高中数学 3.4第2课时 基本不等式的应用证明与最值问题课件 新人教A版必修5.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教a版 必修5 不等式 第三章 第三章 第2课时基本不等式的应用 证明与最值问题 1 熟练掌握基本不等式及其变形的应用 2 会用基本不等式解决简单的最大 小 值问题 3 能够运用基本不等式解决简单的实际应用问题 一养殖场想用栅栏围成一个长 宽分别为a b的矩形牧场 现在已有材料能做成lkm的栅栏 那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大 1 利用均值不等式求最值时 必须同时满足三个条件 2 连续两次使用不等式变形时要保持前后等号成立 的一致性 一正 二定 三相等 条件 答案 4 已知a 2 求证 loga a 1 loga a 1 1 分析 本题考查利用均值不等式证明不等式 将a b c 1代入所证式子的左边 然后拆 配成均值不等式的形式 1 的代换 方法规律总结 在对代数式进行变换时 并不是只能将代数式中的 元 消去 也可利用整体代换将某些 常数 消去 求证 a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 abc a b c 分析 本题中的表达式具有轮换对称关系 将表达式中字母轮换a b c a后表达式不变 这类问题证明一般变为几个表达式 通常几个字母就需几个表达式 迭加 乘 从而获解 不等式的证明技巧 字母轮换不等式的证法 证明 先证a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 a2 b2 2ab a b r a4 b4 2a2b2 b4 c4 2b2c2 c4 a4 2c2a2 2 a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2c2a2 a4 b4 c2 a2b2 b2c2 c2a2 再证a2b2 b2c2 c2a2 abc a b c a2b2 b2c2 b2 a2 c2 2ab2c 等号在a c时成立 同理a2b2 a2c2 2a2bc 等号在b c时成立 b2c2 a2c2 2abc2 等号在a b时成立 三式相加得 a2b2 b2c2 c2a2 abc a b c 等号在a b c时成立 方法规律总结 证明不等式时 要注意观察分析其结构特征选取相应的证明方法 若不等式中字母具有轮换对称关系 则常常连用几个形式相同字母不同的不等式迭加获证 点评 不能直接应用基本不等式证明不等式和连续两次使用基本不等式等号不能同时成立的情形 要通过合理的变形 重新组合 或者 1的代换 等换巧 构造运用基本不等式的条件 求参数的取值范围问题 方法规律总结 1 恒成立问题求参数的取值范围 常用 分离参数 转化为函数最值问题求解 2 解题思路来源于细致的观察 丰富的联想和充分的知识 技能的储备 要注意总结记忆 已知函数f x 在定义域 1 上是减函数 是否存在实数k 使得f k sinx f k2 sin2x 对一切x r恒成立 并说明理由 分析 首先应根据函数单调性去掉函数符号 转化为关于sinx的不等式恒成立问题 然后依据sinx的有界性及恒成立 转化为k的不等式求解问题 点评 若f x 的最大值为m 最小值为m 则k f x 恒成立 k m k f x 恒成立 k m k f x 有解 k m k f x 有解 k m 如右图 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间 一面可利用原有的墙 其他各面用钢筋网围成 实际应用问题 分析 设每间虎笼长xm 宽ym 则问题 1 是在4x 6y 36的前提下求xy的最大值 而问题 2 则是在xy 24的前提下求4x 6y的最小值 因此 使用均值定理解决 解析 设每间虎笼长xm 宽ym 则由条件知 4x 6y 36 即2x 3y 18 设每间虎笼面积为s 则s xy 某种汽车 购车费用是10万元 每年使用的保险费 汽油费约为0 9万元 年维修费第一年是0 2万元 以后逐年递增0 2万元 问这种汽车使用多少年时 它的年平均费用最少 分析 年平均费用等于总费用除以年数 总费用包括 购车