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2 3逆矩阵公式和矩阵的秩 上页 下页 铃 结束 返回 首页 对于n阶矩阵A 若行列式 A 0 则称A是奇异的 否则称A为非奇异的 定义2 2 非奇异矩阵 一 逆矩阵公式 定义2 3 伴随矩阵 定理2 5设n阶矩阵A的伴随矩阵为A 则 证明 定理2 6 证明 定理2 6 证明 逆矩阵的求法二 伴随矩阵法 下页 解 所以A可逆 又因为 5 2 1 10 2 2 7 2 1 解 所以 又 于是 二 矩阵的秩 定义2 4 k阶子式 设A是m n矩阵 从A中任取k行k列 k min m n 位于这些行和列的交叉处的元素 保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式 称为矩阵A的一个k阶子式 上页 下页 铃 结束 返回 首页 定义2 5 矩阵的秩 设A为m n矩阵 如果A中不为零的子式最高阶数为r 即存在r阶子式不为零 而任何r 1阶子式皆为零 则称r为矩阵A的秩 记作秩 A r或r A r 当A O时 规定r A 0 矩阵的秩的简单性质 1 r A r AT 2 对于m n矩阵A 有0 r A min m n 当r A min m n 时 称矩阵A为满秩矩阵 下页 定义2 12 矩阵的秩 设A为m n矩阵 如果A中不为零的子式最高阶数为r 即存在r阶子式不为零 而任何r 1阶子式皆为零 则称r为矩阵A的秩 记作秩 A r或r A r 当A O时 规定r A 0 上述矩阵都是满秩矩阵 下页 定理2 7矩阵经初等变换后 其秩不变 解 由定理2 5知 A的秩等于经初等变换后所求出的最后一矩阵的秩 而最后一矩阵的秩显然等于3 故r A 3 思考 A的秩与最后一个阶梯形矩阵的非零行有什么关系 下页 阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数 解 最后一矩阵为阶梯形矩阵 有三个非零行 故r A 3 下页 阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数 解 最后一矩阵为阶梯形矩阵 有两个非零行 故r A 2 下页 例4设B为n阶非奇异矩阵 A为m n矩阵 试证 A与B之积的秩等于A的秩 即r AB r A P60 2 18 因为B非奇异 故可表示成若干初等矩阵P1 P2 Ps之积 B P1P2 Ps 于是AB AP1P2 Ps 这表示AB是A经s次初等变换后得出的 因而r AB r A 证 结束 作为定理来
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