高中数学 第4章 §2 2.2 第2课时生活中的优化问题举例课件 北师大版选修11.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修1 1 导数应用 第四章 2导数在实际问题中的应用 第四章 2 2最大值 最小值问题第2课时生活中的优化问题举例 第四章 能利用导数知识解决实际生活中的利润最大 效率最高 用料最省等最优化问题 重点 利用导数知识解决实际中的最优化问题 难点 将实际问题转化为数学问题 建立函数模型 思维导航1 生活中 我们经常遇到面积 体积最大 周长最小 利润最大 用料最省 费用最低 效率最高等等一系列问题 这些问题通常通称为优化问题 解决这些问题的基本思路 途径 过程是什么 优化问题 新知导学1 在解决实际优化问题中 不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示 还应确定函数关系式中 的取值范围 2 实际优化问题中 若只有一个极值点 则极值就是 自变量 最值 3 解决优化问题的基本思路 2 在周长为l的矩形中 面积的最大值为 3 2014 西安一中期中 从边长为10cm 16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形 作成一个无盖的盒子 则盒子容积的最大值为 cm3 答案 144 面积 容积最大问题 分析 将容积v表示为高h或底半径r的函数 运用导数求最值 由于表面积s 2 r2 2 rh 此式较易解出h 故将v的表达式中h消去可得v是r的函数 方法规律总结 1 利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 找出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小 最大 小 者为最大 小 值 4 把所得数学结论回归到数学问题中 看是否符合实际情况并下结论 2 面积 体积 容积 最大 周长最短 距离最小等实际几何问题 求解时先设出恰当的变量 将待求解最值的问题表示为变量的函数 再按函数求最值的方法求解 最后检验 利润最大问题 解析 1 设投入t 百万元 的广告费后增加的收益为f t 百万元 则有f t t2 5t t t2 4t t 2 2 4 0 t 3 当t 2百万元时 f t 取得最大值4百万元 即投入2百万元的广告费时 该公司由此获得的收益最大 令g x 0解得x 2 舍去 或x 2 当0 x0 当2 x 3时 g x 0 故g x 在 0 2 上是增函数 在 2 3 上是减函数 所以为x 2时 g x 取最大值 即将2百万元用于技术改造 1百万元用于广告促销 该公司由此获得的收益最大 方法规律总结 利润最大 效率最高等实际问题 关键是弄清问题的实际背景 将实际问题用函数关系表达 再求解 分析 1 p为x的分段函数 故y为x的分段函数 由生产一件合格品盈利3元 生产一件次品亏损1 5元及次品率p 可得日盈利额y关于日产量x的函数 其关系为日盈利额 合格产品盈利额 次品亏损额 2 利用导数求最值时 应注意c的范围 费用 用料 最省问题 分析 设出cd的长为x 进而求出ac bc 然后将总费用表示为变量x的函数 转化为求函数的最值问题 解析 如图所示 依题意 点c在直线ad上 设c点距d点xkm 某工厂要围建一个