高中数学 3.4 基本不等式课件 新人教版必修5.ppt

第三章不等式 3 4基本不等式 本节主要学习基本不等式 应用基本不等式求最值是重点知识 利用数学家大会的徽标引入新课新颖有吸引力 从代数 数列 几何等方面研究均值不等式 开阔学生思路 用均值不等式求最值分为两个方面 一是直接利用基本不等式求最值 二是用配凑法进行恒等变形后求最值 巧用1的代换求值或证明使学生更加灵活的掌握均值不等式 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标 会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去象一个风车 代表中国人民热情好客 在正方形abcd中有4个全等的直角三角形 设直角三角形的两条直角边的长为a b 那么正方形的边长为 这样 4个直角三角形的面积和小于正方形abcd的面积 故a2 b2 2ab 当直角三角形变为等腰直角三角形 即a b时 正方形efgh缩为一个点 这时有a2 b2 2ab e h e h 结论 1 如果x y 1 则2x2 y2的最小值是 2 由不等式性质可知 对任意a b r a b 2 0 因此a2 b2 2ab 当且仅当 时 取等号 答案 a b 证明 a2 b2 2ab a b 2当a b时 a b 2 0 当a b时 a b 2 0所以 a b 2 0 即a2 b2 2ab 分别用代替引例中的a b 即可得 基本不等式的代数解释 上述不等式中a和b的取值范围是 当且仅当 时 成立 基本不等式成立的条件是 当且仅当 时 成立 2 填空 a 0 b 0 a b 任意实数 a b 例2 如右图 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间 一面可利用原有的墙 其他各面用钢筋网围成 1 现有可围36m长的材料 每间虎笼的长 宽各设计为多少时 可使每间虎笼面积最大 2 若使每间虎笼面积为24m2 则每间虎笼的长 宽各设计为多少时 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小 分析 设每间虎笼长xm 宽ym 则问题 1 是在4x 6y 36的前提下求xy的最大值 而问题 2 则是在xy 24的前提下求4x 6y的最小值 因此 使用均值定理解决 已知a 0 b 0 则 1 如果积ab是定值p 由a b 那么当且仅当 时 a b有最 值是 2 如果和a b是定值p 由ab 那么当且仅当 时 ab有最 值是 大 a b 小 a b 积定和最小 和定积最大 利用不等式求函数的最值 例3 求函数的值域 分类讨论 变式2 求下列各题的最值 1 x 3 求的最小值 2 x 1 求的最小值 1 x 3 求的最小值 解析 改变常数项 凑成积为定值 凑定值 所以函数的最小值为7 2 x 1 求的最小值 解析 分离常数 拆项凑成积为定值 凑定值 所以函数的最小值为 变形技巧 用 1 的代换 分析 要求x y的最小值 根据均值定理 应构建某个积为定值 这需要对条件进行必要的变形 考虑条件式可进行 1的代换 也可以 消元 等 方法总结 本题给出了三种解法 都用到了基本不等式 且都对式子进行了变形 配凑出基本不等式满足的条件 这是经常使用的方法 要学会观察学会变形 另外解法2通过消元 化二元问题为一元问题 要注意根据被代换的变量的范围对另一个变量范围给出限制 消去x后 原来x的限制条件 应当由代替它的y来 接班 此限制条件不会因 消元 而凭空消失 1 已知a 0 b 0 则a 2b的最小值为 a b c d 14 a 2 已知x 则函