高中数学 9.5空间的距离配套课件 理 新人教A版.ppt

第五节空间的距离 三年9考高考指数 1 掌握两条直线的距离的概念 对于异面直线的距离 只要求会计算已知公垂线时的距离 2 掌握直线和平面的距离的概念 3 掌握两个平行平面的距离的概念 1 点到平面的距离是高考考查的重点 2 多以三棱锥 四棱锥或三棱柱 四棱柱为背景考查点到平面的距离 3 高考试题的考查形式有两种 一种是直接求距离 一种是与空间角 面积 体积的计算有关的距离问题 空间中七种常见的距离 两点间的距离 连结两点的 的长度 点到直线的距离 从直线外一点向直线引垂线 的长度 点到平面的距离 一点到它在一个平面内的 的距离 两条平行直线间的距离 从两条平行线中的一条直线上任意一点向另一条直线引垂线 的长度 两条异面直线的距离 两条异面直线的 的长度 平行于平面的直线与此平面的距离 如果一条直线和一个平面平行 从直线上任意一点向平面引垂线 的长度 两个平行平面的距离 两个平行平面的 的长度 线段 点和垂足间线段 正射影 点和垂足间线段 公垂线段 点和垂足间线段 公垂线段 即时应用 判断下面命题的真假 在括号内填上 或 已知正方体abcd a1b1c1d1 则 1 b d1两点间的距离为线段bd1的长度 2 点a到平面a1b1c1d1的距离与点a到平面bb1d1d的距离相等 3 点a到直线bd的距离与点a到直线b1d1的距离相等 4 直线ab与cd间的距离等于线段ad的长度 5 直线a1d1与bb1间的距离等于线段a1b1的长度 6 直线ab与平面cc1d1d的距离等于线段ad的长度 7 平面abcd与平面a1b1c1d1的距离等于线段aa1的长度 解析 1 由两点间的距离的定义知 1 正确 2 由点到平面的距离的定义可知 点a到平面a1b1c1d1的距离等于正方体的棱长 而点a到平面bb1d1d的距离等于正方体棱长的倍 2 错误 3 由点到直线的距离公式知 点a到直线bd的距离等于正方体棱长的倍 点a到直线b1d1的距离等于正方体棱长的倍 3 错误 4 由平行线间的距离的定义可知 ab与cd的距离等于正方体的棱长 4 正确 5 由异面直线间的距离的定义可知 5 正确 6 由直线与平面间的距离的定义知 6 正确 7 由平行平面间的距离的定义知 7 正确 答案 1 2 3 4 5 6 7 点到平面的距离 方法点睛 求点到平面的距离的两种思路一是作出垂线段 求出垂线段的长 这种方法的难点在于找垂足的位置 而实际问题中垂足的位置通常是一些特殊的点 例如三角形的重心 垂心 一些线段的中点等 二是利用等体积法 即通过转换三棱锥的顶点的位置 建立方程求出点到平面的距离 这种方法具有一定的灵活性 提醒 利用等体积转化时 一定要选择合适的顶点 否则不但运算量大 而且易出错 例1 2011 四川高考 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 bac 90 ab ac aa1 1 d是棱cc1上的一点 p是ad的延长线与a1c1的延长线的交点且pb1 平面bda1 1 求证 cd c1d 2 求二面角a a1d b的平面角的余弦值 3 求点c到平面b1dp的距离 解题指南 1 即证明点d为棱cc1的中点 连结ab1 与ba1交于点o 连结od 则od pb1 o为ab1的中点 则d为棱cc1的中点 2 找出二面角a a1d b的平面角 过a作ae da1于点e 连结be 3 点c到平面b1dp的距离是点c到平面db1a的距离 由等积法求解 规范解答 1 连结ab1 与ba1交于点o 连结od pb1 平面bda1 又 pb1 平面ab1p 平面ab1p 平面bda1 od od pb1 又ao b1o ad pd 又ac c1p cd c1d 2 过a作ae da1于点e 连结be ba ca ba aa1 且aa1 ac a ba 平面aa1c1c 由三垂线定理可知be da1 bea为二面角a a1d b的平面角 在rt a1c1d中 a1d 由 ae 在rt bae中 be cos bea 故二面角a a1d b的平面角的余弦值为 3 由题意可知 点c到平面b1dp的距离等于点c到平面db1a的距离 设此距离为h 由已知可得ap pb1 ab1 在等腰三角形ab1p中 又 点c到平面b1dp的距离等于 互动探究 若本例中条件不变 求点p到平面a1b1d的距离 解析 由本例中 1 可知d为cc1的中点 c1为a1p的中点 即a1p 2 又 三棱柱abc a1b1c1为直三棱柱 且 b1a1c1 90 b1a1 平面a1c1ca b1a1 a1d 即 b1a1d为直角三角形 设p到平面a1b1d的距离为h 由得h 即h 反思 感悟 1 点到平面的距离实际上就是从平面外一点引这个平面的垂线 这个点和垂足之间的距离 此定义实际上给出了求点到平面的距离的方法 即要求一点到一平面的距离 只要找到此点在该平面的射影即可 2 当直接找点在平面的射影有困难时 常考虑利用等体积法进行转化求解 变式备选 如图 在四棱锥p abcd中 pd 平面abcd pd dc bc 1 ab 2 ab dc bcd 90 1 求证 pc bc 2 求点a到平面pbc的距离 解析 1 因为pd 平面abcd bc 平面abcd 所以pd bc 由 bcd 90 得bc dc 又pd dc d pd 平面pcd dc 平面pcd 所以bc 平面pcd 因为pc 平面pcd 所以pc bc 2 连结ac 设点a到平面pbc的距离为h 因为ab dc bcd 90 所以 abc 90 从而由ab 2 bc 1 得 abc的面积s abc 1 由pd 平面abcd及pd 1 得三棱锥p abc的体积因为pd 平面abcd dc 平面abcd 所以pd dc 又pd dc 1 所以pc 由pc bc bc 1 得 pbc的面积s pbc 由得h 因此 点a到平面pbc的距离为 直线与平面的距离及两个平行平面的距离 方法点睛 线面距离与面面距离的求法解决空间中直线与平面的距离及两个平行平面的距离 通常是转化为点到平面的距离 其关键是将点的位置选择恰当 可简化图形 简化运算 其关系如下 1 线面距离 点面距离 点线距离 两点间的距离 2 面面距离 点面距离 点线距离 两点间的距离 例2 如图 已知斜三棱柱abc a1b1c1 ac bc ac bc 2 a1在底面abc上的射影恰为ac的中点d 又知ba1 ac1 1 求证 ac1 a1c 2 求cc1到平面a1ab的距离 3 求二面角a a1b c的大小 a b c d b1 a1 c1 解题指南 1 要证ac1 a1c 可转化为证明ac1 平面a1bc 2 要求cc1到平面a1ab的距离可转化为点c到平面a1ab的距离 因此可考虑过点c作一平面与平面a1ab垂直 然后借助面面垂直的性质定理作出点c到平面a1ab的距离即可 3 可借助问题 2 中的相关结论作出二面角a a1b c的平面角 并求角 规范解答 1 a1d 平面abc a1d bc 又 ac bc a1d ac a bc 平面acc1a1 bc ac1 又 ba1 ac1 bc ba1 b ac1 平面a1bc ac1 a1c a c b f d h a1 c1 b1 g 2 ac1 a1c 四边形acc1a1为菱形 故aa1 ac 2 又d为ac的中点 a1ac 60 a1ac为等边三角形 取aa1的中点f 连结bf cf 则aa1 平面bcf 从而平面a1ab 平面bcf 过c作ch bf于h 则ch 平面a1ab 故ch即为所求cc1到平面a1ab的距离 在rt bcf中 bc 2 cf 故ch 即cc1到平面a1ab的距离为 3 过h作hg a1b于g 连结cg 由 2 可知 cgh为二面角a a1b c的平面角 在rt a1bc中 a1c bc 2 cg 在rt cgh中 sincgh 故二面角a a1b c的大小为arcsin 反思 感悟 在解决本题时 如何作出点c到平面a1ab的距离是关键 而本题问题 2 过点c作出平面cfb 平面a1ab是解决问题的突破口 借助于面面垂直的性质 过平面内一点作直二面角的棱的垂线 求解点到平面的距离问题是常见的辅助线作法 一定要注意领会并掌握 变式训练 已知 正方体abcd a1b1c1d1 棱长为a 1 求证 平面a1bd 平面b1d1c 2 求平面a1bd到平面b1d1c的距离 解析 1 在正方体abcd a1b1c1d1中 bb1平行且等于dd1 四边形bb1d1d是平行四边形 bd b1d1 bd 平面b1d1c 同理a1b 平面b1d1c 又a1b bd b 平面a1bd 平面b1d1c 2 连结ac1交平面a1bd于m 交平面b1d1c于n ac是ac1在平面ac上的射影 又ac bd ac1 bd 同理可证 ac1 a1b a1b bd b ac1 平面a1bd 即mn 平面a1bd 同理可证mn 平面b1d1c mn的长是平面a1bd到平面b1d1c的距离 a a1 b1 d c c1 d1 m n b e f 设ac bd交于e a1c1 b1d1交于f 则平面a1bd与平面a1c1ca交于直线a1e m 平面a1bd m ac1 平面a1c1ca m a1e 同理n cf 在矩形aa1c1c中 如图 由平面几何知识得mn ac1 mn a 平面a1bd到平面b1d1c的距离为a a1 a e c c1 f m n 变式备选 已知正三棱柱abc a1b1c1 底面边长为8 对角线b1c 10 d为ac的中点 1 求证 ab1 平面c1bd 2 求直线ab1到平面c1bd的距离 解析 1 设b1c bc1 o 连结do 则o是b1c的中点 在 acb1中 d是ac的中点 o是b1c的中点 do ab1 又do 平面c1bd ab1平面c1bd ab1 平面c1bd 2 由于三棱柱abc a1b1c1是正三棱柱 d是ac中点 bd ac 且bd cc1 bd 平面ac1 平面c1bd 平面ac1 c1d是交线 在平面ac1内作ah c1d 垂足是h 则ah 平面c1bd 又ab1 平面c1bd 故ah的长是直线ab1到平面c1bd的距离 由bc 8 b1c 10 得cc1 6 在rt c1dc中 dc 4 cc1 6 sinc1dc 在rt dah中 adh c1dc ah ad sinc1dc 即ab1到平面c1bd的距离是 异面直线间的距离 方法点睛 求异面直线的距离的几种方法 1 定义法 一般应先找出两异面直线的公垂线段 再通过解三角形求解 2 转化法 若不能直接找出公垂线 则可考虑用线面平行法或面面平行法转化成求直线和平面的距离或平行平面的距离 3 函数极值法 依据两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上的两点距离中的最小值 求空间的距离时 都是通过作辅助线 辅助面等方法将空间问题转化为平面问题来解决的 例3 设abc a1b1c1为直三棱柱 aa1 1cm ab 4cm bc 3cm abc 90 设过a1 b c1的平面与平面abc的交线为l 1 判断直线a1c1与l的位置关系 并加以证明 2 求点a1到直线l的距离 3 求点a到平面a1bc1的距离 4 作ch bc1 垂足为h 求异面直线ab与ch之间的距离 解题指南 1 利用线面平行的性质定理可知a1c1 l 2 点a1到l的距离可借助三垂线定理来寻求 3 关键是找出点a到平面a1bc1的垂线段 注意运用图形中的垂直关系 特别是面面垂直的关系 4 关键是找出异面直线ab与ch的公垂线段 规范解答 1 a1c1 l 证明如下 a1c1 平面abc a1c1 平面a1c1b 平面a1c1b 平面abc l a1c1 l 2 如图所示 作ad l 垂足为d 连结a1d a1a 平面abc a1d l a1d为所求 又 l ac 而b到ac的距离等于 cm ad cm 在rt a1ad中 a1d cm 点a1到直线l的距离为cm 3 由 2 知l 平面aa1d l 平面a1c1b 所以平面a1ad 平面a1bc1 作ag a1d 垂足为g ag 平面a1bc1 ag cm 点a到平面a1bc1的距离为cm 4 ab bc 而bc为bc1在平面abc上的射影 ab bc1 又 ch bc1 ab与ch的公垂线段是bh ch cm bh cm ab与ch之间的距离为cm 反思 感悟 求解空间距离的一般步骤 1 作 即先作出表示距离的线段 要符合作图规则 避免随意性 2 证 即证明所作的线段符合题目的要求 为所求线段 证明要符合逻辑且推理正确 3 计算 即将所求线段放置在三角形中 解三角形求解或利用等积法求解 变式训练 如图 在 abc中 b 90 ac d e两点分别在ab ac上 使 2 de 3 现将 abc沿de折成直二面角 求 1 异面直线ad与bc的距离 2 二面角a ec b的大小 用反三角函数表示 解析 1 如图1 因故de bc 又b 90 从而ad de 如图2中 因a de b是直二面角 ad de 故ad 底面dbce 从而ad db 而db bc 故db为异面直线ad与bc的公垂线 下面求db的长 在图1中 由得又已知de 3 从而bc de ab 6 因故db 2 异面直线ad与bc的距离为2 2 如图2 过d作df ce 交ce的延长线于f 连结af 由 1 知 ad 底面dbce 由三垂线定理知af fc 故 afd为二面角a ec b的平面角 在底面dbcf中 def bce db 2 ec 因此sinbce 从而在rt dfe中 de 3 df desindef desinbce 在rt afd中 ad 4 tanafd 因此所求二面角a ec b的大小为arctan 满分指导 空间距离解答题的规范解答 典例 12分 2011 上海高考 已知abcd a1b1c1d1是底面边长为1的正四棱柱 o1为a1c1与b1d1的交点 1 设ab1与底面a1b1c1d1所成角的大小为 二面角a b1d1 a1的大小为 求证 tan tan 2 若点c到平面ab1d1的距离为 求正四棱柱abcd a1b1c1d1的高 解题指南 1 设出正四棱柱的高为h 然后分别用h表示tan 和tan 即可 2 规范解答 设正四棱柱的高为h 1 连结ao1 aa1 底面a1b1c1d1 ab1a1是ab1与底面a1b1c1d1所成的角 ab1a1 2分 在等腰 ab1d1中 ao1 b1d1 又a1c1 b1d1 ao1a1是二面角a b1d1 a1的一个平面角 ao1a1 4分 在rt ab1a1中 tan h 在rt ao1a1中 tan h tan tan 6分 b b1 c1 d1 a1 o1 a d c 2 连结ac cb1 cd1 一方面 8分 b a d c b1 c1 d1 a1 o1 则四面体ab1d1c的体积v 9分另一方面 设正四棱柱abcd a1b1c1d1的体积为v1 三棱锥c b1c1d1的体积为v2 则v v1 4v2 h 据此 得h 解得高h 2 所以正四棱柱abcd a1b1c1d1的高为2 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到如下失分警示和备考建议 1 2011 大纲版全国卷 已知直二面角 l 点a ac l c为垂足 b bd l d为垂足 若ab 2 ac bd 1 则d到平面abc的距离等于 a b c d 1 解析 选c 如图 作de bc于e 由 l 为直二面角 ac l得ac 平面 进而ac de 又bc de bc ac c 于是de 平面abc 故de为d到平面abc的距离 在rt bcd中 利用等面积法得de 2 2012 南宁模拟 在棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1中 m为ab的中点 则点c到平面a