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2 4平行与垂直综合问题 栏目链接 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 栏目链接 典例精析 题型一线面垂直 面面垂直的综合问题 栏目链接 例1如右图所示 在四棱锥p abcd中 底面是边长为a的正方形 侧棱pd a pa pc a 求证 1 pd 平面abcd 2 平面pac 平面pbd 3 二面角p bc d是45 的二面角 栏目链接 栏目链接 2 由 1 知pd 平面abcd pd ac 而四边形abcd是正方形 ac bd 又bd pd d ac 平面pdb 同时ac 平面pac 平面pac 平面pbd 3 由 1 知pd bc 又bc dc bc 平面pdc bc pc pcd为二面角p bc d的平面角 在rt pdc中 pd dc a pcd 45 二面角p bc d是45 的二面角 栏目链接 跟踪训练1 如右下图所示 在棱长均为2的斜三棱柱abc def中 已知bf ae bf ce o ab ae 连接ao 求证 ao 平面febc 证明 bcfe是菱形 bf ec 又 bf ae 且ae ec e bf 平面aec 而ao 平面sec bf ao ae ab ab ac ae ac ao ec 且bf ce o ao 平面bcfe 题型二线面平行与垂直的综合应用 栏目链接 例2如右图所示 已知多面体abcde中 ab 平面acd de 平面acd acd是正三角形 且ad de 2 ab 1 f是cd的中点 1 求证 af 平面bce 2 求多面体abcde的体积 栏目链接 栏目链接 跟踪训练2 如图所示 abc为正三角形 ec 平面abc bd ce 且ce ca 2bd m是ea的中点 求证 1 de da 2 平面bdm 平面eca 3 平面dea 平面eca 栏目链接 分析 由题目可获取以下主要信息 1 ec 平面abc 正三角形abc 2 bd ce且ce ca 2bd 解答本题可先由线 线 线 面的性质 再由m是ea的中点得线 线 线 面 进而证得面 面 证明 1 如右图所示 取ec的中点f 连接df ec 平面abc bc 平面abc ec bc 易知df bc df ec 在rt efd和rt dba中 栏目链接 ef ec ec 2bd fd bc ab rt efd rt dba 故de da 2 取ca的中点n 连接mn bn 则mn ec 且mn ec ec bd mn bd 点n在平面bdm内 ec 平面abc ec bn 又ca bn bn 平面eca bn在平面mnbd内 平面mnbd 平面eca 即平面bdm 平面eca 栏目链接 3 dm bn bn 平面cae dm 平面eca
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