24.1.2 垂直于弦的直径

24 1 2垂直于弦的直径 R 九年级上册 状元成才路 新课导入 圆是轴对称图形吗 状元成才路 1 能通过折纸探究圆的对称性 能证明圆是轴对称图形 2 能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论 3 能利用垂径定理解决相应问题 状元成才路 推进新课 什么是轴对称图形 我们学过哪些轴对称图形 回顾 知识点1 圆的轴对称性 状元成才路 如果一个图形沿一条直线对折 直线两旁的部分能够互相重合 那么这个图形叫轴对称图形 线段 角 等腰三角形 矩形 菱形 等腰梯形 正方形 圆 状元成才路 用纸剪一个圆 沿着圆的任意一条直径所在的直线对折 重复做几次 你发现了什么 由此你能得到什么结论 发现 圆是轴对称图形 任何一条直径所在直线都是它的对称轴 探究 状元成才路 圆有无数条对称轴 每一条对称轴都是直径所在的直线 圆有哪些对称轴 O 如何来证明圆是轴对称图形呢 状元成才路 是轴对称图形 大胆猜想 已知 在 O中 CD是直径 AB是弦 CD AB 垂足为E 左图是轴对称图形吗 满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢 状元成才路 证明 连结OA OB 则OA OB 又 CD AB 直径CD所在的直线是AB的垂直平分线 对于圆上任意一点 在圆上都有关于直线CD的对称点 即 O关于直线CD对称 圆是轴对称图形 任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 状元成才路 知识点2 垂径定理及其推论 状元成才路 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理 状元成才路 下列哪些图形可以用垂径定理 你能说明理由吗 图1 图2 图3 图4 状元成才路 CD是直径 AB是弦 CD AB 过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 垂径定理 状元成才路 推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 状元成才路 N O A B M C D 注意 为什么强调这里的弦不是直径 状元成才路 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说 如果具备 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对的优弧 5 平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任意个条件都可以推出其他个结论 注意 两 三 状元成才路 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且平分弦和所对的另一条弧 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于弦 并且平分弦所对的另一条弧 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦 垂径定理的推论 状元成才路 垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形 d h r r 有哪些等量关系 状元成才路 例2赵州桥是我国隋代建造的石拱桥 距今约有1400年的历史 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶 它的主桥拱是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 23m 求赵州桥主桥拱的半径 结果保留小数点后一位 A C B D O 37 7 23 18 5 R R 7 23 状元成才路 解 设赵洲桥主桥拱的半径为R 则R2 18 52 R 7 23 2解得 R 27 3因此 赵州桥的主桥拱半径约为27 3m A C B D O 37 7 23 18 5 R R 7 23 状元成才路 随堂演练 基础巩固 1 下列说法中正确的是 A 在同一个圆中最长的弦只有一条B 垂直于弦的直径必平分弦C 平分弦的直径必垂直于弦D 圆是轴对称图形 每条直径都是它的对称轴 B 状元成才路 2 如图 O的弦AB垂直于半径OC 垂足为D 则下列结论中错误的是 A AOD BODB AD BDC OD DCD AC BC3 半径为5的 O内有一点P 且OP 4 则过点P的最长弦的长是 最短弦的长是 C 10 6 状元成才路 4 如图 在 O中 AB AC为互相垂直且相等的两条弦 OD AB于D OE AC于E 求证 四边形ADOE是正方形 证明 AB AC OD AB OE AC 四边形ADOE是矩形 又 OD垂直平分AB OE垂直平分AC AB AC 四边形ADOE是正方形 状元成才路 5 如图 在半径为50mm的 O中 弦AB的长为50mm 求 1 AOB的度数 2 点O到AB的距离 解 1 OA OB AB 50mm AOB是等边三角形 AOB 60 2 作OM AB 则 AOM AOB 30 在Rt AOM中 AM AB 25mm 状元成才路 6 如图是一个隧道的横截面 它的形状是以点O为圆心的圆的一部分 如果M是 O中弦CD的中点 EM经过圆心O交 O于点E 并且CD 4m EM 6m 求 O的半径 解 连接OC OM平分CD OM CD且CM MD CD 2m 设半径为r 在Rt OCM中 OC r OM EM OE 6 r 由勾股定理得OC2 CM2 OM2 即r2 22 6 r 2 解得r 即 O的半径为m 状元成才路 7 如图 一条公路的转弯处是一段圆弧AB 点O是这段弧的圆心 AB 300m C是AB上一点 OC AB 垂足为D CD 45m 求这段弯路的半径 解 设半径为r OC AB AD BD AB 150m 在Rt ODB中 OD2 BD2 OB2 即 r 45 2 1502 r2 解得r 272 5m 因此 这段弯路的半径为272 5m 状元成才路 8 如图 两个圆都以点O为圆心 求证 AC BD 证明 过O作OE AB 垂足为E 连接OA OC OD OB 则AE BE CE DE AE CE BE DE 即AC BD 状元成才路 9 O的半径为13cm AB CD是 O的两条弦 AB CD AB 24cm CD 10cm 求AB和CD之间的距离 综合应用 状元成才路 解 分两种情况讨论 第一种情况 当AB CD在圆心O的同侧时 如图 1 过点O作OM CD 垂足为M 交AB于点E AB CD OE AB 连接OB OD EM OM OE 7cm 状元成才路 第二种情况 当AB CD在圆心O的异侧时 如图 2 同第一种情况可得OE 5cm OM 12cm EM OM OE 17cm 即AB和CD之间的距离为7cm或17cm 状元成才路 10 如图 AB和CD分别是 O上的两条弦 圆心O到它们的垂线段分别是OM和ON 如果AB CD OM和ON的大小有什么关系 为什么 拓展延伸 状元成才路 解 OM ON 理由如下 连接OA OC 则OA OC ON CD OM AB 又 AB CD CN AM CN2 AM2 在Rt OCN和Rt OAM中 OM2 OA2 AM2 ON2 OC2 CN2 OM2 ON2 OM ON 状元成才路 课堂小结 垂径定理 垂径定理 垂直于弦的直