高中数学 （主干知识+典例精析）3.1任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数课件 理 新人教B版.ppt

第一节任意角的概念与弧度制 任意角的三角函数 三年3考高考指数 1 了解任意角的概念 2 了解弧度制的概念 能进行弧度与角度的互化 3 理解任意角的三角函数 正弦 余弦 正切 的定义 1 三角函数的定义及应用是本节的考查重点 注意三角函数值符号的确定 2 同角三角函数关系式常用来化简 求值 是高考的热点 3 主要以选择题 填空题的形式考查 1 角的有关概念 1 角的分类 按旋转的方向 正角 按照 方向旋转而成的角 角负角 按照 方向旋转而成的角 射线没有旋转 逆时针 顺时针 零角 2 象限角 第一象限角 2k 2k k z 第二象限角 2k 2k k z 第三象限角 2k 2k k z 第四象限角 2k 2k 2 k z 3 终边相同的角所有与 终边相同的角 包括 本身构成一个集合 这个集合可记为s 或 k 360 k z 2k k z 即时应用 1 思考 角 为锐角是角 为第一象限角的什么条件 提示 充分不必要条件 因为锐角为大于0小于的角 而第一象限角为 2k 2k k z 2 若 是第二象限角 判断下列表述是否正确 在括号内填 或 k 360 45 k z 90 180 k 360 90 k 360 180 k z k 180 135 k z 解析 k 360 45 k z表示的是与45 终边相同的角 是第一象限的角 故不正确 90 180 不能表示所有第二象限的角 故不正确 正确 k 180 135 表示的是当k为偶数时 与135 终边相同的角 当k为奇数时 与315 终边相同的角 不能表示第二象限的角 故不正确 答案 2 弧度的定义和公式 1 定义 长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 弧度记作rad 2 公式 半径长 角的弧度数公式 弧长用l表示 角度与弧度的换算 1 rad 弧长公式 弧长l 扇形面积公式 s 1rad 即时应用 1 337 30 的弧度数是 2 的度数为 3 扇形半径为45 圆心角为120 则弧长为 解析 1 337 30 表示的弧度数为 2 的度数为 75 3 圆心角120 的弧度数为 故弧长l 45 30 答案 1 2 75 3 30 3 任意角的三角函数 1 任意角的三角函数的定义 为任意角 的终边上任意一点p 异于原点 的坐标 x y 它与原点的距离 op r r 0 则sin cos tan cot sec csc 2 三角函数在各象限的符号 象限 函数 符号 3 三角函数线三角函数线可以看作是三角函数的几何表示 正弦线的起点都在x轴上 余弦线的起点都是原点 正切线的起点都是 1 0 如图中有向线段mp om at分别叫做角 的 角 的 和角 的 正弦线 余弦线 正切线 即时应用 1 已知角 终边上一点a 2 2 则sin cos tan cot sec csc 2 判断下列三角函数值的符号 sin tan csc 解析 1 r sin cos tan cot sec csc 2 是第二象限角 sin 是第三象限角 tan 是第四象限角 csc 答案 1 2 正 正 负 弧度制的应用 方法点睛 弧度制的应用 1 引进弧度制后 实现了角度与弧度的相互转化 在弧度制下可以应用弧长公式 l r 扇形面积公式 s lr r2 计算弧长和扇形的面积利用弧度制比角度制更简捷 方便 2 应用上述公式时 要先把角统一为用弧度制表示 提醒 弧度制和角度制不能混用 解决问题时要先统一 例1 已知扇形的圆心角是 半径为r 弧长为l 1 若 60 r 10cm 求扇形的弧长l 2 若扇形的周长为20cm 当扇形的圆心角 为多少弧度时 这个扇形的面积最大 3 若 r 2cm 求扇形的弧所在的弓形的面积 解题指南 1 可直接用弧长公式 但要注意用弧度制 2 可用弧长或半径表示出扇形面积 然后确定其取最大值时的半径和弧长 进而求出圆心角 3 利用s弓 s扇 s 这样就需要求扇形的面积和三角形的面积 规范解答 1 l 10 cm 2 由已知得 l 2r 20 所以s lr 20 2r r 10r r2 r 5 2 25 所以r 5时 s取得最大值25 此时l 10 2rad 3 设弓形面积为s弓 由题知l cms弓 s扇 s 2 22 sin cm2 互动探究 将本例第 1 小题中的r 10cm改为扇形的弦ab cm 再求弧长l 解析 因为圆心角 60 ab cm 所以r cm l cm 反思 感悟 1 弧度制下的弧长 扇形面积公式与角度制下的弧长公式l 扇形面积公式s 有着必然的内在联系 2 在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理地利用圆心角所在的三角形 变式备选 扇形oab的面积是1cm2 它的周长是4cm 求圆心角的弧度数和弦ab的长 解析 设扇形的半径为rcm 弧长为lcm 圆心角的弧度数2r l 4r 1为 则有 解得lr 1l 2 由 得 2 ab 2sin1 cm 弦长ab为2sin1cm 终边相同角的表示 方法点睛 1 角 与所在象限的关系 第一或第三象限 第二或第四象限 2 正确区分 是第一象限角 与 0 是第一象限角 则有2k 2k k z 显然 若 是第一象限角 不一定是0 若0 则 必为第一象限角 例2 已知角 是第一象限角 确定2 终边所在的象限位置 解题指南 确定 的范围 并求出2 的范围 由2 的范围讨论终边所在位置 规范解答 是第一象限角 k 2 k 2 k z k 4 2 k 4 k z 即2k 2 2 2k 2 k z 2 的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上 当k 2n n z 时 的终边在第一或第三象限 当k 2n 1 n z 时 即 的终边在第二或第四象限 综上 2 的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上 的终边在第一象限或第二象限或第三象限或第四象限 反思 感悟 1 是第一象限的角 是指 的终边落在第一象限内 可表示为2 解答本题时容易出现把 第一象限的角 与 锐角 混为一谈 误认为第一象限角就是锐角而出现错误 变式训练 若角 与 的终边在一条直线上 则 与 的关系是 解析 当 的终边重合时 k 2 k z 当 的终边互为反向延长线时 k 2 2k 1 k z 答案 k 2 k z或 2k 1 k z 三角函数的定义 方法点睛 定义法求三角函数值的两种情况 1 已知角 终边上一点p的坐标 则可先求出点p到原点的距离r 然后利用三角函数的定义求解 2 已知角 的终边所在的直线方程 则可先设出终边上一点的坐标 求出此点到原点的距离 然后利用三角函数的定义求解相关的问题 若直线的倾斜角为特殊角 也可直接写出角 的三角函数值 例3 已知角 的终边在直线3x 4y 0上 sin cos tan 的值 解题指南 在直线上设出点 求出所设点到原点的距离 求得三角函数值 因为所设点可在不同象限 所以需要讨论 规范解答 角 的终边在直线3x 4y 0上 在角 的终边上任取一点p 4t 3t t 0 则x 4t y 3t r po 当t 0时 r 5t sin tan 当t 0时 r 5t sin cos tan 综上可知 sin cos tan 或sin cos tan 反思 感悟 1 利用三角函数定义解题时 方法比较灵活 若是角 的终边落到一条直线上 一般要分类讨论 2 任意角的三角函数与锐角三角函数的关系 1 联系 锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例 它们的基础是建立于相似或直角三角形的性质 r 同为正值 2 区别 锐角三角函数是以边的比来定义的 任意角的三角函数是以坐标与距离 坐标与坐标的比来定义的 它也适合锐角三角函数的定义 3 实质 由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程 变式训练 2012 济南模拟 已知角 的终边经过点p m m 0 且sin 试判断角 所在的象限 并求cos 和tan 的值 解析 由题意 得r m 0 m 故角 是第二或第三象限角 当m 时 r 点p的坐标为 cos tan 当m 时 r 点p的坐标为 cos tan 变式备选 已知角 的终边过点 a 2a a 0 求 的三角函数值 解析 因为角 的终边过点 a 2a a 0 所以 r x a y 2a 当a 0时 sin cos tan 2 当a 0时 sin cos tan 2 易错误区 三角函数的定义应用误区 典例 2011 江西高考 已知角 的顶点为坐标原点 始边为x轴的正半轴 若p 4 y 是角 终边上一点 且sin 则y 解题指南 根据三角函数的定义列方程求出y值 注意y的符号 规范解答 由p 4 y 是角 终边上一点 且sin 可知y 0 op 根据任意角的三角函数的定义得化简得y2 64 解得y 8 答案 8 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 上海高考 若三角方程sinx 0与sin2x 0的解集分别为e f 则 a e f b e f c e f d e f 解析 选a 因为sinx 0 sin2x 0 所以角x和角2x的终边都在x轴上 所以e x x k k z f x x k z