2012考研数学模拟卷(二)答案.doc

数学二模拟试题答案2011年研究生入学考试数学模拟试题答案数学二模拟试题（一）答案一、选择题：题号12345678答案BCCBCACA二、填空题：（9）1（10）（11）（12）（13）（14）1,1,-5三、解答题：（15）证：令 则上连续，内可导，用拉氏定理存在 使因为 =所以（16）证：（） 令 = 所以也是偶函数 （）由于被积函数连续，所以可导， （单调不增 时 ，时）所以单调不减（17）解： （18）解：设所求曲线方程为，其上任意点的坐标为，则该点处的切线方程为 令 得，根据题意有解之得 （19）解： （20）解一： 解二： 令 ， ， 则， 于是 （21）解： 令，则在上连续， 根据介值定理推论，可知在内至少有一个零点，又，则在内单调增加，因此在内恰有一个零点。(22)解: (1) 设a1,a2,a3的特征值为a,b,c,由于它们两两不同, a1,a2,a3线性无关, g = a1+a2+a3, Ag =aa1+ba2+ca3, A2g = a2a1+b2a2+c2a3, A3g = a3a1+b3a2+c3a3, 则 1 a a2 g,Ag,A2g 对a1,a2,a3的表示矩阵为 1 b b2 ,其行列式为范德蒙行列式, 并且因为 1 c c2a,b,c两两不同,值不为0,因此g,Ag,A2g 无关. g,Ag,A2g,A3g可以用a1,a2,a3线性表示,因此线性相关. (2) g = a1+a2+a3, Ag =a1-a2+2a3, A2g =a1+ a2+4a3, A3g = a1-a2+8a3, 1 1 1 1B=(g,Ag,A2g)=(a1,a2,a3) 1 -1 1 , b=A3g=(a1,a2,a3) -1 , 1 2 4 8 则BX=b具体写出就是 1 1 1 1(a1,a2,a3) 1 -1 1 X=(a1,a2,a3) -1 , 1 2 4 8 由于a1,a2,a3线性无关, 它和 1 1 1 11 -1 2 X= -1 , 1 1 4 8 同解.解此方程组得唯一解(-2,1,2)T.（23）解： h1,h2,h3,x1,x2是5个4维向量,线性相关,存在不全为0的系数c1, c2, c3, c4, c5,使得c1h1+c2h2+c3h3+c4x1+c5x2=0.记a=c1h1+c2h2+c3h3=-(c4x1+c5x2),则a是()和()的公共非零解. 思路:从()的通解c1x1+c2x2中找出满足()的,它们就是()和()的公共解c1x1+c2x2满足() c1x1+c2x2可用h1,h2,h3线性表示r(h1,h2,h3,c1x1+c2x2)=r(h1,h2,h3)=3. 1 -1 0 c2 1 0 0 c1(h1,h2,h3,c1x1+c2x2)= 0 0 1 c1+c2 0 -1 0 c2-c1 1 1 1 -c2 0 0 1 c1+c2 1 0 0 c1 0 0 0 -c2-3c1于是c1x1+c2x2满足() 3c1+c2=0.得到()和()的公共解为: c(x1-3x2)=c(-3,-2,3,1)T ,c任意.数学二模拟试题（二）答案一、选择题：题号12345678答案DDCDCACD二、填空题：（9）（10）3（11）（12）（13），（01） （14）l0三、解答题（15）解： 根据可导必须连续，所以（根据洛必达法则）（16）证：所求切线方程为，令y=0,得切线在x轴上截距令x=0 得切线在y轴上截距 ，故直角三角形面积（17）证：而代入上式则得（18）解：即因此（19）证：；同理代入 得， 成立（20）解： 令用乘乘乘得 将分别代入得 ， ， 故得最小值为 （21）解：令于是 则 (22)解: (a1,a2,a3, h1,h2)是可逆矩阵即a1,a2,a3,h1,h2线性无关. h1,h2构成ATX=0的基础解系,则它们线性无关,并且5-r(AT)=2,即r(AT)=3, r(A)=3,于是a1,a2,a3也线性无关.再由h1,h2都是ATX=0的解得出(ai,hj)=0,i=1,2,3,j=1,2.下面用定义法证明a1,a2,a3,h1,h2线性无关. 如果c1a1+c2a2+c3a3+c4h1+c5h2=0,记 g =c1a1+c2a2+c3a3=-(c4h1+c5h2),则 (g,g)=(c1a1+c2a2+c3a3,-c4h1-c5h2)=0因此c1, c2, c3和c4, c5都为0. 思路:先求一个基础解系,作施密特正交化. 1 0 2 -1 -4 1 0 2 -1 -4 1 0 0 -1 -2A= 1 2 -2 -1 0 0 2 -4 0 4 0 1 0 0 0 . -1 1 1 1 1 0 1 3 0 -3 0 0 1 0 -1 得基础解系: (1,0,0,1,0)T,(2,0,1,0,1)T.作施密特正交化得AX=0的单位正交基础解系:(/2,0,0,/2,0)T,(1/2,0,1/2,-1/2,1/2)T（23）解： (1)条件说明a1和a3都是A的特征向量,特征值分别为2和1,因此它们线性无关,只要再说明 a2不能用a1, a3表示.用反证法,如果 a2=aa1+ba31,两边用A的乘,得2a2-a1= 2aa1+ba32,21-2,得 a1= ba3,和a1,a3线性无关矛盾.(2) 用矩阵分解法 2 -1 0 AP=A(a1,a2,a3)=(2a1, 2a2-a1,a3)=(a1,a2,a3) 0 2 0 ,0 0 1 2 -1 0 B= 0 2 0 . 0 0 1 (3) A和B相似,因此特征值一样,为2,2,1.其中2是二重的,而r(A-2E)= r(B-2E)=2,于是n- r(A-2E)=12.从而A不相似于对角矩阵.(4) 1是A的一重特征值,任何两