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文档简介

第三章 常微分方程数值解法 第一节Euler方法 主要内容 一 引言二 建立数值解法的常用方法三 Euler方法四 几何意义五 Euler方法的误差估计六 向后Euler方法七 两步Euler方法 主要内容 许多实际问题的数学模型都可用微分方程的定解问题描述 如物体运动 电路震荡 化学反映及生物群体的变化等 多数微分方程没有解析解 有的方程即使有解析解 也可能由于解的表达式非常复杂而不易计算 数值解法是求解的重要手段 本章重点 研究一阶常微分方程的初值问题的数值解 本章假定 常微分方程数值解法 初值问题数值解法的提法 常微分方程数值解法 微分方程中含有导数项 建立微分方程数值解法 首先要将微分方程离散化 消除导数项 一般采用以下几种方法 1 用差商近似导数 2 用数值积分近似积分 实际上是左矩形法 宽 高 常用方法 3 用Taylor多项式近似并可估计误差 常用方法 用差商近似导数 问题转化为 Euler格式 例1 解 Euler格式为 例题1 计算结果为 误差较大精度较低 四 几何意义 几何意义 五 Euler方法的误差估计 准确值 近似值 Euler方法的误差估计 Euler方法是一阶方法 故精度不高 定义 截断误差 2 整体截断误差 截断误差 Euler方法是一阶方法 故精度不高 截断误差 六 隐式 向后 Euler方法 隐式格式 数值微分的向前差商公式与向后差商公式具有相同精度 因此二者精度相当 都是一阶方法 隐式Euler方法求解 预报校正法 预报 校正 向前差商与向后差商均具有一阶精度 可利用较高精度的中心差商公式代替微分方程中的导数项以提高差分方法的精度 七 两步Euler方法 两步法 二阶方法 小结 建立数值解法的常用方法Euler方法
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