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第一部分：数字推理的认识 数字推理是公务员考试当中最值得花时间学习的部分，言其理主要是通过认真的学习可以保证不丢分。在国家公务员考试或者地方公务员考试当中，数字推理一般是5题或10题，其分值大概每题在0.8分左右。其类型更是千奇百怪，无奇不有。但通过从2002年2008年这7年的考试题目分析。我们最终还是找到一些规律和确定了一些认识。借此写下这篇文章供大家参考。 数字推理就是给出一组数字，但其中缺少一项，要求考生仔细观察这个数列各数字之间的关系，找出其中的排列规律，然后从4个选项中选出自己认为最合适、合理的一个来填补空缺项，使之符合原数列的排列规律。在寻找规律的时候，我们必须遵循规律的固有的性质：规律的普遍性和延续性。 在这几年公务员考试的过程当中，数字推理的题型发生了很大的变化， 从最初简单的等比，等差，差值的数字特性规律渐渐发展到了复合运算，隔项运算，移动运算，甚至是数字本身拆项运算这样复杂的规律。 但其规律的基本性质还是必须遵循的，一组数列一般需要满足三项已知的规律状态，从而推导出第四项数字规律。 如： 8，10，14，20，（） A 24 B 28 C 32 D 36 此题是数字之间差值构成等差数列关系。 1082； 14104； 20146； ？208 ？28 如果我们把题目改变一下： 10，14，20，（） A 24 B 28 C 32 D 36 是否能够根据14104；20146； 这2项推导出 28208呢？ 我想大家都能感觉到这是一种非常牵强的做法。 但就目前公务员考试的题目中来讲 这样的情况一般是很少发生的，除非是具备特殊性，这里所谓的特殊性是 具有复杂的复合运算构成的规律，可以是两项推导出第三项 如：2，3，13，175，（） 解： 22(3的2次方)13 32（13的2次方）175 推导出： 132（175的2次方）30651 另外对于非传统常规的规律方法。我们要慎重运用对待，比如：余数规律方法，连续自然数整除方法，数字转换中文笔画方法。首尾相加方法 ，特殊数字的拆分表示等，后面在具体介绍特殊类型的时候，我将逐一介绍！ 总之，学习数字推理并不像我们想像中的那么难，主要是大家尚未对数字推理有一个深刻的认识，再加上目前各种原创题目的古怪刁钻，严重干扰了考生们对数字推理的把我程度。这里我需要强调的是数字推理的设计层次一般不会超过3层。如果说一个数字推理里面揉合了3层以上的规律 那么这个题目就是一个失败的题目。 我建议大家在平时的练习中还是注重基础传统方法的训练。对特殊方法有个充分的了解就足够了！ 第二部分：数字推理的基础知识 在进行数字推理的学习和训练之前，我们必须具备一些相应的基础知识， 这些对于你快速定位数字推理的规律起到非常重要的作用。 这里我列举了如下若干种规律（若有新的基础知识，我们将随时补充） （一）自然数，奇数，偶数，质数，合数 自然数： 在我们小学的时候，我们学习过关于自然数的概念。 自然数是大于等于0的整数集合。这里需要讨论的是0是不是自然数，因为我们在小学的时候，课本上是介绍0不是自然数。最小的自然数是1。 但是目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了方便于国际交流，1993年颁布的中华人民共和国国家标准（GB 3100-3102-93）量和单位（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 奇数 偶数： 奇数就是不能被2整除的整数为奇数。反之能被2整除的整数为偶数。 0是偶数。 质数 合数： 只能被1和它本身整除的自然数（1除外）就是质数 也称之为素数。合数是指除了1和它本身之外还有第三个以上的约数的自然数。 关于质数合数 需要注意以下几点： （1） 2是最小的质数， 也是唯一是偶数的质数。 （2） 4是最小的合数。最多有连续5个自然数同为合数。 （3） 需要记住100以内的质数。（这里不一一罗列） （二）次方，开方 次方： （1）需要记住120以内的平方。熟练程度：脱口而出！ （2）需要记住110以内的立方。熟练程度：脱口而出！ （3）需要记住2的112次方的值。熟练程度：脱口而出！ （4）需要对平方数，立方数正负5范围内的数字非常熟悉。当然在练习的过程中主要是针对所有数字做判断 开方： （1）记住，根号21.414，根号3=1.732 的值 （数学运算、资料分析中运用的可能性比较大） （三）阶乘，圆周率 阶乘： （1）需要记住17以内的阶乘（排列组合部分快速作答 也是非常重要的） （2）0的阶乘是1 圆周率：3.1415926. （四）闰年，平年 闰年即2月份是29天，全年366天，平年即2月份是28天，全年是365天。判断一个年份是闰年还是平年 主要是从2个方面去区分： （1） 看是否是世纪年。即整100年为1个世纪年。如：1700年，1800，1900年， 如果是世纪年，那么其年份必须要能被400整除才是闰年。不能整除就是平年。 （2）如果不是世纪年，看这个年份能否被4整除，如果能被4整除，那就是闰年，否则就是平年。 例题： 2100-2-9， 2100-2-13， 2100-2-18， 2100-2-24， （ ） A、2100-3-2 B、2100-3-3 C、2100-3-4 D、2100-3-5 这个题目其实是一道真题的演变题目。是我在做05年江苏省真题解析的时候看到一个简单的题目，经过加上闰年平年的概念改编的。此题非常具备欺骗性。是一道心理诱惑题。通过简单的发现其差值等差的简单规律。然后根据其所处年份的日期计算得到结果。在大家注重寻找规律的同时，对第2道关口闰年的判断就可能放松警惕，导致功亏一篑。 此题选B 其2100年是平年。所以2月份是28天。 第三部分：题型分类 这一章节我将从这几年国家考试和地方公务员考试的数字推理题目类型入手，将其分类。以便大家能够更好的有针对性的复习和训练。 在数字推理的题目当中，单一的类型是极少出现的。大多数题目都是几种类型的复合体。所以只有对这几种传统或者热门的类型充分了解和掌握之后才能更好的把握考试中的复杂推理题目。 下面我们就来具体谈谈这些传统的热门的推理基础类型： （一） 数字性质数列。 数字性质数列，指的是最后看到的规律是一组具有特殊定义的数字，例如，质数序列。合数序列等，已经我们常见的一些特定符号表示的数字（例如圆周率）。 例题：3，5，8，13，20，（） A 29 B 31 C 33 D 35 此题我们不难发现，差值是2，3，5，7，11 这就是我们在前章节中要求大家需要掌握的质数。 质数构成了一个数列。 当然在考试中往往会与其它类型结合在一起，相对隐藏的比较深一点。我们再看一个例子： 例题： 8，12，16，18，20，24，（） A 26， B 28， C 30， D 32 此题，是把合数序列变化伪装了一下 ， 842； 1262 1682 1892 20102 24122 这样看就显而易见了，4，6，8，9，10，12 是合数序列了。这个题目只不过是把合数序列2隐藏了以下。或者同时加上某个相同的数字变化以下也是一种伪装方法 如此题： 7，9，11，12，13，（） A 14 B 15 C 16 D 17 练习题目： （1） 0，2，1，4，3，（） A 5， B 6， C 7， D 8 （2） 8，10，13，18，25,( ) A 30 B 33 C 36 D 39 （3） 24, 48,72, 90,( ) A 120 B 126 C 144 D 156 （4） 3,6,18,90,630,( ) A 6300 B 6930 C 6390 D 6960 （5） 16,64,256,512,1024,( ) A 2048 B 4096 C 8192 D 12288 （6） 6,9,13,16,21,( ) A 25 B 26 C 27 D 28 （7） 3，1，4，1，5，9，2，（） A 4， B 6 C 5 D 7 （8） 21，34，45，52，57，（） A 60 B 61 C 62 D 63 （9） 3，11，23，39，57，77，（） A 89 B 98 C 101 D 105 （10） 2000-2-9， 2000-2-13， 2000-2-18， 2000-2-24， （ ） A、2100-3-2 B、2100-3-3 C、2100-3-4 D、2100-3-5 （二） 等差/等比数列 等差数列： 是指一组数列相邻的数字之间差值相等的这样一种规律。例如：1，3，5，7，9，11. 差值都是2 等比数列： 是指一组数列相邻2个数字之间的商相等的这样一种规律 例如：2，4，8，16，32， 他们之间都是2倍的关系。 （1）传统等差等比：当然在考试的过程当中这些规律都被隐藏在第二步或者第三步中。不会这么一步看出来的。另外等比数列，等差数列的。公比或者公差都是一些比较不常见的数字。那么就给我们的思维设置了一个障碍了。 例如：16，24，36，54，81，（） 我们发现他们之间的公比是1.5即3/2 （2）公差公比等差等比：另外我们还需要注意的是。等比数列和等差数列的发展不在是传统意义上公比公差不变的状况了。 现在的题目开始在公比公差上做起了文章。让公比公差看上去形成一个规律。 例如：12，9，13.5，40.5，243，（） 120.759 91.513.5 13.5340.5 40.56243 243122916 这个时候我们可以看出 0.75，1.5，3，6，12 比值是等比数列。当然也可以是比值是等差数列。例如 6，6，12，36，144，（） （3）组合等差等比：这种关系往往是考试的终极难度了。因为这是建立在前2种基础上的变化。而且由一项变成多项的组合。这样就很难一眼看出来。 例如：3，1，8，18，52，（） 我们发现这是一个组合关系的等比数列。 314 8 189 18 81826 52 规律公式就是 C（AB）2 练习题目： (1) 12，18，27，40.5，（） A 60.75 B.61 C.62.25 D.65 (2) 3, 20, 44, 75, 113, ( ) A 150 B.158 C.161 D.163 (3) 17, 23, 35, 53, 77, ( ) A 107 B 114 C 120 D 100 (4) 7, 3, 17, 23, 57, ( ) A 83 B 88 C 98 D 103 (5) 3, 6, 18, 90, 630, ( ) A 6930 B 6960 C 7370 D 7360 (6) 3, 10, 24, 52, ( ) A 104 B 108 C 112 D 116 (7) 108, 114, 102, 126, 78, ( ) A.174 B 32 C 164 D 48 (8) 3, 6, 8, 16, 18, 36, ( ) A.38 B 72 C 64 D 48“牛吃草”的问题 主要抓住草每天的增长速度这个变量。至于其原本有多少 ？不是我们关心的内容，为什么这么说，因为在我们计算的时候，实际上是根据差值求草长速度，那么原有的草量都是一样， 有些题目可能面积不一样，但是每亩地的原始草量确实一样的。！废话少说，就下面2个题目来讨论一下：1一片牧草，可供16头牛吃20天，也可以供80只羊吃12天，如果每头牛每天吃草量等于每天4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃这一片草，几天可以吃完？（ ）A.10 B.8 C.6 D.4我们先要确定一个单位，即一头牛每天吃的草量为1个标准单位，或者叫做参照单位因为此题中出现了牛和羊，这两个吃草效率不等，转化一下4羊1牛。看题目（1）“一片牧草，可供16头牛吃20天” 说明 这片牧草 吃了20天即原有的草和20天长出来的草共计是2016320个单位（2）“也可以供80只羊吃12天”相当于“20头牛吃12天”说明这片牧草吃了12天即原来的草和12天长出来的草共计是1220240个单位两者相减 32024080 就是多出的8天所长的草量 即每天草长速度是80810个单位现在是“10头牛与60只羊一起吃这一片草”相当于“1060425头牛吃草”牛多了，自然吃的天数就少了我们还是可以根据上面的方法，挑选（1）或者（2）来做比较。就挑选（1）32025a（20a）10这个等式，a表示我们要求的结果 即可解得 a8天。322头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽，17头牛吃同样牧场28公亩的草，84天可以吃尽。请问几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天吃尽？（ ）A.50 B.46 C.38 D.35再看这个有面积的题目其实道理是一样的。我们只要将不同的转化为相同的， 面积不一样，但是没公亩的原有量和每天每亩草长的量是相同的。根据这个条件1：(2254)/33 这是每公亩的情况 条件2：(1784)/28 这是每公亩的情况相减 (1784)/28 (2254)/33（8454）a a表示每亩草长速度解得a0.5 单位依旧是没头牛每公亩吃草的单位作为标准单位最后我们假设x头牛24天可以吃完40公亩草那么挑选上面的一个情况拿过来做对比：(2254)/3324x/40(54-24)0.5即可解得x35头牛 在说这2 道关于“插板法”的排列组合题目之前，我们需要弄懂一个问题：插板法排列组合是需要什么条件下才可以使用？这个问题清楚了，我们在以后的答题中 就可以尽量的变化题目使其满足这个条件。这个条件就是： 分组或者分班等等 至少分得一个元素。 注意条件是 至少分得1个元素！好我们先来看题目，例题1：某学校四、五、六三个年级组织了一场文艺演出，共演出18个节目，如果每个年级至少演出4个节目，那么这三个年级演出节目数的所有不同情况共有几种？【解析】这个题目是Q友出的题目，题目中是不考虑节目的不同性 你可以视为18个相同的节目 不区分！发现3个年级都是需要至少4个节目以上！ 跟插板法的条件有出入， 插板法的条件是至少1个，这个时候对比一下，我们就有了这样的思路 ，为什么我们不把18个节目中分别给这3个年级各分配3个节目。这样这3个班级就都少1个，从而满足至少1个的情况了339 还剩下1899个剩下的9个节目就可以按照插板法来解答。 9个节目排成一排共计8个间隔。分别选取其中任意2个间隔就可以分成3份（班级）！C8取228练习题目：有10个相同的小球。 分别放到编号为1，2，3的盒子里 要使得每个盒子的小球个数不小于其编号数。那么有多少种放法？【解析】还是同样的原理。 每个盒子至少的要求和插板法有出入 那么我们第一步就是想办法满足插板法的要求。 编号1的盒子是满足的 至少需要1个， 编号2至少需要2个，那么我们先给它1个， 这样就差1个编号3至少需要3个，那么我们先给它2个， 这样就差1个现在三个盒子都满足插板法的要求了 我们看还剩下几个小球 ？101277个小球6个间隔 再按照插板法来做 C6，215种！浓度问题：有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重克，乙杯盐水重克现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中这样两杯新盐水的含盐率相同从每杯中倒出的盐水是多少克？ 公式： mn/(m+n)=120*80/(12080)48 公式的由来是通过2个十字交叉法得到的 你假设交换的部分是a克盐水 假设120克的盐水 浓度是P1， 80克的盐水浓度是P2， 交换混合后相同的浓度是P 那么对于120克的盐水来讲 建立十字交叉法 120a（P1） PP2 P a（P2） P1P 我们得到 （120a）：a（PP2）：（P1P） 那么对于80克的盐水来讲 建立十字交叉法 80a（P2） P1P P a（P1） PP2 我们得到 （80a）：a（P1P）：（PP2） 根据这2个比例的右边部分我们可以得到 （120a）：aa：（80a） 化简得到 a12080/(120+80) 说明跟各自的浓度无关！ 补充方法：因为2种溶液的混合浓度相等。其实可以看作是先将2种溶液直接混合，在按照比例分开成2部分。所以我们假设交换了a克a克相对于120克的溶液剩下部分的比例也就是满足浓度之间的差值比例 跟原始的参照质量也是同一比例。即(120a)/a=120/80 a=48克或者 （80a）/a=80/120 a=48克 排列组合问题：在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式！ C5取3（543）/（321） C6取2（65）/（21） 通过这2个例子 看出 CM取N 公式 是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N的阶层作为分母 P53543 P66654321 通过这2个例子 PMN从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积 当NM时 即M的阶层 排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (mn)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二： 其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 分 类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个 标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成. 两 个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完 成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1有限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在” “邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： “相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法. “不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. “在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. 元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果. 2有限制条件的组合问题，常见的命题形式： “含”与“不含” “至少”与“至多” 在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”. 3 在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法. * 提供10道习题供大家练习 1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ C ） (A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个 -【解析】 根据三角形边的原理 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 可见最大的边是11 则两外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时 是两边之和最大的时候 因此我们以一条边的长度开始分析 如果为11，则另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6，。1 如果为10 则另外一个边的长度是10，9，8。2， （不能为1 否则两者之和会小于11，不能为11，因为第一种情况包含了11，10的组合） 如果为9 则另外一个边的长度是 9，8，7，。3 （理由同上 ，可见规律出现） 规律出现 总数是1197。1（111）6236 2、 （1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？ -【解析】 每封信都有3个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第1封信，有3种可能性。接着再放第2封，也有3种可能性，直到第4封， 所以分步属于乘法原则 即333334 （2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？ -【解析】跟上述情况类似 对于每个旅客我们都有4种选择。彼此之间选择没有关系 不够成分类关系。属于分步关系。如：我们先安排第一个旅客是4种，再安排第2个旅客是4种选择。知道最后一个旅客也是4种可能。根据分步原则属于乘法关系 即 44443 （3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？ -【解析】分步来做 第一步：我们先选出3本书 即多少种可能性 C8取356种 第二步：分配给3个同学。 P336种 这 里稍微介绍一下为什么是P33 ，我们来看第一个同学可以有3种书选择，选择完成后，第2个同学就只剩下2种选择的情况，最后一个同学没有选择。即321 这是分步选择符合乘法原则。最常见的例子就是 1，2，3，4四个数字可以组成多少4位数？ 也是满足这样的分步原则。 用P来计算是因为每个步骤之间有约束作用 即下一步的选择受到上一步的压缩。 所以该题结果是566336 3、 七个同学排成一横排照相. （1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？ （3600） -【解析】 这个题目我们分2步完成 第一步： 先给甲排 应该排在中间的5个位置中的一个 即C5取15 第二步： 剩下的6个人即满足P原则 P66720 所以 总数是72053600 （2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？ （1440） -【解析】 第一步：确定乙在哪个位置 排头排尾选其一 C2取12 第二步：剩下的6个人满足P原则 P66720 则总数是 72021440 （3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？ （3120） -【解析】特殊情况先安排特殊 第一种情况：甲不在排头排尾 并且不在中间的情况 去除3个位置 剩下4个位置供甲选择 C4取14， 剩下6个位置 先安中间位置 即除了甲乙2人，其他5人都可以 即以5开始，剩下的5个位置满足P原则 即5P555120600 总数是46002400 第2种情况：甲不在排头排尾， 甲排在中间位置 则 剩下的6个位置满足P66720 因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和 即 24007203120 （4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？ （1440） -【解析】相邻用捆绑原则 2人变一人，7个位置变成6个位置，即分步讨论 第1： 选位置 C6取16 第2： 选出来的2个位置对甲乙在排 即P222 则安排甲乙符合情况的种数是2612 剩下的5个人即满足P55的规律120 则 最后结果是 120121440 （5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520） -【解析】 这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边 和出现在乙的右边的概率是一样的。 所以我们不考虑左右问题 则总数是P775040 ,根据左右概率相等的原则 则排在左边的情况种数是504022520 4、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数. （1）能组成多少个四位数？ （300） -【解析】 四位数 从高位开始到低位 高位特殊 不能排0。 则只有5种可能性 接下来3个位置满足P53原则54360 即总数是 605300 （2）能组成多少个自然数？ （1631） -【解析】自然数是从个位数开始所有情况 分情况 1位数： C6取16 2位数： C5取2P22C5取1P1125 3位数： C5取3P33C5取2P222100 4位数： C5取4P44C5取3P333300 5位数： C5取5P55C5取4P444600 6位数： 5P555120600 总数是1631 这里解释一下计算方式 比如说2位数： C5取2P22C5取1P1125 先从不是0的5个数字中取2个排列 即C5取2P22 还有一种情况是从不是0的5个数字中选一个和0搭配成2位数 即C5取1P11 因为0不能作为最高位 所以最高位只有1种可能 （3）能组成多少个六位奇数？ （288） -【解析】高位不能为0 个位为奇数1，3，5 则 先考虑低位，再考虑高位 即 34P441224288 （4）能组成多少个能被25整除的四位数？ （21） -【解析】 能被25整除的4位数有2种可能 后2位是25： 339 后2位是50： P424312 共计91221 （5）能组成多少个比201345大的数？ （479） -【解析】 从数字201345 这个6位数看 是最高位为2的最小6位数 所以我们看最高位大于等于2的6位数是多少？4P554120480 去掉 201345这个数 即比201345大的有4801479 （6）求所有组成三位数的总和. （32640） -【解析】每个位置都来分析一下 百位上的和：M1=100P52(5+4+3+2+1) 十位上的和：M2=4410(5+4+3+2+1) 个位上的和：M3=44(5+4+3+2+1) 总和 MM1+M2+M3=32640 5、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查. （1）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？ （152096） 【解析】 也就是说被抽查的5件中有3件合格的 ，即是从98件合格的取出来的 所以 即C2取2C98取3152096 （2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少种？ （7224560） 【解析】同上述分析，先从2件次品中挑1个次品，再从98件合格的产品中挑4个 C2取1C98取47224560 （3）“其中没有次品”的抽法有多少种？ （67910864） 【解析】则即在98个合格的中抽取5个 C98取567910864 （4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？ （7376656） 【解析】全部排列