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实变函数习题集第四章 可测函数4.1 可测函数的定义及其简单性质1、 判断(1) 设定义于可测集，则是可测函数 是可测函数。（ ）；解 错误。可证明是可测函数是可测函数(其证明见本节课件)，但反之却不一定成立。因为当我们取为一不可测集时，令。文档收集自网络，仅用于个人学习显然在可测，而不可测。(2) 存在上的连续函数，与某个处处不连续的可测函数对等。( )；解 正确。，则，(3) (P104.6) 任何集合上的连续函数一定是可测函数。（ ）；可测集(证明见习题8)(4) 在0,1上不可能定义以下函数：在有理数连续，在无理数上不连续。（ ）；(5) 设在上可测，则 在上可测与在上可测等价。（ ）；解 错误。例如：设是上的不可测集，则是上的可测函数，但不是上的可测函数。(6) 若，则任意都是上的可测函数。（ ）； (7) (P104.7) 可测集上的单调函数一定是可测函数。（ ）；解 正确。(证明见习题10)（或单调函数至多有可列个不连续点，即几乎处处连续）。(8) 存在上的可测函数，与上的任一连续函数不对等。（）；(9) 函数在上是可测的当且仅当对于每个实数 ，集合可测。( ) 解 反例见本节第6题。2、辨析题（要求：判断命题是否正确，对正确的命题予以简要证明，对不正确的命题举出反例。）(1)(P104.11) 若在连续，是可测集上的实值可测函数，则是E上的可测函数。解 正确。记,记有，因连续，由P36.12题知是开集。而可测，由P104.10题知是可测集， 所以是可测函数。(2) 存在可测集上的可测函数列，使得收敛于可测函数的点集是不可测集。 解 错误。，。(3) 在上连续，则在上可测。解 正确。参照课件。 (4) 存在定义在可测点集上的不可测函数。解 正确。，上任一不可测子集，定义，。3、单项选择(1) 设是上的可测函数，则对任意实数，有() D；(P35.2)A、是开集 B、是闭集 C、是零测集D、是可测集(2) 以下命题中，( ) 是正确的。C; (P104.11)A、可测，连续可测B、可测，可测 可测C、 存在上的不可测函数 D、 存在上的不可测函数4、若函数在E上可测，是上的连续函数，则是上的可测函数。 证明 因为函数在上可测，由P104.8题知必存在简单函数序列使得，。由是上的连续函数知是上的简单可测函数序列，则有。由P104.8题知 是上的可测函数。5、设 在上连续，是上的可测函数，证明在上可测。证明 法一见习题2.(1)。法二 记，是直线上的开集，是其构成区间(可能是有限个，），因此，、。6、证明：函数 是集E 上的可测函数的充要条件是：对于任意有理数 ，集可测。如果集可测，试问是否一定可测? 文档收集自网络，仅用于个人学习证明（法一） 必要性的证明是显然的。下证充分性。若对任意有理数,集可测。则对任意实数，记是大于的一切有理数，则有，由可测得是可测的。从而是上的可测函数。文档收集自网络，仅用于个人学习若对任意有理数，集可测。则是不一定是可测的。例如，是中的不可测集。.定义.则对任意有理数，是可测的，但是不可测的。因而是不可测的。.（法二）必要性是显然的。充分性：对任一实数，取有理数列，使得，而，于是，即可测。若可测，但不一定可测。比如因集不可测，故不可测。但集可测。7、设是上的可测函数，且点集是可测集，试证明是上的可测函数。证明 ，则由题设知可测； ，由于，而在E 上可测，则；，则可测。从而，均有可测，故在上可测。8(p103.1)、设，是上的可测函数，则是可测函数。证明 （法一）见课件。（法二）因，是上的可测函数，则，都有和可测。而对，易证。所以可测，即为上的可测函数。（法三）对，任取，则。从而，使，即。从而；反之也成立。故可测，即是可测函数。9(P104.6)、设是上的连续函数，则在的任何可测子集上都可测。证明 参见课件。当是上的连续函数，设是的任意一个可测子集，对，有是闭集。这是因为，则有，使又由的连续性知：。其中。从而，则为闭集。由闭集的可测性知：在集上可测。文档收集自网络，仅用于个人学习10(P104.7)、设是中的可测子集上的单调函数，证明在上可测。证明 (法一)参见课件。当，不妨设是单增函数，设M、m为在在上的最大值、最小值，则，则有，即是可测集，即在上可测。文档收集自网络，仅用于个人学习(法二) 因为单调函数的不连续点至多可列多个，则设的不连续点集为，则，且在上连续，从而在上可测。4.2 Egoroff定理1、 判断(1) (P108.1) Egoroff 定理中这个条件是可以去掉的（ ）。；(见本节课件例1)文档收集自网络，仅用于个人学习(2) 设为可测集E上的可测函数列，则为E上的可测函数 ( )。；证明 参见课件。(3) 设定义于可测集，则是可测函数是可测函数。（ ）；证明 对，是可测函数，从而是可测函数。2、填空题(Egorolf定理)设(1) _，是 E 上的一串几乎处处取有限值；(2)于E，且 ，则_。 解 对于任意正数，恒有可测子集，使而在上一致地收敛于。 3、叙述并证明叶果洛夫逆定理。 证明 略去叶果洛夫逆定理叙述。下面来证明叶果洛夫的逆定理。若在上一致地收敛于，则，恒有。令，则且，使。由测度的上连续性(内极限定理)得，从而于E。4、针对函数列,和,对叶果诺夫定理给以解释和说明。解 叶果诺夫定理：当定义域为有限测度集时,几乎处处收敛“基本上”是一致收敛(即:去掉一个小测度集,在留下的集合上一致收敛).如在上处处收敛于,但,在上一致收敛于.叶果诺夫定理中条件定义域为有限测度集不可缺少,如在上处处收敛于,不一致收敛于,并且去掉任意小测度集,在留下的集合上仍不一致收敛。文档收集自网络，仅用于个人学习4.3 可测函数的结构Lusin定理1、 判断(1) ？设函数， 则在上的每一点都不连续，所以对，鲁津定理的结论不成立。（ ） ； 解 错误。上的有理点记为，则上的无理点记为，且，为在上的连续函数，？其值处处为0。(2) 对于上的每个几乎处处有限的可测函数和，存在连续函数，使得。（ ）；解 正确。由Lusin定理即得。(3) 在可测集E上不存在这样的可测函数f，使得对于E上的任何连续函数g，有。（ ）；解 下面来作上的可测函数，使对任何连续函数有。作，当，。，。2、叙述 Lusin 定理，并就是可测集E上几乎处处有限的简单函数情况给出 Lusin 定理的证明。证明 Lusin定理的叙述：设是E上有限的可测函数，则对，存在闭集，使，且在上连续。其证明见本节课件定理1证明的第一步。3、叙述并证明 Lusin 定理的逆定理成立。证明 鲁金定理的逆定理的叙述：设是可测集上的函数,若对,存在闭子集,使在上连续,且,证明: 是上有限的可测函数。文档收集自网络，仅用于个人学习下面来证明鲁金定理的逆定理。(法一)由所设对每个自然数，存在闭子集,使在上连续且，令，则对任何，。因而，且。对，由在上连续性知：可测。而，则，所以亦可测。从而可测，因此是可测的。又因为在上有限，所以在上有限，从而在上有限。(法二) ,存在闭集,使,在上连续.令,则,都，即，都有，故在连续。从而在连续。 又对任意的,故，则是上的可测函数，从而是上的可测函数。4.4 依测度收敛1、 判断(1) 设，为可测集E上一列有限的可测函数，若在E上收敛于有限的可测函数，则在E上依测度收敛于。(简记为设则)（ ）；文档收集自网络，仅用于个人学习解 正确。证明见本节定理1(Lebesgue定理)。(2) 若，于E，则。（ ）；(设且与对等，证明：()解 正确。下面来证明。因为，则对，。而，故。由知有成立，从而有成立。即。(3)(P117.3) 设为可测集E上有限的可测函数列，若于E，则在E上 。( ) ；()解 错误。因时定理1(Lebesgue定理)不一定成立。反例见4.3节例1。(4) 设于E，则一定有于E 。（ ） ；解 错误。反例见4(1)。由Rise定理知:设于E，则一定有于E 。(5) 若 E 可测，则 ，ae于E 成立。（ ） ；解 正确。证明见本节定理3(或习题4)。2、单项选择(1) 设为可测集 E 上的有限的可测函数，则下述断言中，正确的是( )。DA、若 于E, 则在E上； (Lebesgue定理：)B、若于 E, 则在E上近一致收敛到；(Egoroff定理：)C、若在E上，则于 E；(Rise定理：,于E) D、若在E上,则存在子列,于E。(2) 设是上的有限的可测函数列，下述命题中（ ）是错误的。C。A、是可测函数 B、是可测函数 C、若，则 D、若，则可测。3、举例说明（不需证明）。(1) (P117.3) 几乎处处收敛与依测度收敛的区别。解 见本节课件。下面举例来说明。几乎处处收敛于，但不依测度收敛于。取，在E上依依测度收敛于，但处处不收敛。4、若于E，于E，证明：与对等，即于E。证明 由，则，有又，故对，。因为，所以。即与对等于E。5、设是上的可测函数,证明存在上的连续函数列,使得。证明 据鲁金定理, ,上的连续函数，满足。故,有,即。6、设在E上，而于E，证明：在E上，。证明 记，则。所以。对，有，所以。故有。7、设是可测函数列，而且于E，那么必有于E。证明 因(或)，记，则。故当时，有，而，从而