高考数学总复习 第二章 第二节函数的单调性与最大(小)值课件 理.ppt

第二节函数的单调性与最大 小 值 第二章函数 导数及其应用 考纲要求 1 理解函数的单调性以及几何意义 2 会运用函数图象理解和研究函数的性质 3 会求一些简单函数的值域 4 理解函数的最大值 最小值以及几何意义 课前自修 知识梳理 一 函数单调性的定义1 对于函数f x 的定义域i内某个区间d上自变量的任意两个值x1 x2 1 若x1 x2时 都有 则称f x 在这个区间d上是增函数 2 若x1 x2时 都有 则称f x 在这个区间d上是减函数 2 若函数y f x 在某个区间是 则称函数y f x 在这一区间上具有单调性 这一区间叫做函数y f x 的 此时也称函数f x 是这一区间上的单调函数 f x1 f x2 f x1 f x2 增函数或减函数 单调区间 二 证明函数单调性的一般方法1 定义法 用定义法判断 证明函数单调性的一般步骤是 1 设x1 x2 且x1 x2 2 作差 3 将差式变形 要注意变形的程度 一般结果要分解为若干个因式的乘积 且每一个因式的正或负能清楚地判断出 4 判断 要注意说理的充分性 5 根据f x1 f x2 的符号确定其增减性 即下结论 概括为 取值 作差 变形 定号 下结论 是给定区间内的任意两个值 f x1 f x2 f x1 f x2 的正负 2 导数法 设f x 在某个区间 a b 内有导数 若f x 在区间 a b 内 总有f x 0 f x 0 则f x 在区间 a b 上为增函数 减函数 反之 若f x 在区间 a b 内为增函数 减函数 则f x 0 f x 0 请注意两者的区别所在 三 求函数单调区间的方法定义法 导数法 图象法 四 复合函数及其单调性1 复合函数 设y f u u b u g x x a 通过变量u 得到y关于x的函数 那么称这个函数为函数y f u 和u g x 的 记作 其中y f u 叫做外函数 u g x 叫做内函数 u称为中间变量 它的取值范围是g x 的值域的子集 复合函数 y f g x 2 复合函数y f g x 的单调性规律 对于函数y f u 和u g x 如果u g x 在区间 a b 上具有单调性 当x a b 时 u m n 且y f u 在区间 m n 上也具有单调性 则复合函数y f g x 在区间 a b 具有单调性的规律见下表 以上规律还可总结为 同增异减 五 函数的最大值 最小值一般地 设函数y f x 的定义域为a 如果 m r 满足 1 对 x a 恒有f x m 或f x m 2 x0 a 使得f x0 m 则称m是函数y f x 的 六 求函数值域 最值 的各种方法因为函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的 故其类型依解析式的特点可分为三类 1 求常见函数的值域 2 求由常见函数复合而成的函数的值域 3 求由常见函数作某些 运算 而得函数的值域 无论用什么方法求函数的值域 都必须首先考虑函数的定义域 具体的方法有 直接法 配方法 分离常数法 换元法 三角函数有界法 基本不等式法 单调性法 数形结合法 导数法 对于具体函数几乎都可以用导数法去解决 最大值 或最小值 基础自测 1 已知函数f x 为r上的减函数 则满足f f 1 的实数x的取值范围是 a 1 1 b 0 1 c 1 0 0 1 d 1 1 b 3 2011 阳江市模拟 函数y 3x 2 x 1 1 2 的值域是 解析 该函数的定义域已给定为 1 1 2 易知其值域为 5 1 4 答案 5 1 4 4 2012 温州市第一次适应性测试 一个矩形的周长为l 面积为s 给出 4 1 8 6 10 8 其中可作为 l s 取得的实数对的序号是 考点探究 考点一 函数单调性的讨论与证明 例1 讨论函数f x x a 0 在 0 上的单调性 自主解答 点评 本题用的是定义法 注意按定义法的步骤进行 取值 作差 变形 定号 下结论 变式探究 1 判断并证明函数f x x3 a a r a是常数 的单调性 考点二 求函数的单调区间 变式探究 考点三 求复合函数的单调区间 例3 求函数y log x2 2x 3 的单调区间 并用单调定义给予证明 解析 由x2 2x 3 0 x 3或x 1 所以函数的定义域为 1 3 因为外函数y logu在 0 上递减 内函数u x2 2x 3在 1 上递减 在 3 上递增 由复合函数的单调性规律 同增异减 知 函数y log x2 2x 3 的单调递减区间是 3 单调递增区间是 1 现用单调定义证明如下 变式探究 3 函数f x x r 的图象如图所示 则函数g x f logax 0 a 1 的单调递减区间是 考点四 求函数的值域 点评 本例通过求七个不同类型的函数的值域 较全面地复习了求函数值域的常用方法 如观察法 配方法 图象法 换元法 不等式法 三角代换法 导数法等 有的题可以用多种方法求解 有的题用某种方法求解比较简捷 同学们要通过不断实践 熟悉和掌握各种解法 并在解题中尽量采用简捷解法 变式探究 4 已知函数f x x r且x 2 1 求f x 的单调区间 2 若函数g x x2 2ax与函数f x 在x 0 1 上有相同的值域 求a的值 考点五 求函数的最值 2 法一 在区间 1 上 f x 0恒成立 x2 2x a 0恒成立 设y x2 2x a x 1 y x2 2x a x 1 2 a 1在 1 内递增 当x 1时 ymin 3 a 当且仅当ymin 3 a 0时 函数f x 0恒成立 a 3 法二 f x x 2 x 1 当a 0时 函数f x 的值恒为正 当a0时 函数f x 0恒成立 故a 3 变式探究 5 2012 肇庆市二模 已知f x 2x 1 g x 1 x2 规定 当 f x g x 时 h x f x 当 f x g x 时 h x g x 则h x a 有最小值 1 最大值1b 有最大值1 无最小值c 有最小值 1 无最大值d 有最大值 1 无最小值 解析 画出y f x 2x 1 与y g x 1 x2的图象 它们交于a b两点 由 规定 在a b两侧 f x g x 故h x f x 在a b之间 f x g x 故h x g x 综上可知 y h x 的图象是图中的实线部分 因此h x 有最小值 1 无最大值 故选c 答案 c 课时升华 1 在讨论函数的单调性或求单调区间时应注意 1 先求定义域 单调区间是定义域的子集 2 在多个单调区间之间不一定能添加符号 和 或 3 单调区间应该用区间表示 不能用集合或不等式表示 4 要注意函数单调性与奇偶性的逆用 如比较大小 解不等式 求参数范围 2 确定函数的单调性或单调区间的常用方法与技巧 1 在解答题中常用定义法 导数法 2 在选择题和填空题中还可用数形结合法 特殊值法等 特别要注意y ax a 0 b 0 型函数的图象和单调性在解题中的运用 增区间为 减区间为 0 0 3 一些有用的结论 在公共定义域内 1 增函数f x 增函数g x 是增函数 2 减函数f x 减函数g x 是减函数 3 增函数f x 减函数g x 是增函数 4 减函数f x 增函数g x 是减函数 4 求函数值域 最值 的各种方法 1 直接法 利用常见函数的值域来求 一次函数y ax b a 0 的定义域为r 值域为r 反比例函数y k 0 的定义域为 x x 0 值域为 y y 0 3 导数法 就是利用导数这一工具来求函数的值域 几乎所有具体函数都可以用导数法来求值域 或最值 4 换元法 通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数 其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型 注意 利用换元法求值域与最值时 必须注意换元后要转变变量的取值范围 因为定义域是值域的基础 5 函数有界性法 直接求函数的值域较困难时 可以利用已学过函数的有界性来确定所求函数的值域 最常用的就是三角函数的有界性 如正 余弦函数均为有界函数 即 sinx 1 cosx 1 9 不等式法 利用基本不等式a b 2 a b r 求函数的最值 其题型特征解析式是和式时要求积为定值 解析式是积的形式时要求和为定值 不过有时需要用到拆项 添项和两边平方等技巧 注意 利用均值不等式求值域与最值时 必须保证 一正 二定 三相等 特别是等号成立的条件容易被忽视 求函数的定义域 值域时 要按要求写成集合形式或区间形式 5 求最值时应注意的问题 1 求函数最值的方法 实质上与求函数值域的方法类似 只是答题方式有差异 2 无论用何种方法求最值 都要考虑 能否成立 注意 函数的值域与函数的最值从概念上看是不同的 函数值域的边界值并非是函数的最值 写函数值域时要注意其边界值 最值 是否能够取到 取到用闭区间 取不到则用开区间 函数值域的几何意义是对应函数图象上纵坐标的变化范围 故有时可结合函数图象分析值域 同时要注意函数图象的端点值是否能够取到 其图象上是实心点还是空心点 作图要准确 感悟高考 品味高考 解析 函数y ln x 2 在区间 0 上为增函数 函数y 在区间 0 上为减函数 函数y x在区间 0 上为减函数 函数y x 在区间 0 上为先减后增函数 故选a 答案 a 2 2012 山东卷 设a 0且a 1 则 函数f x ax在r上是减函数 是 函数g x 2 a x3在r上是增函数 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 若函数f x ax在r上为减函数 则有00 所以a 2 所以 函数f x ax在r上为减函数 是 函数g x 2 a x3为增函数 的充分不必要条件 故选a 答案 a 高考预测 解析 设f1 x 2x a x 2 f2 x x a2