数学椭圆.doc

一. 本周教学内容： 椭圆及其标准方程及几何性质二. 重点、难点 1. 椭圆定义及标准方程 定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 这两点F1F2称为椭圆焦点。两焦点的距离|F1F2|称为椭圆的焦距。注意： （1）定义用集合语言，平面内点集P=M|MF1|+|MF2|=2a，2a|F1F2|，其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 （2）当2a=|F1F2|时，轨迹是线段F1F2，当2ab0，哪个变量的分母大，焦点就在相应的坐标轴上。 3. 椭圆的几何性质 （1）范围： 由方程 （2）对称性： 由图得，关于x轴、y轴和原点对称。 由方程得同样结论。 （3）顶点（a，0），（0，b） 【典型例题】 例1. F1、F2是椭圆4x2+5y2=20的两个焦点，过F1作倾斜角为45的弦AB，求F2AB的周长和面积。 解： 例2. 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程。 （1）长轴长是短轴长的两倍，且过点（2，-6）； （2）x轴上一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为6。 分析：解此类问题的基本方法是“待定系数法” 由a=2b及（2，-6）是椭圆上的点，可解得椭圆方程为 例3. 分析：已知椭圆经过两点，求它的标准方程，一般需分焦点在x轴上和焦点在y轴上时，椭圆焦点在x轴上，当BA时，椭圆焦点在y轴上，则可避免讨论。 解： 例4. 如图所示，原点O是线段AB的中点，已知定圆A的半径为2a，点B在圆A内部，AB=a，现有动圆M过点B且与圆A相切，求满足此条件的MAB面积的最大值。 例5. 的圆过椭圆的左焦点F，求实数m的值。 分析：对“以AB为直径的圆过点F”可有两条途径去证： 二是证明以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径端点的圆(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0过F。 解： 此时方程（*）的判别式0 小结：有关直线与二次曲线问题，常用“韦达定理”，此题是一个典型例题。另外，有关圆的问题，要注意结合圆的几何性质解题，这样常常起到事半功倍的作用。 例6. 解：设椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，M到左、右准线的距离分别为d1、d2 例7. 根据下列条件，求椭圆的标准方程： （2）在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点连线互相垂直，且此焦点到与它对应的准线的距离为2。 解： 例8. 已知A、B是直线l上的两个定点，点P在l上的射影M在线段AB上，且满足 分析：题中未给出坐标系，需恰当建立直角坐标系，由于题中已给出了动点P运动的几何条件，因而应按照“直接法”求轨的方法步骤进行解题。 解：建立如图所示的直角坐标系， 点M在线段AB上， 整理后，得x2+2y2=a2。 P点的轨迹是椭圆。 小结：要把“求轨迹”（曲线）与“求轨迹方程”（方程）区别开来。 例9. 并延长OP至Q，使|PQ|=|OP|，求动点Q的轨迹方程。 分析：题中出现了“双动点”（P与Q），由于其中一个动点P的轨迹是已知的坐标与P点坐标的关系即可。 解： P点是线段OQ的中点 此方程即为Q点的轨迹方程。 小结：若在一个问题中，存在两个动点P(x0，y0)，Q(x，y)，当P点的轨迹方程是已知的，设为F(x，y)=0，即F(x0，y0)=0，此时，只需寻找到Q点的坐标x，y与P点的合于“双动点”的求轨方法，我们常常称之为“代入法”（或“转移法”）。 例10. 若椭圆的一个长轴端点到一个短轴端点的距离恰等于该椭圆的焦距，求该椭圆的离心率。 分析：将题中数学语言用数学式子表述，利用椭圆的基本几何量之间的关系得出关系a，c的关系式，即可求出离心率e。 解： 小结：通常涉及离心率的问题，总是从分析题意入手，设法列出关于椭圆的基本几何 例11. 一个椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，P是椭圆上的一点，P在x轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P与中心O的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶 分析：首先需要根据题意，作出相应的几何图形（直观化），如图所示。 P点坐标可用a，b，c表示，再利用PO/BA，即可找到a与c的一个关系式，从而离心率e及标准方程可求。 解：上顶点为B(0，b) P（-c，y0）在椭圆上 小结：待定系数法是十分重要的数学方法。要明确：欲求出n个待定系数的值，需要具备n个独立的条件，此题只需确定a与b的值，题中已经给出两个条件了，一定能顺利地解决。【模拟试题】 1. 已知椭圆的焦点在x轴上，且经过点（-4，0），又椭圆的短半轴长为3，则椭圆的标准方程为_。 2. 设M是椭圆上的一点，是椭圆的焦点，如果M到F1的距离为4，那么M到F2的距离是_。 3. F是椭圆的右焦点，A（1，1）为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。 （1）的最小值为_； （2）的最小值为_。 4. 已知ABC中，A（3，0），B（-3，0），且三边AC、AB、BC的长成等差数列，求顶点C的轨迹方程。 5. 设点P是椭圆上的动点，是椭圆的两个焦点，求的最大值。 6. 若椭圆的左焦点为，右顶点为A，上顶点为B，且离心率为，则_。 7. 已知椭圆的一个焦点将长轴分成2：1的两个部分，且经过点，求椭圆的标准方程。 8. 设椭圆的长轴两端点为A、A，若椭圆上存在一点M，使，试求该椭圆的离心率e的取值范围。 9. 已知椭圆的焦点为，过中心O作直线交椭圆于A、B， （1）若的面积等于（c为半焦距），求直线的方程； （2）求面积的最大值。【试题答案】 1. 提示：设椭圆的标准方程为，将代入，得 2. 6 提示：根据椭圆的定义，得 3. （1）；（2）3 提示：（1）设另一焦点为F，则，连， 当P是FA的延长线与椭圆的交点时，取得最小值为。 （2）作出右准线，作交于H，因 当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为。 4. 解：设C（x，y），由题设 三边成等差数列 根据椭圆定义，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且 顶点C的轨迹方程是 注意到椭圆与x轴的交点C与A、B不能构成三角形，故点C的轨迹方程是。 说明：本题直接利用了椭圆的定义求动点的轨迹方程，但要注意轨迹曲线方程的纯粹性。 5. 分别是椭圆的两个焦点，若椭圆上有一点P，使，试确定的取值范围。 解