高中数学 2.1.5.2点到直线的距离公式课件 北师大版必修2 .ppt

对点到直线的距离的几点说明 1 此公式适用于p0为平面内任意一点 特别地当p0在直线上时 点p0到直线的距离为零 点到直线的距离 2 几种特殊情况下的点到直线的距离 点p x0 y0 到x轴的距离d y0 点p x0 y0 到y轴的距离d x0 点p x0 y0 到平行于y轴的直线x a的距离为d x0 a 点p x0 y0 到平行于x轴的直线y b的距离d y0 b 3 点到直线的距离也可以转化成点与点之间的距离 使用点到直线的距离公式的前提条件是 把直线方程化成一般式 例1 求点p 1 2 到下列直线的距离 1 l1 y x 3 2 l2 y 1 3 y轴 审题指导 直线方程及点的坐标均明确给出 求解的关键是把直线方程化成一般式 直接代入公式求解 必要时数形结合更方便 规范解答 1 将直线方程化为一般式为 x y 3 0 由点到直线的距离公式得 2 方法一 直线方程化为一般式为 y 1 0 由点到直线的距离公式得方法二 y 1平行于x轴 由图 1 知 d 2 1 3 3 方法一 y轴的方程为x 0 由点到直线的距离公式得方法二 由图 2 可知 d 1 0 1 互动探究 求点p 1 2 到下列直线的距离 1 x y 1 0 2 x y 4 0 解析 1 点p 1 2 在直线x y 1 0上 点p 1 2 到直线x y 1 0的距离为0 2 由点到直线的距离公式得点p 1 2 到直线x y 4 0的距离为 两平行线间的距离的求解策略 1 等价转化法 因为两平行线间的公垂线段都相等 故两平行线间的距离等于平行线上任意一点到另一条直线的距离 即两平行线间的距离可以转化为点到直线的距离 两平行线间的距离 2 公式法 已知两条直线l1 ax by c1 0和l2 ax by c2 0 c1 c2 则两条直线间的距离在利用公式法计算平行线间的距离时务必保证 方程化成一般式 x y的系数相等 例2 求直线l1 3x 4y 1与直线l2 间的距离 审题指导 已知两直线的方程 求解本题可考虑利用等价转化法和公式法两种方式 需注意应用公式法解答本题时应把直线l1 l2的方程化成一般式 且x y的系数相同 规范解答 方法一 等价转化法 l1 l2 两直线间的距离等于直线l1上任意一点到直线l2的距离 不妨在直线l1上取点p 1 1 则该点到直线l2的距离为方法二 公式法 把直线l1 l2的方程分别化成一般式得l1 3x 4y 1 0 l2 3x 4y 2 0 由两平行线间的距离公式得 互动探究 把题设中 l1 3x 4y 1 换成 求相应问题 用两种方法求解 解题提示 思路一 在l1上任取点p利用点到直线的距离公式求解 思路二 把直线l1 l2的方程化成一般式 代入公式求解 解析 第一种方法 l1 l2 两直线间的距离等于直线l1上任意一点到直线l2的距离 不妨在直线l1上取点p 0 6 则该点到直线l2的距离为第二种方法 把直线l1 l2的方程分别化成一般式得l1 3x 4y 24 0 l2 3x 4y 2 0 由两平行线间的距离公式得 1 距离公式的综合应用到目前已学习的距离包括两点间的距离 点到直线的距离及两平行线间的距离 涉及到距离的问题常常结合以上三个公式 利用已知条件有效的组合运用 需特别注意的是点到直线的距离及两平行线间的距离的适用条件 不可错用 距离公式的应用 2 直线方程的求解策略立足确定直线的几何要素 点和方向 利用直线方程的各种形式 结合直线的位置关系 平行直线系 垂直直线系及过交点的直线系 巧设直线方程 在此基础上借助三种距离公式求解 注意直线方程的特殊情形 如斜率不存在的情形 截距为零的情形等等 例3 已知直线l经过点p 3 1 且被两平行直线l1 x y 1 0和l2 x y 6 0截得的线段长为5 求直线l的方程 审题指导 本题求直线l的方程 现知两个条件 过定点 3 1 被平行线l1 l2截得的线段长为5 可画出它们的图形 利用平面几何知识求斜率 也可设出斜率 利用距离公式求出k 规范解答 方法一 设两平行线x y 1 0和x y 6 0的距离为d 则如图 设 pbb pb b 则 45 因为两平行直线的斜率为 1 故所求直线的斜率不存在或为零 由于直线过点p 3 1 故所求直线l的方程为x 3或y 1 方法二 若直线l的斜率不存在 则直线l的方程为x 3 此时与l1 l2的交点分别为a 3 4 和b 3 9 截得的线段长 a b 4 9 5 符合题意 若直线l的斜率存在 则设直线l的方程为y k x 3 1 解方程组得 解方程组得由 ab 5 得解得k 0 即所求的直线方程为y 1 综上可知 所求直线l的方程为x 3或y 1 变式训练 求过点a 2 1 且与原点距离为2的直线方程 解题提示 分直线斜率存在和不存在两种情形讨论 解析 若直线与x轴垂直 则直线为x 2 d 2 0 2 故x 2符合题意 当直线不与x轴垂直时 设直线为y 1 k x 2 即kx y 2k 1 0 原点到直线的距离 直线方程为3x 4y 10 0 综上 所求直线为x 2或3x 4y 10 0 例 若实数a b满足a b 1 0 求的最小值 审题指导 可变形为看成点 a b 与点 1 1 的距离 又a b 1 0 可将问题转化为点 1 1 到直线a b 1 0上的点的距离的最小值 规范解答 设点m 1 1 p a b 则上式表示点p到点m的距离 又点p在直线a b 1 0上运动 故即为点m与直线a b 1 0上任意一点连线的距离 pm 的最小值应为点m到直线的距离 变式备选 已知a 1 3 b 3 1 点c在3x y 3 0上 且 abc的面积为10 求点c的坐标 解析 由题意知设点c x0 y0 又直线ab的方程为x y 4 0 解得或 点c的坐标为或 典例 12分 已知点p到两定点m 1 0 n 1 0 距离的比为点n到直线pm的距离为1 求直线pn的方程 审题指导 已知及点n到直线pm的距离 求解的关键利用上述条件求出点p的坐标进而写出直线pn的方程 规范解答 设点p的坐标为 x y 由题设有即整理得x2 y2 6x 1 0 3分因为点n到pm的距离为1 mn 2 所以 pmn 30 直线pm的斜率为直线pm的方程为 6分 将 式代入 式整理得x2 4x 1 0 解得代入 式得点p的坐标为或 10分直线pn的方程为y x 1或y x 1 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 2011 温州高二检测 已知直线l过两直线3x y 10 0和x y 2 0的交点 且直线l与点a 1 3 和点b 5 2 的距离相等 求直线l的方程 解析 由得设所求l的方程为y 1 k x 3 则解得 l的方程为x 4y 1 0 又当直线的斜率不存在时 l的方程为x 3 也满足题意 故所求直线的方程为x 4y 1 0或x 3 1 原点到直线x 2y 5 0的距离为 a 1 b c 2 d 解析 选d 2 两条平行线y 2x 3与y 2x 4之间的距离是 a 1 b 7 解析 选c 由题意可知两平行线可化为2x y 3 0与2x y 4 0 两平行线间的距离 3 已知点 4 m 到直线x y 4 0的距离等于1 则m的值为 解析 由点到直线的距离公式得解得答案 4 已知直线l1与l2 x y 1 0平行 且l1与l2的距离为则直线l1的方程是 解析 设直线l1的方程为x y c 0 由两平行线间的距离公式得解得c 1或c 3 直线l1的方程是x y 1 0或x y 3 0 答案 x y 1 0或x y 3 0 5 已知直线l经过点p 2 5 且斜率为 1 求直线l的方程 2 若直线m与l平行 且点p到直线m的距离为3 求直线m的方程 解析 1 由直线方程的点斜式 得整理得所求直线方程为3x 4y 14 0 2 由直线m与直线l平行 可设直线m的方程为3x 4y c 0 由点到直线的距离公式得即解得c 1或c 29 故所求直线方程为3x 4y 1 0或3x 4y 29 0 一 选择题 每题4分 共16分 1 2011 嘉兴高二检测 点 1 1 到直线x y 1 0的距离是 解析 选d 由题意可知 2 过点p 0 1 且与原点距离为1的直线方程为 a x 1 b y 1 c x y 1 d x y 1 解析 选b 点p 0 1 到原点的距离为1 过点p 0 1 且与原点距离为1的直线方程有且只有一条 为y 1 3 如图 点a的坐标为 1 0 点b在直线y x上运动 当线段ab最短时 点b的坐标为 解析 选b 由题意可知当ab垂直于直线x y 0时线段ab最短 此时kab 1 设b a a 则 4 2011 海口高二检测 两直线3x y 3 0与6x my 1 0平行 则它们之间的距离为 解题提示 解答本题可先利用两直线平行求出m的值 进而求出两直线的距离 解析 选d 由题意知解得m 2 直线6x my 1 0可化为由两平行线间的距离公式得 二 填空题 每题4分 共8分 5 2011 徐州高二检测 两平行直线x 3y 4 0与2x 6y 9 0的距离为 解析 直线2x 6y 9 0可化为由两平行线间的距离公式得答案 6 2011 蚌埠高二检测 与直线7x 24y 5平行 并且与该直线之间的距离等于3的直线方程是 解析 设所求直线的方程为7x 24y c 0 由题意可知解得c 70或c 80 所求直线的方程为7x 24y 70 0或7x 24y 80 0 答案 7x 24y 70 0或7x 24y 80 0 三 解答题 每题8分 共16分 7 直线l在两坐标轴上的截距相等 且p 4 3 到直线l的距离为求直线l的方程 解析 1 当所求直线经过坐标原点时 设其方程为y kx 由点到直线的距离公式可得解得故所求直线的方程为 2 当直线不经过坐标原点时 设所求方程为即x y a 0 由题意可得解得a 1或a 13 故所求直线的方程为x y 1 0或x y 13 0 综上可知 所求直线的方程为或x y 1 0或x y 13 0 8 已知点a 1 3 b 3 1 c 1 0 求 abc的面积 解题提示 求 ab 求点c到ab的距离h 利用 解析 设ab边上的高为h 则ab边上的高h就是点c到ab的距离 ab边所在直线的方程为 即x y 4 0 点c 1 0 到直线x y 4 0的距离因此 挑战能力 10分 已知三条直线l1 2x y a 0 a 0 直线l2 4x 2y 1 0和直线l3 x y 1 0 且l1与l2的