学 上 第一章特殊的平行四边形 驶向胜利的彼岸 学习目标 1 掌握正方形的判定定理 并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题 2 经历 探索 发现 猜想 证明 的过程 发现决定中点四边形形状的因素 熟练运用特殊四边形的性质及判定对中点四边形进行判断 并能对自己的猜想进行证明 进一步发展学生演绎推理的能力 3 进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用 将一张长方形纸对折两次 然后剪下一个角 打开 怎样剪才能剪出一个正方形 情景引入 正方形的判定定理 1 对角线相等的菱形是正方形 2 对角线垂直的矩形是正方形 3 有一个角是直角的菱形是正方形 探索归纳 方法总结 运用巩固 问题 1 如图 在 ABC中 EF为 ABC的中位线 若 BEF 30 则 A 若EF 8cm 则AC 2 在AC的下方找一点D 做CD和AD的中点G H 问EF和GH有怎样的关系 EH和FG呢 3 四边形EFGH的形状有什么特征 猜想结论 分组验证 新课标教学网 海量教学资源欢迎下载 如果四边形ABCD变为特殊的四边形 中点四边形EFGH会有怎样的变化呢 猜想结论 分组验证 分组探究 验证结论 特殊四边形的中点四边形 平行四边形的中点四边形是平行四边形 菱形的中点四边形是矩形 矩形的中点四边形是菱形 正方形的中点四边形是正方形 特殊四边形的中点四边形 等腰梯形的中点四边形是菱形 直角梯形的中点四边形是平行四边形 梯形的中点四边形是平行四边形 分组探究 验证结论 依次连接菱形各边中点所得到的四边形是一个怎样的图形呢 先猜一猜 你能证明吗 是矩形 已知 如图 点E F G H分别是菱形ABCD各边的中点 求证 四边形EFGH是矩形 又 四边形ABCD是菱形 AC BD E H分别是AD AB的中点 EH BD EF EH即 FEH 90O 四边形EFGH是矩形 证明 点E F分别是AD CD的中点 EF AC EF 同理HG AC HG EF HG EF HG 四边形EFGH是平行四边形 归纳 特殊四边形的中点四边形 平行四边形的中点四边形是平行四边形 矩形的中点四边形是菱形 菱形的中点四边形是矩形 正方形的中点四边形是正方形 等腰梯形的中点四边形是菱形 直角梯形的中点四边形是平行四边形 梯形的中点四边形是平行四边形 分组探究 验证结论 问题 1 矩形和等腰梯形是形状不同的四边形 为什么中点四边形都由平行四边形变化为菱形 2 平行四边形变化为菱形需要增加什么条件 3 你是从什么角度考虑的 4 你从哪儿得到的启发 5 你能用你的发现解释其它的图形变化吗 例如 原四边形为菱形 其中点四边形为矩形 分组探究 验证结论 依次连接四边形各边中点所得到的新四边形 中点四边形 的形状与哪些线段有关 想一想 可以商量哦 所得到的四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系 若四边形两条对角线互相垂直 则 中点四边形 四个角是直角 若四边形两条对角线相等 则 中点四边形 四边相等 1 如图 四边形ABCD四边的中点分别为E F G H 且AC与BD相等 问 四边形EFGH是怎样的四边形 2 如图 四边形ABCD四边的中点分别为E F G H 且AC与BD互相垂直 问 四边形EFGH是怎样的四边形 依次连接等腰梯形各边中点呢 归纳 一般四边形的中点四边形 决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系 分组探究 验证结论 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形 对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形 对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形 分组探究 验证结论 如图 在四边形ABCD中 E F G H分别是AB BC CD DA的中点 请添加一个条件 使四边形EFGH为菱形 解 添加的条件是 AC BD 练一练 运用巩固 四边形ABCD中 AC 6 BD 8 且AC BD 顺次连接四边形ABCD四边的中点得到四边形A1B1C1D1 又依次连接四边形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2 依次类推 得到四边AnBnCnDn 1 四边形A1B1C1D1是 四边形A2B2C2D2是 四边形A11B11C11D11是 矩形 矩形 菱形 2 四边形AnBnCnDn是什么形状呢 运用巩固 你做对了吗 各类 中点四边形 的形状分别是 1 任意四边形的 中点四边形 是 2 平行四边形的 中点四边形 是 3 矩形的 中点四边形 是 4 等腰梯形的 中点四边形 是 5 菱形的 中点四边形 是 6 正方形的 中点四边形 是 平行四边形 平行四边形 菱形 菱形 矩形 正方形 1 为什么矩形和等腰梯形的中点四边形的形状是相同的 思考 2 中点四边形可能是等腰梯形吗 可能是任意四边形吗 运用巩固 ABCD是凸四边形 AB AD在同一线段上 ABCD是凹四边形 ABCD是扭曲四边形 问题 拖动A点使四边形ABCD的图形如上图变化 那么中点四边形EFGH会有怎样的变化呢 结论 当ABCD是上面的图形时 四边形EFGH仍为平行四边形 1 图形发散练习 运用巩固 2 四边形ABCD的面积是 四边形A1B1C1D1的面积是 四边形A2B2C2D2的面积是 四边形A3B3C3D3的面积是 12 6 3 3 四边形AnBnCnDn的面积是 四边形ABCD中 AC 6 BD 8 且AC BD 24 加油吧 运用巩固 如图 矩形ABCD的长为4 宽为3 连续取三次中点后的最小四边形的面积为多少 C A B D 拓展 1 若上题连续取n次中点后的最小四边形AnBnCnDn的面积为多少呢 2 若上题改为菱形 边长为4 连续取n次中点后的最小四边形AnBnCnDn的面积为多少呢 3 若上题改为正方形 边长为4 连续取n次中点后的最小四边形AnBnCnDn的面积为多少呢 4 若以上题目改为求连续取n次中点后的最小四边形AnBnCnDn的周长为多少呢 运用巩固 课堂小结 1 本节课重点学习了什么知识 应用了哪些数学方法 2 决定中点四边形形状的主要因素是什么 3 通过本节课的学习你有哪些收获 在今后的学习过程中应该怎么做 中点四边形 的形状取决于 原四边形两条对角线的位置关系和数量关系 若原四边形两条对角线互相垂直 则 中点四边形 是