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湖南师大2004年试题解答一 基础题证:设,由于是奇数次方程,所以至少有一个实根另一方面由于即对任意实数,所以至多有一个实根,因此在实轴上有且只有一个实根证:因为,且,所以无实根,因此在全体实数范围内,因此在全体实数范围内严格单调,所以没有极值解:解:解:设,则所以,故解:由于,所以因此解:二 解:()在上对函数应用拉格朗日中值定理,有所以(),所以有下界另一方面所以单调递减,故收敛三 设,则又令,则,由于单调递增,所以故,即单调递增四解: ,设,则在上连续,且,则判别法,关于在上一致收敛,因此五由泰勒公式,又比较以上两式得所以故六设则在内的点不连续,取正数充分小,使椭圆在的内部,若也取正向,则在与围成的区域风连续且有连续偏导数,且易求得,由格林公式,令,则七证:故又所以在上一致收敛于八解:设,取下侧,由高斯公式,故九证:(1)由于单调递减,所以存在,若,则存在时, ,故因此从而发散于,与已知条件相矛盾因此所以()首先由于收敛,所以对任意,存在,有,因此对任意,由于因此对任意, 故
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