高中数学 第一讲 绝对值三角不等式教学课件 新人教版A版选修45.ppt_第1页
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1 绝对值三角不等式 绝对值三角不等式 1 定理1 如果a b是实数 则 a b a b 当且仅当时 等号成立 几何解释 用向量a b分别替换a b 当a与b不共线时 有 a b a b 其几何意义为 若a b共线 当a与b时 a b a b 当a与b时 a b a b 由于定理1与三角形之间的这种联系 故称此不等式为绝对值三角不等式 定理1的推广 如果a b是实数 则 a b a b a b ab 0 三角形的两边之和大于第三边 同向 反向 2 定理2 如果a b c是实数 那么 a c a b b c 当且仅当时 等号成立 几何解释 在数轴上 a b c所对应的点分别为a b c 当点b在点a c之间时 a c a b b c 当点b不在点a c之间时 点b在a或c上时 a c a b b c 点b不在a c上时 a c a b b c 应用 利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值 a b b c 0 含绝对值不等式的证明题主要分两类 一类是比较简单的不等式 往往可通过平方法 换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明 或利用绝对值三角不等式 a b a b a b 通过适当的添 拆项证明 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式 往往可考虑利用一般情况成立 则特殊情况也成立的思想 或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明 1 设a b是满足ab a b b a b a b c a b a b d a b a b 解析 ab 0且 a b 2 a2 b2 2ab a b 2 a2 b2 2ab a b 2 a b 2 a2 b2 2 ab a b 2 故a d不正确 b正确 又由定理1的推广知c不正确 答案 b 例2 1 求函数y x 3 x 1 的最大值和最小值 2 设a r 函数f x ax2 x a 1 x 1 若 a 1 求 f x 的最大值 思路点拨 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解 解 1 法一 x 3 x 1 x 3 x 1 4 4 x 3 x 1 4 ymax 4 ymin 4 1 利用绝对值不等式求函数最值 要注意利用绝对值的性质进行转化 构造绝对值不等式的形式 2 求最值时要注意等号成立的条件 它也是解题的关键 3 若a b r 且 a 3 b 2则 a b 的最大值是 最小值是 解析 a b a b a b 1 3 2 a b 3 2 5 答案 51 4 求函数f x x 1 x 1 的最小值 解 x 1 x 1 1 x x 1 1 x x 1 2 当且仅当 1 x 1 x 0 即 1 x 1时取等号 当 1 x 1时 函数f x x 1 x 1 取得最小值2 5 若对任意实数 不等式 x 1 x 2 a恒成立 求a的取值范围 解 a x 1 x 2 对任意实数恒成立 a x 1 x 2
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