第五章--数字滤波器的基本结构

数字信号处理教程授课人 梁快 第五章数字滤波器的基本结构 5 1数字滤波器结构的表示方法5 2无限长单位冲激响应 IIR 滤波器的基本结构5 3有限单位冲激响应 IIR 滤波器的基本结构5 4数字滤波器的格型结构 5 1数字滤波器结构的表示方法 数字滤波器的系统函数表示 5 1 由上式所得系统输入输出关系的常系数线性差分方程 5 2 结论 数字滤波器的功能就是把输入序列通过一定的运算变换成输出序列实现数字滤波器方法 1 计算机软件 2 专用数字硬件 数字信号处理器及通用数字信号处理器数字滤波器基本实现单元 加法器 单位延时和常数加法器基本单元表示法 方框图法和信号流程图法 如图5 1所示 例 二阶数字滤波器表示方法常系数线性差分方程 1 方框图如图5 2所示 2 等效信号流离转徙结构如图5 3所示 图5 3的各节点值为由此得出 注意 1 本书都只采用信号流图来分析数字滤波器 2 运算结构中 不同存储单元影响复杂性 乘法次数影响运算速度 不同运算结构的误差 稳定性是不同的 5 2无限长单位冲激响应 IIR 滤波器的基本结构 无限长单位冲激响应 IIR 特点 1 系统的单位冲激响应h n 是无限长的 2 系统函数H z 在有限z平面上有极点存在 3 结构上存在着输出到输入的反馈 即结构是递归的 基本结构有 直接I型 直接II型 级联型和并联型 一 直接I型 系统输入输出关系的N阶差分方程构成直接I型特点 1 表示将输入及延时后的输入组成M节的延时网络 即横向延时网络 实现零点 2 表示输出及其延时组成N节延时网络 实现极点 3 直接I型需要N M级延时单元 如图5 4 直接II型 典范型 1 直接I型变换结构 2 直接II型 在I型的基础上进行延时支路合并 特点 a只需N个延时单元b系数对滤波器的性能控制作用不明显 c极点对系数变化过于灵敏 三 级联型 系统函数按零极点进行分解得把共轭因子合并有H z 完全分解成实系数的二阶因子形式 实现方法 a 当M N时 共有节 b 如果有奇数个实零点 则有一个等于零 如果有奇数个实极点 则有一个等于零 c 一阶 二阶基本节 整个滤波器级联 六阶节级联如图5 7 5 8 5 9所示 特点 1 调整一阶 二阶基本节的零极点不影响其它基本节 2 配合成基本二阶节有种方式 对于配合与排列次序有最优化问题 3 级联各节之间 要有电平的放大和缩小 以使变量值不会太大或太小 四 并联型 将因式分解的H Z 展成部分分式的形式 得到并联IIR的基本结构 5 7 当M N时 H z 表示为 5 8 式5 7实现如图5 10所示 由图5 11所示基本节组成 共轭极点化成实系数二阶多项式表示方法 当m n时 5 9 可表示成实现方法 当N为奇数时 包含一个一阶节 图5 12为一个M N 3时的并联实现 并联型特点 1 用调整一对极点位置 不能单独调整零点位置 2 各并联节间的误差没有影响 转置定理 如果将原网络中所有去路方向倒转 并将输入x t 和输出y t 相互交换 则其系统函数H Z 不变 转置如图5 13 5 14所示 5 3有限单位冲激响应 IIR 滤波器的基本结构 特点 1 系统的单位冲激响应h n 有有限个n值处不为零 2 系统函数H Z 在 z 0处收敛 在 z 0处只有零点 全部极点都在z 0处 3 主要是非递归结构 没有输出到输入的反馈 系统函数为 5 10 一 横截型 卷积型 直接型 5 10式的系统差分方程为 5 11 上式为卷积和 是x n 延时链的横向结构 称为横截型结构或卷积型结构 也可称直接型结构 如图5 15 5 16所示 二 级联型 将H z 分解成实二阶因子的乘积形式 若N为偶数 则系数中有一个为零 图5 17为FIR的级联结构 特点 1 在需要控制传输零点时采用 2 其系数及乘积比卷积多 三 频率抽样型 由H k 表示H z 的内插公式 5 13 上述公式提供了两部分级联组成的滤波器结构 5 14 其中第一部分为 5 15 这是一个FIR子系统 由N节延时单元构成的梳状滤波器 令则有它的频率响应为 5 16 因而幅度响应为相角为其子网络结构及频率响应幅度为图5 18 级联的第二部分为它是由N个一阶网络并联组成 而这每一个一阶网络都是一个谐振器 5 17 令的分母为零 即令得到一阶网络在单位圆上有一个极点也就是说 此一阶网络在频率为处响应为无穷大 N个并联谐振器与梳状滤波器级联后得到图5 19的频率抽样结构 结构缺点 有可能出现系统不稳定现象 频率抽样结构修正 即将所有零极点都移动到单位圆内某一靠近单位圆 半径为r的圆上 如图5 20 修正后系统函数为新抽样点上的抽样值 但由于 因此有简化5 18公式 谐振器的各个的极点为将共轭根如图5 21进行合并 满足也就是 其次由于h n 是实数 故H k DFT h n 也是共轭对称 即因此 第k个和 N k 合并为一个实系数的二阶网络 5 19 其中它相当于一个有限Q的谐振器 谐振频率为其结构如图5 22所示 当N为偶数时 如图5 21a所示 有一对实根因而对应的一阶网络为 5 21 5 22 其结构如图5 23所示 当N为奇数时 只有一个实根z r 修正后的频率抽样型总结构 N为偶数时 5 23 N为奇数时 5 24 N为偶数时其结构如图5 24所示 为奇数时其结构见图5 22所示 四 快速卷积结构 利用 时域序列的圆周卷积等效于频域的离散频谱的乘积 这一性质 具体方法如下 1 将x n 和h n 变成L点序列 求x n 和h n 各自的L点DETX k DET x n L点H k DET h n L点 3 将X k 与H k 相乘得Y k 4 求Y k 的L点IDET 得y n 则L点的圆周卷积就能代表线性卷积这就得到图5 25的快速卷积结构 五 线性相位FIR滤波器的结构 如果FIR滤波器单位冲激响应h n 为实数 且满足下列条件偶对称奇对称则其对称中心在 则其具有严格线性相位 该滤波器结构讨论 其冲激响应为h n 满足上述对称条件 其系统函数为 5 26 当N为奇数时在第二个和式中令n N 1 m 再将m换成n 可得代入线性相位奇偶对称条件 可得 5 27 由5 27式可画出N为奇数 线性相位FIR滤波器的直接结构流图5 26式 当N为偶数时在第二个和式中 令n N 1 m 再将m换成n可得代入线性相位奇偶对称条件可得该滤波器结构流图如图5 27所示 5 4数字滤波器的格型结构 优点 1 它的模块化结构便于实现高速并行处理 2 一个m阶格型滤波器可以产生从一阶到m阶的m个横向滤波器的输出性能 3 它对有限长的的舍入误差不灵敏 本节主要对全零点结构 全极点结构及零极点系统的格型系统结构进行讨论 一 全零点系统 FIR 的格型结构 M阶的FIR滤波器的横向结构系统函数H z 可写成由上式得全零点系统的格型结构如图5 28 由横向结构的参量导出格型结构的参量方法 该格型结构是一个典型的FIR系统 其基本单元如图5 29所示 有如下表达式 m 1 2 M 5 30 m 1 2 M 5 31 并且有 5 32 5 33 若定义m 1 2 M 5 34a m 1 2 M 5 34b 可以看出 格型结构有着模块化的结构形式 1 首先看格型结构高阶和低阶系数的递推关系将5 30 5 31式取z变换 可得 5 35 5 36 将5 35式除以 5 36式除以可得 5 37 5 38 或者反过来得到 5 39 5 40 5 37 40给出格型结构中人高阶到低一阶 或低阶到高一阶的关系 得出与的互相递推关系 由5 34式知 5 41 因而将它代入5 37 5 38式 令m 1 可得 5 42 同样 令m 1 2 M 代入5 37 38式推出 5 43 将5 43式分别代入5 37 39式 可得 5 44 5 45 2 格型结构的反射系数与横式滤波器各系数关系 5 46 5 47 3 综上 当给出 可按以下步骤求出 1 由5 46式求出 2 从5 47式 由及求出 或者由5 45式直接求出 则 3 重复 2 可全部求出 例5 1一个FIR系统的系统函数为试求其格型结构 解 这是一个三阶系统 因而按照5 47式 可知 因而同样可得因而图5 30给出了此例题的格型结构 二 全极点系统 IIR 的格型结构 全极点系统 IIR 滤波器的系统函数表示为 5 48 把5 30 5 31式重写如下m 1 2 M 5 49 m 1 2 M 5 50 这是全极点IIR格型结构基本单元 如图5 31 由基本单元组成的全极点格型如图5 32 利用全零点格型相同方法 导出全极点格型滤波器的系统函数 并利用系数求得参数的方法 1 令图5 32中M 1 由5 49 50式可知 5 51 5 52 由于一阶情况下有则5 51 52式可写成 5 53 5 54 由5 53式取z变换得令则对5 54式取z变换可得令则上面是一阶系统的推导 2 二阶全极点格型结构 在图5 32中令M 2 则由5 49 50式可得 5 55 5 56 在此二阶情况下有考虑51 52式 55 56式变成 5 57 5 58 对5 57取z变换 可得令 5 59 则有 5 60 同样 对5 58取z变换 可得 5 62 从而可得 5 63 3 由此类推 若定义 5 63 则有 5 64 且有 5 65 结论 全极点系统的系数与全零点计算方法基本相同 例5 2一个全极点系统的系统函数为求此全极点系统的格型结构 解 该例求解与上例相同 得其格型结构如图5 33 三 零 极点 IIR 的格型结构 在有限z平面既有零点又有极点的IIR系统函数 5 34 其格型结构如图5 34 特点 上半部分对应全极点系统 下半部分对应全零点系统 极点按全极点方法求 但上半部分对下半部分有影响 求由5 63式 有所以 5 67 考虑5 67式 则 5 68 因为 5 69 将5 69式代入5 68式 得 5 70 整个系统的系统函数是分别用加权后的