6.4 傅里叶 Fourier 级数ppt课件

1 6 4 一 三角级数及三角函数系的正交性 二 函数展开成傅里叶级数 三 正弦级数和余弦级数 傅里叶级数 本节讨论由三角函数组成的函数项级数 即所谓的三角级数 着重研究如何把函数展开成三角级数 2 2 工程技术上 大量函数不仅不可导 而且不连续 欲用 幂级数 展开不可能 另一方面 工程技术上常遇到周期函数 例如 交流电的电流强度 电压 无线电技术中传送声音 图像的电信号 函数用幂级数展开有许多优越性 但展开的条件很苛刻 任意阶导数 且展开具有局部性 问题的提出 3 正弦函数是一种常见而简单的周期函数 例如描述简谐振动的函数 谐波函数 A为振幅 为角频率 为初相 在实际问题中 除了正弦函数外 还会遇到非正弦函数的周期函数 它们反映了较复杂的周期运动 如何深入研究非正弦周期函数 4 将周期函数展开成由简单周期函数例如三角函数组成的级数 具体地讲 将周期为T 的周期函数展开成用一系列以T为的正弦函数 组的级数来表示 记为 4 复杂的周期运动 令 得函数项级数 谐波迭加 称上述形式的级数为三角级数 二 三角函数系的正交性 一 三角函数系 将周期函数按上述方式展开 它的物理意义是很明确的 就是把复杂的周期运动看成许多不同频率的简谐振动的叠加 在电工学上 这种展开称为谐波分析 6 定理1 组成三角级数的函数系 证 同理可证 正交 上的积分等于0 即其中任意两个不同的函数之积在 7 上的积分不等于0 且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 8 定理2 设f x 是周期为2 的周期函数 且 右端级数可逐项积分 则有 证 由定理条件 对 在 逐项积分 得 9 利用正交性 类似地 用sinkx乘 式两边 再逐项积分可得 10 叶系数为系数的三角级数 称为 的傅里叶系数 由公式 确定的 以 的傅里 的傅里叶级数 称为函数 公式称为欧拉 傅里叶公式 记为 11 思考 上面定义中为什么用 而不用 的傅里叶级数 12 定理3 收敛定理 展开定理 设f x 是周期为2 的 周期函数 并满足狄利克雷 Dirichlet 条件 1 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 2 在一个周期内只有有限个极值点 则f x 的傅里叶级数收敛 且有 x为间断点 其中 证明略 为f x 的傅里叶系数 x为连续点 注意 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多 14 例1 设f x 是周期为2 的周期函数 它在 上的表达式为 解 先求傅里叶系数 将f x 展成傅里叶级数 15 16 1 根据收敛定理可知 时 级数收敛于 2 傅氏级数的部分和逼近 说明 f x 的情况见右图 18 例2 上的表达式为 将f x 展成傅里叶级数 解 设f x 是周期为2 的周期函数 它在 19 说明 当 时 级数收敛于 20 周期延拓 傅里叶展开 上的傅里叶级数 定义在 上的函数f x 的傅氏级数展开法 其它 21 例3 将函数 级数 则 解 将f x 延拓成以 展成傅里叶 2 为周期的函数F x 22 利用此展式可求出几个特殊的级数的和 当x 0时 f 0 0 得 说明 23 设 已知 又 作业 习题八 P57 13 1 2 3 28 内容小结 1 周期为2 的函数的傅里叶级数及收敛定理 其中 注意 若 为间断点 则级数收敛于 29 处收敛于 2 则它的傅里叶级数在 在 处收敛于 提示 设周期函数在一个周期内的表达式为 30 3 设 又设 求当 的表达式 解 由题设可知应对 作奇延拓 由周期性 为周期的正弦级数展开式的和函数 定义域 31 4 写出函数 傅氏级数的和函数 答案 定理3目录上页下页返回结束 32 备用题1 叶级数展式为 则其中系 提示 利用 偶倍奇零 93考研 的傅里 33 2 设 是以2 为周期的函数 其傅氏系数为 则 的傅氏系数 提示 令 34 傅里叶 1768 1830 法国数学家 他的著作 热的解析 理论 1822 是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分 他的学生将它们命名为傅 里叶级数和傅里叶积分 最卓越的工具 以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献 他深信数学是解决实际问题 傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响 35 狄利克雷 1805 1859 德国数学家 对数论 数学分析和 数学物理有突出的贡献 是解析数论 他是最早提倡严格化 方法的数学家 函数f x 的傅里叶级数收敛的第一个充分条件