1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质(一)

1 3 2杨辉三角与二项式系数的性质 一 复习提问 1 二项式定理的内容 右边多项式叫 a b n的二项展开式 2 二项式系数 3 二项展开式的通项Tk 1 针对 a b n的标准形式而言 b a n a b n的通项则分别为 4 在定理中 令a 1 b x 则 观察猜想 展开式的二项式系数有什么变化规律 二项式系数最大的是哪一项 为了研究它的一般规律 我们先来观察n为特殊值时 二项展开式中二项式系数有什么特点 你知道这是什么图表吗 新课引入 详解九章算法 记载的表 杨辉三角 杨辉 以上二项式系数表 早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的 详解九章算法 一书里就已经出现了 这个表称为杨辉三角 杨辉指出这个方法出于 释锁 算书 且我国北宋数学家贾宪 约公元11世纪 已经用过它 这表明我国发现这个表不晚于11世纪 杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的 观察 从图中你能得出哪些性质 思考 会证明这些性质吗 探究 a 表中每行两端都是1 b 除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和 4 6 10 当n不大时 可用该表来求二项式系数 总结提炼1 对称 总结提炼2 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 当n为偶数如2 4 6时 中间一项最大 当n为奇数如1 3 5时 中间两项最大 知识探究3 增减性的实质是比较的大小 所以相对于的增减情况由决定 可知 当时 二项式系数是逐渐增大的 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的 且中间项取得最大值 还有没有其他解释呢 最大项与增减性 可以看成以r为自变量的函数f r 其定义域是 0 1 n 函数角度 知识探究3 当n 6时 二项式系数 0 r 6 用图象表示 图象法解释 f r n为奇数 如n 7 n为偶数 如n 6 关于r n 2对称 r 3和r 4时取得最大值 图象法解释 n是偶数时 中间的一项取得最大值 当n是奇数时 中间的两项和相等 且同时取得最大值 总结提炼3 知识探究4 二项式系数求和 启示 在二项式定理中a b可以取任意数或式子 因此我们可以通过对a b赋予一些特定的值 是解决二项式有关问题的一种重要方法 赋值法 令a b 1 则 在 a b n Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2 Cnran rbr Cnnbn 证明 进一步思考 2 试证明在 a b n的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 即证 证明 在展开式中令a 1 b 1得 小结 赋值法在二项式定理中 常对a b赋予一些特定的值1 1等来整体得到所求 还有没有其他思考方法呢 赋值法 例2 已知求 1 2 3 4 小结 求奇次项系数之和与偶次项系数的和可以先赋值 然后解方程组整体求解 思考1求证 略证 由 1 x n 1 x n 1 x 2n 两边展开后比较xn的系数得 再由得 思考2求证 证明 倒序相加法 知识对接测查3 2 求证 证明 倒序相加法 类型 求展开式中系数最大的项 方法 利用通项公式建立不等式组 思考3在 3x 2y 20的展开式中 求 1 二项式系数最大的项 2 系数绝对值最大的项 3 系数最大的项 3 因为系数为正的项为奇数项 故可设第2r 1项系数最大 以下同2 r 5 1 研究斜行规律 创新与联想 2 研究杨辉三角与斐波那契数列的关系 1 研究斜行规律 第一条斜线上 第二条斜线上 第三条斜线上 第四条斜线上 猜想 在杨辉三角中 第m条斜线 从右上到左下 上前n个数字的和 等于 1 1 1 1 1 1 6 1 2 3 4 5 15 1 3 6 10 20 1 4 10 15 第m 1条斜线上的第n个数 1 1 1 1 第1条斜线 1 4 10 第4条斜线 1 3 6 第3条斜线 1 2 3 第2条斜线 n r 结论1 杨辉三角中 第m条斜 从右上到左下 上前n个数字的和 等于第m 1条斜线上第n个数 即 根据杨辉三角的对称性 类似可得 杨辉三角中 第m条斜 从左上到右下 上前n个数字的和 等于第m 1条斜线上第n个数 1 2 5 第5行15101051 第6行1615201561 第7行172135352171 第1行11 第0行1 第2行121 第3行1331 第4行14641 1 3 8 13 21 34 2 如图 写出斜线上各行数字的和 有什么规律 第8行18285670562881 从第三个数起 任一数都等于前两个数的和 这就是著名的斐波那契数列 杨辉三角的其它规律 第0行1 1 杨辉三角的第2k 1行的各数字特点 第1行11 第2行121 第3行1331 第4行14641 第5行15101051 第6行1615201561 第n 1行1 1 第n行1 1 第7行172135352171 杨辉三角的第2k 1行 k是正整数 的各个数字都是奇数 质数的积 第0行1 第1行11 第2行121 第3行13