高三数学一轮复习 8.4直线与圆 圆与圆的位置关系课件.ppt

备考方向要明了 考什么 怎么考 1 能根据给定直线 圆的方程判断直线与圆的位置关系 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 2 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 3 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 1 直线与圆的位置关系的判断 两圆位置关系的判断是高考的常考内容 主要以填空题形式考查 难度较为简单 如2012年高考t9 2 由直线与圆的方程求弦长或求参数是高考热点之一 多以填空题形式考查 如2012年高考t12等 难度为中低档 归纳知识整合 1 直线与圆的位置关系设直线l ax by c 0 a2 b2 0 圆 x a 2 y b 2 r2 r 0 设d为圆心 a b 到直线l的距离 联立直线和圆的方程 消元后得到的一元二次方程的判别式为 d r 0 d r 0 d r 0 探究 1 在求过一定点的圆的切线方程时 应注意什么 提示 应首先判断定点与圆的位置关系 若点在圆上 则该点为切点 切线只有一条 若点在圆外 切线应有两条 若点在圆内 则切线不存在 d r1 r2 无解 d r1 r2 一组实数解 r1 r2 d r1 r2 两组不同的实数解 d r1 r2 r1 r2 一组实数解 0 d r1 r2 r1 r2 无解 探究 2 若两圆相交时 公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系 提示 两圆的方程作差 消去二次项得到关于x y的二元一次方程 就是公共弦所在的直线方程 自测牛刀小试 答案 相交 1 2013 盐城模拟 直线l mx y 1 m 0与圆c x2 y 1 2 5的位置关系是 2 2012 山东高考改编 圆 x 2 2 y2 4与圆 x 2 2 y 1 2 9的位置关系为 答案 相交 答案 充分不必要 答案 x y 3 0 4 已知圆x2 y2 4与圆x2 y2 6x 6y 14 0关于直线l对称 则直线l的方程是 5 2012 重庆高考 设a b为直线y x与圆x2 y2 1的两个交点 则 ab 解析 因为直线y x过圆x2 y2 1的圆心 0 0 所以所得弦长 ab 2 答案 2 直线与圆 圆与圆的位置关系 例1 1 2012 安徽高考改编 若直线x y 1 0与圆 x a 2 y2 2有公共点 则实数a的取值范围是 2 2012 江苏高考 在平面直角坐标系xoy中 圆c的方程为x2 y2 8x 15 0 若直线y kx 2上至少存在一点 使得以该点为圆心 1为半径的圆与圆c有公共点 则k的最大值是 判断直线与圆 圆与圆的位置关系的常用方法 1 判断直线与圆的位置关系时 若两方程已知或圆心到直线的距离易表达 则用几何法 若方程中含有参数 或圆心到直线的距离的表达较繁琐 则用代数法 能用几何法 尽量不用代数法 2 判断两圆的位置关系 可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解 1 直线l y 1 k x 1 和圆x2 y2 2y 3 0的位置关系是 解析 将x2 y2 2y 3 0化为x2 y 1 2 4 由于直线l过定点 1 1 且由于12 1 1 2 1 4 即直线过圆内一点 从而直线l与圆相交 答案 相交 2 设圆c与圆x2 y 3 2 1外切 与直线y 0相切 则c的圆心轨迹为 答案 x2 8y 8 有关圆的弦长问题 例2 1 2012 北京高考 直线y x被圆x2 y 2 2 4截得的弦长为 求圆的弦长的常用方法 答案 0或4 答案 x2 y 1 2 10 4 2013 常州调研 已知圆c的圆心与抛物线y2 4x的焦点关于直线y x对称 直线4x 3y 2 0与圆c相交于a b两点 且 ab 6 则圆c的方程为 圆的切线问题 例3 已知圆c x2 y2 2x 4y 3 0 1 若不过原点的直线l与圆c相切 且在x轴 y轴上的截距相等 求直线l的方程 2 从圆c外一点p x y 向圆引一条切线 切点为m o为坐标原点 且有 pm po 求点p的轨迹方程 2 由于 pc 2 pm 2 cm 2 pm 2 r2 pm 2 pc 2 r2 又 pm po pc 2 r2 po 2 x 1 2 y 2 2 2 x2 y2 2x 4y 3 0即为所求的方程 若将本例 1 中 不过原点 的条件去掉 求直线l的方程 求过一点的圆的切线方程的方法 1 若该点在圆上 由切点和圆心连线的斜率可确定切线的斜率 进而写出切线方程 若切线的斜率不存在 则可直接写出切线方程x x0 2 若该点在圆外 则过该点的切线将有两条 若用设斜率的方法求解时只求出一条 则还有一条过该点且斜率不存在的切线 5 已知点m 3 1 直线ax y 4 0及圆 x 1 2 y 2 2 4 1 求过m点的圆的切线方程 2 若直线ax y 4 0与圆相切 求a的值 解 1 圆心c 1 2 半径为r 2 当直线的斜率不存在时 方程为x 3 由圆心c 1 2 到直线x 3的距离d 3 1 2 r知 此时 直线与圆相切 当直线的斜率存在时 设方程为y 1 k x 3 直线和圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合 1 从思路来看 代数法侧重于 数 更多倾向于 坐标 与 方程 而 几何法 则侧重于 形 利用了图形的性质 2 从适用类型来看 代数法可以求出具体的交点坐标 而几何法更适合定性比较和较为简单的运算 1 涉及圆的切线时 要考虑过切点的半径与切线垂直 2 当直线与圆相交时 半弦 弦心距 半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用 解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用 3 判断直线与圆相切 特别是过圆外一点求圆的切线时 应有两条 在解题中 若只求得一条 则说明另一条的斜率不存在 这一点经常忽视 应注意检验 防止出错 创新交汇 直线与圆的综合应用问题 1 直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题 常常以解答题的形式出现 并且常常是将直线与圆和函数 三角 向量 数列及圆锥曲线等相互交汇 求解参数 函数 最值 圆的方程等问题 2 对于这类问题的求解 首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系 其次要对问题的条件进行全方位的审视 特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘 再次要掌握解决问题常用的思想方法 如数形结合 化归与转化 待定系数及分类讨论等思想方法 典例 2011 新课标全国卷 在平面直角坐标系xoy中 曲线y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆c上 1 求圆c的方程 2 若圆c与直线x y a 0交于a b两点 且oa ob 求a的值 1 本题有以下创新点 1 考查形式的创新 将轨迹问题 向量问题和圆的问题融为一体来考查 2 考查内容的创新 本题摒弃以往考查直线和圆的位置关系的方式 而是借助于参数考查直线与圆的位置关系 同时也考查了转化与化归思想 2 解决直线和圆的综合问题要注意以下几点 1 求点的轨迹 先确定点的轨迹的曲线类型 再利用条件求得相关参数 2 存在性问题的求解 即先假设存在 再由条件求解并检验 2 在平面直角坐标系xoy中 已知圆x2 y2 4上有且只有四个点到直线12x 5y c 0的距离为1 则实数c的取值范围是 答案 13 13 1 设两圆c1 c2都和两坐标轴相切 且都过点 4 1 则两圆心的距离 c1c2 答案 c 2 已知 o的方程是x2 y2 2 0 o 的方程是x2 y2 8x 10 0 由动点p向 o