数学建模作业第三章.doc

3-1、p79， 2 试建立不允许缺货和允许缺货（缺货时每天每件缺货损失费为c3）一，不允许缺货模型 模型分析:如图模型假设：1，假设每天的销售速度一定，为r；2，每次生产准备费用为c1，每件每天的存储费为c2；3，周期为T，库存量最大为Q，0T0边生产，边销售。T0到T只生产不销售。4，生产速率为k，kr，一周总费用为S； 5，时间与库存的函数为连续的。 建模目的：S（T）最小；模型求解： ；S(T)=(QTc2/2+c1)/T ；ds /dt=0；联系得：T=二，允许缺货模型问题分析与思考 周期短，产量小，则贮存费少，但准备费多。相反，若周期长，产量大，则贮存费多，但准备费就少。 这是个优化问题，目的在于找出最佳的周期与产量，使得平均下来每天的总费用最少。因此，目标函数为：平均每天的总费用。模型假设1，假设每天的销售速度一定，为r；2，每次生产准备费用为c1，每件每天的存储费为c2,每天每件缺货损失为c3；3，周期为T，库存量最大为Q，0T0边生产，边销售。T0到T只生产不销售。4，生产速率为k，kr，一周总费用为S； 5，时间与库存的函数为连续的。 建模的目的：r，k，c1，c2，c3已知，求T和Q，使每天所花的总费用最少。模型建立： 缺货损失的费用: (T0 （k-r）Q)2/2（k-r）+( T0（k-r）-Q)2/2r)c3；贮存的费用为：(Q/k+Q/r)Q/2)c2; 所以总的费用：S=c1+ (T0 (k-r)Q)2/2(k-r)+(T0(k-r)-Q)2/2r)c3 +(Q/(k-r)+Q/r)Q/2)c2; (T- T0)r= T0(k-r) T=(k/r) T0；每天的总费用为:S(T,Q)=（(r+k) c3/2rk）（T02k2+Q2-2 QT0k）/T+ Q2(k+r)c2/2rkT+c1/T; 联合可得:S(T,Q)=（Q2(r+k)( c3 +c2)+c1）/2rkT+（r/（k+r）2k2T-2rk/(k+r)；模型求解: 求T,Q使S（T,Q）最小； 则应满足:ds /dt=0； T2=（2k2Q2 (c2+c3)+4krkc1 ）/2c3r2（k-r）2 ds /dQ=0；Q=c3r（k-r）T/（kc2）联系得：T=Q=3-2、（电视机最佳销售价格）设销售量（产量）x与价格p关系需求关系为1）x=Me-ap (M,a0) M:最大需求量 a:价格系数设成本C与销售量x的关系生产关系为2）C=C0-klnx (C0,k0,x1) C0:只生产一件时的成本 k:规模系数已知仅生产一台电视机的单位成本是5000元/台，生产10000台时的成本为3000元/台，根据市场调查，当地的电视机需求量为100万台。该厂的电视机去年每台售价为3000元，共售出4.9万台。若需求与生产关系如上1），2）式，试确定今年电视机的最佳销售价格。问题分析：1,价格越高销售约少，但单件利润越大； 2，销售越多,成本越低，但价格也越低；3，根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大；模型假设：1，销售量等于生产量，均为x； 2，总收入为I(x)，总投资为C(x),总利润为U(x);模型构成：x(p)= MeI(p)=x(p)p=Mep； C(p)= x (p)(C0-klnx(p)= Me(C0-klnx(p); U(p)=I(p)-C(p)=x(p)(p-C0+kx(p);模型求解： 为使U(p)max=0; (p-C0+kx(p)+x(p)-k=0； -ax(p)(p-C0+kln x(p)+(ak+1)x(p)=0； p= 此题求解: C=C0-klnx x=1,C0=5000； 5000-k10000=3000 k=500/ln10； 49000= Me ; M为最大需求量,当地的需求量即可理解为最大需求量，M=106由得：a= 代入数据算得:p=4109 x=16415最大利润为：Umax =16415*(4109-5000+(500/log10)*log16415）=1998104 3-3、（观赏海洋公园雕像）海洋公园中有一高为a米地美人鱼雕像,其底座高为b米,为了观赏时视角对雕像张成的夹角最大(即看得最清楚),应该站在离底座脚多远得地方?另外,若a=2.5m,b=3m,游人身高为1.7m,这时有人应离底座脚多远? 求解：建立如下图所示的坐标系：余弦定理可得：=arccos x0 将代入：=arccos 由图易知 0Q %选取最小的Q，与对应的i t=Q; flag=i; endendflagx=flag*0.001 %总的步数乘以步长为x的值运行结果：flag = x = 2224 2.2240结论：当人距离雕像底座为2.224米时，所能观察雕像的角度最大。3-4、（水管能否进入水塔） V1 V2 V4 V3 O在地面上有一座圆柱形水塔,水塔内部的直径为d,并在地面处开了一个高为H的小门.现在要对水塔进行维修施工,施工方案要求把一长度为l(ld)的水管运到水塔内部.请问水塔的门高H多高时,才有可能成功地把水管搬进水塔内?另外,若l=8m,d=4m,H=1.6m,这是水管能搬进水塔内吗?模型分析：当杆未同时触到O点、水塔内壁、地面三点时，杆一定可以继续往里挪。因此，只要分析当杆同时触到O点、水塔内壁、地面三点时的情况。如图所示：当杆同时触到三点时，再往里挪杆的瞬间可以看成杆绕O点旋转，将速度矢量分解，此时若V1 V3 、V2 V4 （水塔里杆的部分在竖直方向和水平方向上的速度大于杆在外面部分的竖直及水平方向的速度 ） ，则