第九章 导行电磁波

FieldandWaveElectromagnetic电磁场与电磁波 2010 12 作业情况 1班 人2班 人合计 人情况 1 波动方程 在无限大的各向同性均匀线性介质中 时变电磁场的方程为 若无外源 且为理想介质 对于正弦电磁场 则上式变为 若场量仅与z变量有关 则可证明 复习 第八章平面电磁波 正弦电磁场在无外源的理想介质中满足下列方程 若电场强度E仅与z有关 令电场强度方向为x方向 即 2 理想介质中平面波 其通解为 首先仅考虑向正z轴方向传播的波 即 瞬时值为 波阻抗 均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系又可用矢量形式表示为 或 平面波 均匀平面波 TEM波 3 导电介质中的平面波 令 令 电场强度可表示为 第一 若 如低电导率的介质 可以近似认为 那么 第二 若 如良导体 可以近似认为 那么 集肤深度 令 损耗正切 线极化波 相位相同或相反 圆极化波 振幅相同 相位差900 椭圆极化波 振幅不同 相位不同 4 平面波的极化特性 5 平面波对平面边界的正投射 式中 分别为z 0边界处各波的振幅 磁场强度分量为 入射波 反射波 透射波 第一 若介质 为理想介质 介质 为理想导体 则两种介质的波阻抗分别为 全部电磁能量被边界反射 这种情况称为全反射 第二 若介质 为理想介质 0 介质 为一般导电介质 则介质 的波阻抗及传播常数分别为 反射系数为 首先求出第 n 2 条边界处向右看的输入波阻抗 则对于第 n 2 层介质 可用波阻抗为的介质代替第 n 1 层及第n层介质 依次类推 自后向前逐一计算各条边界上向后看的输入波阻抗 直至求得第一条边界上向后看的输入波阻抗后 即可计算总反射系数 6 平面波对多层平面边界的正投射 7 任意方向传播的平面波 or 理想介质中的均匀平面波满足下列方程 8 平面波对理想介质边界斜投射 9 无反射与全反射 考虑到大多数实际介质的磁导率相同 则 发生无反射时的入射角称为布儒斯特角 以 B表示 求得 开始发生全反射时的入射角称为临界角 以 c表示 求得 因函数 故只有当时才可能发生全反射现象 即仅由光密介质进入光疏介质时 才可能发生全反射现象 11 平面波对理想导电表面斜投射 那么反射系数为 当平面波向理想导体表面斜投射时 无论入射角如何 均会发生全反射 合成波的相位随x变化 而振幅与z有关 合成波为向正x方向传播的非均匀平面波 由于在传播方向上存在Ex电场分量 合成场是非TEM波 这种仅磁场强度垂直于传播方向的电磁波称为横磁波或TM波 TM波 合成场同样构成向x方向传播的非均匀平面波 但是电场强度垂直于传播方向 因此 这种合成场称为横电波或TE波 第九章导行电磁波 主要内容几种常用的导波系统 矩形波导传播特性 圆波导传播特性 谐振腔 同轴线 1 TEM波 TE波及TM波2 矩形波导传播特性3 矩形波导中TE10波4 电磁波的群速 5 圆波导传播特性6 波导传输功率和损耗7 谐振腔8 同轴线 沿一定的路径传播的电磁波称为导行电磁波 传输导行波的系统称为导波系统 常用的导波系统有双导线 同轴线 带状线 微带 金属波导等 本章仅介绍同轴线和金属波导 尤其是矩形金属波导的传播特性 带状线 微带 几种常用导波系统的示意图 1 TEM波 TE波及TM波 TEM波 TE波及TM波的结构 可以证明 能够建立静电场的导波系统必然能够传输TEM波 根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传输TEM波 几种常用导波系统的主要特性 根据导波系统横截面的形状选取直角坐标系或者圆柱坐标系 且令其沿z轴放置 传播方向为正z方向 且满足下列矢量亥姆霍兹方程 以直角坐标系为例 则电场与磁场可以分别表示为 上式包含了六个直角坐标分量 其中Ex Ey Hx Hy被称为横向场量 Ez Hz被称为纵向场量 他们分别满足标量齐次亥姆霍兹方程 根据导波系统的边界条件 利用分离变量法即可求解这些方程 FromMaxwell sequations wecanfindtherelationshipsbetweenthex componentorthey componentandthez componentas 上式包含了及6个直角坐标分量 分别满足齐次标量亥姆霍兹方程 可以证明 x和y分量与z分量的关系为 式中 只要求出z分量 其余分量即可求出 z分量为纵向分量 因此这种方法又称为纵向场法 对于圆波导 选择圆柱坐标系 r和 横向分量可用z纵向分量表示为 2 矩形波导传播特性 矩形波导如图示 宽壁的内尺寸为a 窄壁的内尺寸为b 已知金属波导只能传输TE波及TM波 若仅传输TM波 则Hz 0 按照纵向场法 此时仅需求出Ez分量 然后即可计算其余各个分量 Ez满足的齐次标量亥姆霍兹方程为 考虑到 其振辐也应满足上述方程 已知电场强度的z分量可以表示为 即 采用分离变量法求解上述方程 得 式中X 表示X对x的二阶导数 Y 表示Y对y的二阶导数 令 式中的第二项仅为y函数 而右端为常数 因此 若对x求导 得知左端第一项应为常数 若对y求导 获知第二项应为常数 令 式中kx和ky称为分离常数 显然 两个常微分方程的通解分别为 式中常数C1 C2 C3 C4取决于导波系统的边界条件 wherealltheconstantsC1 C2 C3 C4 andkx ky dependontheboundaryconditions Thetwoequationsaresecondorderordinarydifferentialequations andthegeneralsolutions arerespectively Thez componentoftheelectricfieldintensitycanbewrittenas Boundaryconditions 那么矩形波导中TM波的各个分量为 1 相位仅与变量z有关 而振幅与x y有关 因此 在z方向上为行波 在x及y方向上形成驻波 2 z等于常数的平面为波面 但振辐与x y有关 因此上述TM波为非均匀的平面波 3 当m或n为零时 上述各个分量均为零 因此m及n应为非零的整数 m为宽壁上的半个驻波的数目 n为窄壁上半个驻波的数目 4 由于m及n为多值 因此场结构均具有多种模式 m及n的每一种组合构成一种模式 以TMmn表示 例如TM11表示m 1 n 1的场结构 具有这种场结构的波称为TM11波 5 大的m及n模式称为高次模 小的称为低次模 由于m及n均不为零 故矩形波导中TM波的最低模式是TM11波 Similarly wecanderiveallthecomponentsofaTEwaveintherectangularwaveguide asgivenby where butbothshouldnotbezeroatthesametime TEwavehasthemulti modecharacteristicsastheTMwave ThelowestordermodeofTEwaveistheTE01orTE10wave Boundaryconditions TE波 式中 但两者不能同时为零 与TM波一样 TE波也具有多模特性 但是m及n不能同时为零 因此 TE波的最低模式为TE01波或TE10波 已知 即 若 则 意味波的传播被截止 因此 称为截止传播常数 截止传播常数和截止频率 由求出对应于截止传播常数的截止频率 即 传播常数 当时 为实数 因子代表向正z方向传播的波 当时 为虚数 因子 对于一定的模式和波导尺寸来说 fc是能够传输该模式的最低频率 波导相当于一个高通滤波器 表明电磁场没有传播 而是沿正z方向不断衰减的凋落场 由 求得对应于截止传播常数的截止波长为 截止波长 截止频率和截止波长均与波导尺寸a b及模式m n有关 波导尺寸为时 各种模式的截止波长分布如图 模次越高 截止频率越高 截止波长越短 TE10波为矩形波导中的常用模式或称为主模 当时 只有TE10波存在 其它模式被截止 当时 才有其它模式出现 若工作波长满足 即可实现单模传输 单模传输的惟一模式就是TE10波 通常取 以便在波段内实现TE10波单模传输 当时 全部模式被截止 窄壁尺寸的下限取决于传输功率 容许的波导衰减以及重量等 国际上对于各波段使用的波导尺寸已有统一规定 可见 当工作波长增加时 为保证单模传输 波导的尺寸必须相应地加大 因此 实际中金属波导适用于3000MHz以上的微波波段 工程上常取左右 或 将可获知 窄壁减小会使传输衰减增大 为了保证仅传输TE10波 应该满足下列不等式 矩形波导的相速为 式中 对于真空波导 波导尺寸及模式不同 其相速也不同 波导中的相速与频率有关 因此 电磁波在波导中传播时会出现色散现象 已知 求得真空波导中 波导中的相速不能代表能速 矩形波导中电磁波的波长为 式中 为工作波长 称为波导波长 已知 故 波导中的横向电场与磁场之比称为波导波阻抗 求得 对于TM波 其波阻抗为 同理可得 TE波的波阻抗为 可见 当 时 及均为虚数 表明横向电场与横向磁场相位相差 因此 沿z方向没有能量单向流动 这就表明电磁波的传播被截止 例某一内部为真空的矩形金属波导 其截面尺寸为25mm 10mm 当频率的电磁波进入波导中以后 该波导能够传输的模式是什么 当波导中填充介电常数的理想介质后 能够传输的模式有无改变 解当内部为真空时 工作波长为 截止波长为 若填充的理想介质 则工作波长为 因此 除TE10波及TE20波外 还可传输其它模式 计算表明 TE01 TE30 TE11 TM11 TE21 TM21等模式均可传输 因为 更高次模的截止波长更短 可见 当该波导中为真空时 仅能传输的模式为TE10波 横向场量纵向场量 1 TEM波 TE波及TM波 小结 分离变量法 纵向场量法 2 矩形波导传播特性 TMwave TEwave m和n都不能为零 m和n可以为零 但不能同时为零 已知 即 截止传播常数 截止频率和截止波长 若 则 意味波的传播被截止 因此 称为截止传播常数 波导中的相速度 波长和波阻抗 Example Arectangularwave guideisfilledwithdielectric perfect medium r 1 r 9 andoperatesatafrequency3GHz Ifthedimensionsofthewave guideisa 2cmandb 1cmSolution m s 2 Determinephaseconstant rad m 3 Determinewaveimpedance 4 Determinethephasevelocity 5 Determinetheenergyvelocity homework Thankyou Bye bye 答疑安排时间 周二下午16 00 18 00地点 1401 1403 P293 294 9 4 9 12 试求截止频率 波导波长 相速度 波阻抗 3 矩形波导中TE10波 令 求得TE10波方程为 其余分量为零 对应的瞬时值为 沿x方向为驻波 沿z方向为行波 Hz的振辐沿x按余弦分布 Hx及Ez的振幅沿x按正弦分布 但是其振幅均与y无关 上式可简化为 式中A B C为正实数 几种高次模的场分布 令m 1 n 0 求得TE10波的截止波长为 可见 TE10波的截止波长与窄壁尺寸无关 根据 求得 为了说明TE10波的 及的物理意义以及它们之间关系 将电场分量Ey改写为 上式可以看成是传播常数为k 但传播方向不同的两个均匀平面波 当时 那么 该均匀平面波在两个窄壁之间垂直来回反射 因此 无法传播而被截止 利用三角公式 上式改写为 两个均匀平面波又可合并为在两个窄壁之间来回反射的一个均匀平面波 两个平面波的波峰相遇处形成合成波的波峰 波谷相遇处形成合成波的波谷 实线表示平面波 的波峰 虚线表示平面波 的波峰 若波导为真空 则AC长度等于真空中波长 线段AB长度等于波导波长 AC长度等于工作波长 由图得 平面波 由A至C的相位变化为2 而合成波的空间相位变化2 时经过距离为AB 可见 合成波的相速大于均匀平面波的相速 再从能量传播来看 当平面波 的能量由A传播到C时 就传播方向z而言 此能量传输的距离仅为AD长度 可见波导中能速小于均匀平面波的能速 由图求出 由图求出 例若内充空气的矩形波导尺寸为 工作频率为3GHz 如果要求工作频率至少高于主模TE10波的截止频率的20 且至少低于TE01波的截止频率的20 试求 波导尺寸a及b 根据所设计的波导 计算工作波长 相速 波导波长及波阻抗 解 TE10波的截止波长 对应的截止频率为 TE01波 对应的截止频率 求得 取 题意要求 工作波长 相速 波导波长及波阻抗分别为 4 电磁波的群速 相速无法描述含有多种频率分量的电磁波在色散介质中的传播速度 本节介绍的群速 将可用来描述窄带信号在色散介质中的传播特性 设电磁波仅具有两个频率非常接近的频率分量为 其合成信号为 式中 由于 因而在一个足够小的时间间隔内 上式中的第一个余弦项尚未发生明显变化时 第二个余弦项已经历了几个周期的变化 所以代表载频 代表调制频率 若介质是非色散的 波包随载波一起运动 载波及波包都保持正弦波形 波包的移动速度称为群速 以表示 这是一个幅度变化缓慢的调幅信号 由 求得群速为 对于非色散介质 k与 的关系是线性的 因此 求得群速为 再由 求得载波相速为 已知非色散介质中 得 可见 非色散介质中 对于色散介质 对于给定的频率 可将k作为频率 的函数在附近展开为泰勒级数 即 对于窄带信号 仅取前两项 即 且可认为 得 由于色散介质的k与 的关系是非线性的 不同的载波频率 其群速不同 群速不再等于相速 载波以相速传播 波包以群速传播 为波包等相位点 P为载波等相位点 当P点位移为d时 由于波包速度较慢 点仅位移 传播一段距离后 波包变形 导致信号失真 对于窄带信号 上式应为 若 则 即无色散时相速等于群速 若 则 这种情况称为正常色散 若 则 这种情况称为非正常色散 根据上述关系 求得 矩形波导的相速 可见电磁波发生正常色散 即矩形波导中电磁波的群速等于能速 这是正常色散介质的共性 根据上面结果 求得矩形波导中电磁波的vp与vg满足下列方程 群速 当电磁波在导电介质中传播时 电磁波发生非正常色散 此时 上述关系不再成立 6 波导传输功率与损耗 根据电场及磁场的横向分量 算出复能流密度矢量 将其实部沿横截面积分 即可求得传输功率 当矩形波导传输TE10波时 求得的传输功率为 若波导中填充介质的击穿场强为 则矩形波导的最大传输功率为 为了安全起见 通常取 波导壁损耗的严格计算非常复杂 通常仍然利用理想导电壁情况下的场强公式计算波导壁的损耗 设衰减常数为 则电场振幅可以表示为 传输功率可以表示为 计算填充介质产生的损耗 仅以有耗介质的等效介电常数代替原来的介电常数即可 即 波导中的损耗主要来自填充介质和波导壁 将上式对z求导 得单位长度内的功率衰减为 此功率衰减就是单位长度内的功率损耗 即 因此 衰减常数为 为了计算波导壁损耗 在宽壁上取一小块导体 其长度及宽度均为单位长度 深度等于集肤厚度 如图示 当电流为z方向时 该小块导体的电阻为 式中 为波导壁的电导率 RS称为表面电阻率 单位宽度且单位长度波导壁内的损耗功率为 式中表面电流 为波导壁表面的磁场强度 当矩形波导尺寸一定时 TE10波的损耗最小 当宽壁尺寸一定时 窄壁愈窄 衰减愈大 将沿单位长度波导内壁进行积分 即可求得单位长度内波导壁引起的损耗功率 由左图可见 在高频端 圆波导中TE01波损耗最小 当横截面的面积相等时 矩形的周长大于圆的周长 因此 圆波导损耗较小 但是TE01波的截止波长并不是最长 若要实现TE01波单模传输 必须设法抑制TM01 TE21及TE11波 椭圆波导既可避免场型偏转 又可获得较小的损耗 但是圆波导传输TE11波时 其场分布会发生横向偏转 为了减少波导壁的损耗 应提高表面的光洁度 可以镀银或金 还可在波导中充入干燥的惰性气体以防止表面氧化 例计算矩形波导中传输TE10波时 波导壁产生的衰减 解已知当矩形波导传输TE10波时 波导宽壁上的电流具有x分量及z分量 而窄壁上只有y分量 因此 单位长度内 宽壁上的损耗功率为 式中 单位长度内窄壁上的损耗功率为 式中 再算出传输功率P 即可求得TE10波衰减常数为 则单位长度内总损耗功率为 7 谐振腔 微波波段必须使用相应波段的传输线形成谐振器件 这种谐振器件称为谐振腔 因为随着频率升高 必须减小LC谐振电路的电感量和电容量 但是当LC很小时 分布参数的影响不可忽略 电容器的引线电感 线圈之间以及器件之间的分布电容必须考虑 此外 随着频率升高 回路的电磁辐射效应显著 电容器中的介质损耗也随之增加 这些因素导致谐振电路的品质因素Q值显著下降 当矩形波导终端短路时 波导中形成驻波 若工作于主模 TE10波的电场仅有横向分量 短路端形成电场驻波的波节 根据场强公式及边界条件 求得谐振腔中电磁场方程式为 在离短路端半个波导波长处 又形成第二个电场驻波的波节 若在此处放置一块横向短路片 仍然满足电场边界条件 利用三角公式 上式又可写为 可见 电场及磁场在x及z方向上均形成驻波 但两者时间相位差为 电磁能量在电场与磁场之间不断地交换 这种现象称为谐振 因此这种金属腔称为谐振腔 电场能量达到最大值时 磁场能量为零 反之 磁场能量达到最大值时 电场能量为