高中数学 333、4 点到直线的距离、两条平行直线间的距离课件 新人教A版必修2.ppt

3 3 3点到直线的距离3 3 4两条平行直线间的距离 一 阅读教材p106 109回答1 点p x0 y0 与直线l ax by c 0的位置关系 点p在直线l上 点p不在直线l上 点p不在直线l上时 点p x0 y0 到直线l的距离d ax0 by0 c 0 ax0 by0 c 0 2 点p x0 y0 到直线y b的距离d 到直线x a的距离d 3 直线x a与x b之间的距离为 4 直线l1 ax by c1 0与直线l2 ax by c2 0之间的距离为 x0 a b a y0 b 二 解答下列问题 1 点p 1 2 到直线x 3y 3 0的距离为 2 两平行线l1 3x 4y 10和l2 3x 4y 15之间的距离为 3 在x轴上与直线3x 4y 5 0的距离等于5的点的坐标为 1 本节学习重点 点到直线距离公式 两平行直线之间的距离的推导及应用 本节学习难点 点到直线距离公式的推导 轴对称 一 点a到直线l的距离是直线l上所有点p到定点a的距离中的最小值 当 pa 最小时 pa l 在应用点到直线距离公式时 直线方程要化为一般形式 注意 只有当l1 l2中x y项的系数分别对应相等时 才能应用该公式 三 对称问题1 中心对称点a x1 y1 关于点p x0 y0 对称点a 的坐标为 2x0 x1 2y0 y1 即p为a与a 的中点 中心对称问题实质是中点坐标公式的变形 2 轴对称 1 设直线l1 l 则l1关于l对称的直线l2是与l平行且到l的距离等于l1到l的距离的一条直线 所以与直线l距离为d的点的轨迹是两条平行线 它们与l平行 若l1 l2 则到l1与l2距离相等的点的轨迹是一条与l1和l2都平行且与l1和l2距离相等的直线 2 设l1与l相交于点p 则l1关于l的对称直线l2的求法如下 设m x y 为直线l2上任一点 它关于l的对称点m x y 在l1上 则由mm l及mm 中点在l上列出方程组解出x y 由m 在l1上代入可得l2的方程 在l1上取异于p的另一点q 求出q关于直线l的对称点q 则直线pq 即为直线l2 3 关于轴对称问题要牢记两点 一是对称的两点连线与轴垂直 通过直线斜率来体现 二是对称的两点的中点在轴上 由中点坐标代入轴的方程来表达 另外一些特殊的轴对称问题也应注意 当特殊直线为对称轴时经过用基本方法推导可得如下结论 不是下述特殊直线的用基本方法 1 点p x y 关于x轴对称点 x y 曲线f x y 0关于x轴对称曲线方程为f x y 0 2 点 x y 关于y轴对称点为 x y 曲线f x y 0关于y轴对称曲线为f x y 0 3 点 x y 关于x a对称点为 2a x y 曲线f x y 0关于x a对称曲线方程为f 2a x y 0 4 点 x y 关于y b对称点为 x 2b y 曲线f x y 0关于y b对称曲线方程为f x 2b y 0 5 点 x y 关于y x对称点为 y x 曲线f x y 0关于y x对称曲线方程为f y x 0 6 点 x y 关于y x对称点为 y x 曲线f x y 0关于y x轴对称曲线方程为f y x 0 7 点 x y 关于y x b对称点为 y b x b 曲线f x y 关于y x b对称曲线方程为f y b x b 0 8 点 x y 关于y x b对称点为 y b x b 曲线f x y 关于y x b轴对称曲线方程为f y b x b 0 这么多条 记忆起来是不是很麻烦 应用起来特别易混 不用担心 记忆方法很简单 只有两条 关于坐标轴对称的 关于x轴将y变 y 关于y轴将x变 x即可 关于直线x a对称将x换作2a x 关于直线y b对称将y换作2b y 对称轴ax by c 0中 a b 1的 直接解出x y代入即可 例如 点p 2 3 关于直线x y 4 0的对称点坐标 x0 y0 求法 在方程中解出x y 4 x0 3 4 1 在方程中解出y x 4 y0 2 4 6 曲线y x2关于直线x y 1 0的对称曲线方程为 1 x 1 y 2 x 1 y y 1 x 2 因为直线y 6平行于x轴 所以d 6 2 8 3 因为直线x 4平行于y轴 所以d 4 3 1 过点p 1 2 引直线 使a 2 3 b 4 5 到它的距离相等 则这条直线的方程是 a 4x y 6 0b x 4y 6 0c 2x 3y 7 0 或x 4y 6 0d 3x 2y 7 0 或4x y 6 0 答案 d 分析 设出过p 1 2 的直线方程后 可利用点到直线的距离公式解之 也可由平面几何知识知 过p与直线ab平行的直线 以及过p与ab中点的直线到a b的距离相等 解析 解法1 kab 4 过p 1 2 与直线ab平行的直线方程为y 2 4 x 1 即4x y 6 0 此直线符合题意 即3x 2y 7 0 此直线也是所求 故所求直线方程为4x y 6 0 或3x 2y 7 0 应选d 解法2 显然这条直线斜率存在 设直线方程为y kx b 据条件有 总结评述 解法2是解此类题的通法 例2 两平行直线3x 4y 12 0和6x 8y 11 0的距离为 解析 将直线方程3x 4y 12 0化为6x 8y 24 0 点评 求两平行直线之间的距离 应用公式前 必须将两直线方程中x y的系数化成相同的情形 这是易错的地方 例3 已知 abc中 a 1 1 b m c 4 2 1 m 4 求m为何值时 abc的面积s最大 分析 以ac为底 则点b到直线ac的距离就是高 求出s与m之间的函数关系式 求函数最值即可 设 abc中两条高所在直线的方程为2x 3y 1 0和x y 0 且它的一个顶点是a 1 2 bc边所在直线的方程为 abc的面积为 分析 观察点a不在已知两条高线方程上 可求出ab ac边方程 解析 由题意知 点a不在两条高所在直线上 故这两条直线分别是ab和ac边上的高 ab与ac分别和两条高垂直 可设ab ac两条边所在直线方程分别为3x 2y m 0和x y n 0 过a 1 2 m 7 n 1 方程为 3x 2y 7 0和x y 1 0 得b c两点坐标分别为 7 7 和 2 1 bc所在的直线为2x 3y 7 0 例4 两互相平行的直线分别过a 6 2 b 3 1 并且各自绕着a b旋转 如果两条平行线间的距离为d 1 求d的变化范围 2 求当d取得最大值时的两条直线方程 解析 解法1 1 设两条直线方程分别为y kx b1和y kx b2 点评 上面我们用两种思路作了解答 不难发现解法2比解法1简捷的多 这足以显示数形结合的威力 在学习解析几何过程中 一定要有意识的往形上联系 以促进数形结合能力的提高和思维能力的发展 若a 6 2 b 3 1 过点b的直线l与点a的距离为d 1 d的取值范围为 2 当d取最大值时 直线l的方程为 解析 1 用数形结合法容易得到 当直线l ab时 d取最大值 当l经过a b时 d取最小值 例5 1 求直线2x 11y 16 0关于点p 0 1 对称的直线方程 2 求直线2x y 1 0关于直线x y 2 0对称的直线方程 3 若两平行直线3x 4y 1 0与6x 8y 3 0关于直线l对称 求l的方程 解析 1 解法1 所求直线与直线2x 11y 16 0平行 它们到p点距离相等 设所求直线方程2x 11y c 0 由点p到两直线距离相等解出c 38 所求直线方程为2x 11y 38 0 解法2 设m x y 是所求直线上任一点 它关于点p 0 1 的对称点 x 2 y 在直线2x 11y 16 0上 2 x 11 2 y 16 0即2x 11y 38 0 2 设所求直线上任一点m x y 它关于直线x y 2 0的对称点m x1 y1 代入m 所在直线方程2x y 1 0中得 2 y 2 x 2 1 0 即x 2y 5 0 点评 对称问题教材上没有介绍 但线段ab的中点为p 即a与b关于点p对称 因此学习了中点坐标 就应同时掌握中心对称点的特征 同样学习了点到直线的距离公式 就应当了解轴对称的相关知识 一条光线沿直线x 2y 3 0方向射到直线x y 0上且被反射 则反射光线所在直线方程为 a 2x y 3 0b 2x y 3 0c 2x y 3 0d 2x y 3 0 答案 d 解析 反射光线l与入射光线x 2y 3 0关于直线x y 0对称 故l 2x y 3 0 总结评述 反射问题要抓住入射角等于反射角找出入射光线所在直线和反射光线所在直线的关系 反射问题实质就是对称问题 一 选择题 答案 d 2 过点 1 3 且与原点的距离为1的直线共有 a 3条b 2条c 1条d 0条 答案 b 解析 解法1 设所求直线方程为y 3 k x 1 即kx y 3 k 0 二 填空题3 两条平行线分别经过点 1 0 和 0 5 且两条直线的距离为5 它们的方程是 答案 y 5和y 0或者5x 12y 60 0和5x 12y 5 0 解析 设l1 y kx 5 l2 x my 1 在l1上取点a 0 5 由题意a到l2距离为5 l1 y 5或5x 12y 60 0 结合l2斜率不存在的情况知两直线方程分别为 l1 y 5 l2 y 0 或l1 5x 12y 60 0 l2 5x 12y 5 0 4 光线由点p 2 3 射到直线x y 1 0上 反射后经过点q 1 1 则反射光线所在的直线方程为 答案 4x 5y 1 0 解析 p关于直线x y 1 0对称点p 4 3 反射光线所在直线为p q 4x 5y 1 0 5 abc中 a 3 2 b 1 5 c点在直线3x y 3 0上 若 abc的面积为10 则点c坐标为 6 abc中 b c的平分线所在直线的方程分别为x 0 y x 顶点a 3 1 bc边所在直