空间解析几何ppt课件

数量关系 第七章 第一部分向量代数 第二部分空间解析几何 在三维空间中 空间形式 点 线 面 基本方法 坐标法 向量法 坐标 方程 组 空间解析几何与向量代数 四 利用坐标作向量的线性运算 第一节 一 向量的概念 二 向量的线性运算 三 空间直角坐标系 五 向量的模 方向角 投影 机动目录上页下页返回结束 向量及其线性运算 第七章 表示法 向量的模 向量的大小 一 向量的概念 向量 又称矢量 既有大小 又有方向的量称为向量 向径 矢径 自由向量 与起点无关的向量 起点为原点的向量 单位向量 模为1的向量 零向量 模为0的向量 有向线段M1M2 或a 机动目录上页下页返回结束 规定 零向量与任何向量平行 记作 因平行向量可平移到同一直线上 故两向量平行又称 两向量共线 若k 3 个向量经平移可移到同一平面上 则称此k 个向量共面 机动目录上页下页返回结束 二 向量的线性运算 1 向量的加法 三角形法则 平行四边形法则 运算规律 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 2 向量的减法 三角不等式 机动目录上页下页返回结束 3 向量与数的乘法 是一个数 规定 可见 总之 运算律 结合律 分配律 因此 机动目录上页下页返回结束 定理1 设a为非零向量 则 为唯一实数 取 且 再证数 的唯一性 则 取正号 反向时取负号 机动目录上页下页返回结束 则 例1 设M为 解 机动目录上页下页返回结束 三 空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系 坐标原点 坐标轴 x轴 横轴 y轴 纵轴 z轴 竖轴 过空间一定点o 坐标面 卦限 八个 zox面 1 空间直角坐标系的基本概念 机动目录上页下页返回结束 向径 在直角坐标系下 坐标轴上的点P Q R 坐标面上的点A B C 点M 特殊点的坐标 有序数组 称为点M的坐标 原点O 0 0 0 机动目录上页下页返回结束 坐标轴 坐标面 机动目录上页下页返回结束 2 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下 设点M 则 沿三个坐标轴方向的分向量 的坐标为 机动目录上页下页返回结束 四 利用坐标作向量的线性运算 设 则 平行向量对应坐标成比例 机动目录上页下页返回结束 例2 求解以向量为未知元的线性方程组 解 2 3 得 代入 得 机动目录上页下页返回结束 例3 已知两点 在AB直线上求一点M 使 解 设M的坐标为 如图所示 及实数 得 即 机动目录上页下页返回结束 说明 由 得定比分点公式 点M为AB的中点 于是得 中点公式 机动目录上页下页返回结束 五 向量的模 方向角 投影 1 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 因 得两点间的距离公式 对两点 与 机动目录上页下页返回结束 例4 求证以 证 即 为等腰三角形 的三角形是等腰三角形 为顶点 机动目录上页下页返回结束 例5 在z轴上求与两点 等距 解 设该点为 解得 故所求点为 及 思考 1 如何求在xoy面上与A B等距离之点的轨迹方程 2 如何求在空间与A B等距离之点的轨迹方程 离的点 机动目录上页下页返回结束 提示 1 设动点为 利用 得 2 设动点为 利用 得 且 例6 已知两点 和 解 求 机动目录上页下页返回结束 2 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点O 称 AOB 0 为向量 的夹角 类似可定义向量与轴 轴与轴的夹角 与三坐标轴的夹角 为其方向角 方向角的余弦称为其方向余弦 机动目录上页下页返回结束 方向余弦的性质 机动目录上页下页返回结束 例7 已知两点 和 的模 方向余弦和方向角 解 计算向量 机动目录上页下页返回结束 例8 设点A位于第一卦限 解 已知 作业P3003 5 13 14 15 18 19 角依次为 求点A的坐标 则 因点A在第一卦限 故 于是 故点A的坐标为 向径OA与x轴y轴的夹 第二节目录上页下页返回结束 备用题 解 因 1 设 求向量 在x轴上的投影及在y 轴上的分向量 在y轴上的分向量为 故在x轴上的投影为 机动目录上页下页返回结束 2 设 求以向量 行四边形的对角线的长度 该平行四边形的对角线的长度各为 对角线的长为 解 为边的平 机动目录上页下页返回结束 三 向量的混合积 第二节 一 两向量的数量积 二 两向量的向量积 机动目录上页下页返回结束 数量积向量积 混合积 第七章 一 两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动 1 定义 设向量 的夹角为 称 数量积 点积 机动目录上页下页返回结束 故 2 性质 为两个非零向量 则有 机动目录上页下页返回结束 3 运算律 1 交换律 2 结合律 3 分配律 事实上 当 时 显然成立 机动目录上页下页返回结束 例1 证明三角形余弦定理 证 则 如图 设 机动目录上页下页返回结束 4 数量积的坐标表示 设 则 当 为非零向量时 由于 两向量的夹角公式 得 机动目录上页下页返回结束 例2 已知三点 AMB 解 则 求 故 机动目录上页下页返回结束 为 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P 流体密度 例3 设均匀流速为 的流体流过一个面积为A的平 面域 与该平面域的单位垂直向量 解 单位时间内流过的体积 的夹角为 且 机动目录上页下页返回结束 二 两向量的向量积 引例 设O为杠杆L的支点 有一个与杠杆夹角为 符合右手规则 机动目录上页下页返回结束 1 定义 定义 向量 方向 叉积 记作 且符合右手规则 模 向量积 引例中的力矩 思考 右图三角形面积 S 机动目录上页下页返回结束 2 性质 为非零向量 则 3 运算律 2 分配律 3 结合律 证明略 证明 机动目录上页下页返回结束 4 向量积的坐标表示式 设 则 机动目录上页下页返回结束 向量积的行列式计算法 行列式计算见P339 P342 机动目录上页下页返回结束 例4 已知三点 角形ABC的面积 解 如图所示 求三 机动目录上页下页返回结束 一点M的线速度 例5 设刚体以等角速度 绕l轴旋转 导出刚体上 的表示式 解 在轴l上引进一个角速度向量 使 其 在l上任取一点O 作 它与 则 点M离开转轴的距离 且 符合右手法则 的夹角为 方向与旋转方向符合右手法则 向径 机动目录上页下页返回结束 三 向量的混合积 1 定义 已知三向量 称数量 混合积 几何意义 为棱作平行六面体 底面积 高 故平行六面体体积为 则其 机动目录上页下页返回结束 2 混合积的坐标表示 设 机动目录上页下页返回结束 3 性质 1 三个非零向量 共面的充要条件是 2 轮换对称性 可用三阶行列式推出 机动目录上页下页返回结束 例6 已知一四面体的顶点 4 求该四面体体积 解 已知四面体的体积等于以向量 为棱的平行六面体体积的 故 机动目录上页下页返回结束 例7 证明四点 共面 解 因 故A B C D四点共面 机动目录上页下页返回结束 内容小结 设 1 向量运算 加减 数乘 点积 叉积 机动目录上页下页返回结束 混合积 2 向量关系 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 设 计算 并求 夹角 的正弦与余弦 答案 2 用向量方法证明正弦定理 机动目录上页下页返回结束 证 由三角形面积公式 所以 因 机动目录上页下页返回结束 作业P3103 4 6 7 9 1 2 10 12 第三节目录上页下页返回结束 备用题 1 已知向量 的夹角 且 解 机动目录上页下页返回结束 在顶点为 三角形中 求AC边上的高BD 解 三角形ABC的面积为 2 而 故有 机动目录上页下页返回结束 四 二次曲面 第三节 一 曲面方程的概念 二 旋转曲面 三 柱面 机动目录上页下页返回结束 曲面及其方程 第七章 一 曲面方程的概念 求到两定点A 1 2 3 和B 2 1 4 等距离的点的 化简得 即 说明 动点轨迹为线段AB的垂直平分面 引例 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程 不在此平面上的点的坐标不满足此方程 解 设轨迹上的动点为 轨迹方程 机动目录上页下页返回结束 定义1 如果曲面S与方程F x y z 0有下述关系 1 曲面S上的任意点的坐标都满足此方程 则F x y z 0叫做曲面S的方程 曲面S叫做方程F x y z 0的图形 两个基本问题 1 已知一曲面作为点的几何轨迹时 2 不在曲面S上的点的坐标不满足此方程 求曲面方程 2 已知方程时 研究它所表示的几何形状 必要时需作图 机动目录上页下页返回结束 故所求方程为 例1 求动点到定点 方程 特别 当M0在原点时 球面方程为 解 设轨迹上动点为 即 依题意 距离为R的轨迹 表示上 下 球面 机动目录上页下页返回结束 例2 研究方程 解 配方得 此方程表示 说明 如下形式的三元二次方程 A 0 都可通过配方研究它的图形 其图形可能是 的曲面 表示怎样 半径为 的球面 球心为 一个球面 或点 或虚轨迹 机动目录上页下页返回结束 定义2 一条平面曲线 二 旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面 该定直线称为旋转 轴 例如 机动目录上页下页返回结束 建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程 故旋转曲面方程为 当绕z轴旋转时 若点 给定yoz面上曲线C 则有 则有 该点转到 机动目录上页下页返回结束 思考 当曲线C绕y轴旋转时 方程如何 机动目录上页下页返回结束 例3 试建立顶点在原点 旋转轴为z轴 半顶角为 的圆锥面方程 解 在yoz面上直线L的方程为 绕z轴旋转时 圆锥面的方程为 两边平方 机动目录上页下页返回结束 例4 求坐标面xoz上的双曲线 分别绕x 轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程 解 绕x轴旋转 绕z轴旋转 这两种曲面都叫做旋转双曲面 所成曲面方程为 所成曲面方程为 机动目录上页下页返回结束 三 柱面 引例 分析方程 表示怎样的曲面 的坐标也满足方程 解 在xoy面上 表示圆C 沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆 故在空间 过此点作 柱面 对任意z 平行z轴的直线l 表示圆柱面 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程 机动目录上页下页返回结束 定义3 平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成 的轨迹叫做柱面 表示抛物柱面 母线平行于z轴 准线为xoy面上的抛物线 z轴的椭圆柱面 z轴的平面 表示母线平行于 且z轴在平面上 表示母线平行于 C叫做准线 l叫做母线 机动目录上页下页返回结束 一般地 在三维空间 柱面 柱面 平行于x轴 平行于y轴 平行于z轴 准线xoz面上的曲线l3 母线 柱面 准线xoy面上的曲线l1 母线 准线yoz面上的曲线l2 母线 机动目录上页下页返回结束 四 二次曲面 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 研究二次曲面特性的基本方法 截痕法 其基本类型有 椭球面 抛物面 双曲面 锥面 的图形通常为二次曲面 二次项系数不全为0 机动目录上页下页返回结束 1 椭球面 1 范围 2 与坐标面的交线 椭圆 机动目录上页下页返回结束 与 的交线为椭圆 4 当a b时为旋转椭球面 同样 的截痕 及 也为椭圆 当a b c时为球面 3 截痕 为正数 机动目录上页下页返回结束 2 抛物面 1 椭圆抛物面 p q同号 2 双曲抛物面 鞍形曲面 特别 当p q时为绕z轴的旋转抛物面 p q同号 机动目录上页下页返回结束 3 双曲面 1 单叶双曲面 椭圆 时 截痕为 实轴平行于x轴 虚轴平行于z轴 平面 上的截痕情况 机动目录上页下页返回结束 双曲线 虚轴平行于x轴 时 截痕为 时 截痕为 实轴平行于z轴 机动目录上页下页返回结束 相交直线 双曲线 2 双叶双曲面 双曲线 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别 双曲线 单叶双曲面 双叶双曲面 P18目录上页下页返回结束 图形 4 椭圆锥面 椭圆 在平面x 0或y 0上的截痕为过原点的两直线 可以证明 椭圆 上任一点与原点的连线均在曲面上 椭圆锥面也可由圆锥面经x或y方向的伸缩变换 得到 见书P316 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 空间曲面 三元方程 球面 旋转曲面 如 曲线 绕z轴的旋转曲面 柱面 如 曲面 表示母线平行z轴的柱面 又如 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面等 机动目录上页下页返回结束 2 二次曲面 三元二次方程 椭球面 抛物面 椭圆抛物面 双曲抛物面 双曲面 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面 机动目录上页下页返回结束 斜率为1的直线 平面解析几何中 空间解析几何中 方程 平行于y轴的直线 平行于yoz面的平面 圆心在 0 0 半径为3的圆 以z轴为中心轴的圆柱面 平行于z轴的平面 思考与练习 1 指出下列方程的图形 机动目录上页下页返回结束 2 P318题3 10 机动目录上页下页返回结束 题10答案 在xoy面上 第七章 一 空间曲线的一般方程 二 空间曲线的参数方程 三 空间曲线在坐标面上的投影 第四节 机动目录上页下页返回结束 空间曲线及其方程 一 空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线 其一般方程为方程组 例如 方程组 表示圆柱面与平面的交线C 机动目录上页下页返回结束 又如 方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C 机动目录上页下页返回结束 二 空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x y z表示成参数t的函数 称它为空间曲线的参数方程 例如 圆柱螺旋线 的参数方程为 上升高度 称为螺距 机动目录上页下页返回结束 例1 将下列曲线化为参数方程表示 解 1 根据第一方程引入参数 2 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 机动目录上页下页返回结束 例2 求空间曲线 绕z轴旋转 时的旋转曲面方程 解 点M1绕z轴旋转 转过角度 后到点 则 机动目录上页下页返回结束 这就是旋转曲面满足的参数方程 例如 直线 绕z轴旋转所得旋转曲面方程为 消去t和 得旋转曲面方程为 机动目录上页下页返回结束 绕z轴旋转所得旋转曲面 即球面 方程为 又如 xoz面上的半圆周 说明 一般曲面的参数方程含两个参数 形如 机动目录上页下页返回结束 三 空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 消去z得投影柱面 则C在xoy面上的投影曲线C 为 消去x得C在yoz面上的投影曲线方程 消去y得C在zox面上的投影曲线方程 机动目录上页下页返回结束 例如 在xoy面上的投影曲线方程为 机动目录上页下页返回结束 又如 所围的立体在xoy面上的投影区域为 上半球面 和锥面 在xoy面上的投影曲线 二者交线 所围圆域 二者交线在 xoy面上的投影曲线所围之域 机动目录上页下页返回结束 内容小结 空间曲线 三元方程组 或参数方程 求投影曲线 如 圆柱螺线 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 P324题1 2 7 展示空间图形 P324题1 2 1 答案 机动目录上页下页返回结束 3 机动目录上页下页返回结束 P324题2 1 机动目录上页下页返回结束 思考 交线情况如何 交线情况如何 P324题2 2 机动目录上页下页返回结束 P325题7 机动目录上页下页返回结束 备用题 求曲线 绕z轴旋转的曲面与平面 的交线在xoy平面的投影曲线方程 解 旋转曲面方程为 交线为 此曲线向xoy面的投影柱面方程为 此曲线在xoy面上的投影曲线方程为 它与所给平面的 机动目录上页下页返回结束 第五节 一 平面的点法式方程 二 平面的一般方程 三 两平面的夹角 机动目录上页下页返回结束 平面及其方程 第七章 一 平面的点法式方程 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 称 式为平面 的点法式方程 求该平面 的方程 法向量 量 则有 故 机动目录上页下页返回结束 例1 求过三点 即 解 取该平面 的法向量为 的平面 的方程 利用点法式得平面 的方程 机动目录上页下页返回结束 此平面的三点式方程也可写成 一般情况 过三点 的平面方程为 说明 机动目录上页下页返回结束 特别 当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程 时 平面方程为 分析 利用三点式 按第一行展开得 即 机动目录上页下页返回结束 二 平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 任取一组满足上述方程的数 则 显然方程 与此点法式方程等价 的平面 因此方程 的图形是 法向量为 方程 机动目录上页下页返回结束 特殊情形 当D 0时 Ax By Cz 0表示 通过原点的平面 当A 0时 By Cz D 0的法向量 平面平行于x轴 Ax Cz D 0表示 Ax By D 0表示 Cz D 0表示 Ax D 0表示 By D 0表示 平行于y轴的平面 平行于z轴的平面 平行于xoy面的平面 平行于yoz面的平面 平行于zox面的平面 机动目录上页下页返回结束 例2 求通过x轴和点 4 3 1 的平面方程 例3 用平面的一般式方程导出平面的截距式方程 解 因平面通过x轴 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简 得所求平面方程 P327例4 自己练习 机动目录上页下页返回结束 三 两平面的夹角 设平面 1的法向量为 平面 2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 即 两平面法向量的夹角 常为锐角 称为两平面的夹角 机动目录上页下页返回结束 特别有下列结论 机动目录上页下页返回结束 因此有 例4 一平面通过两点 垂直于平面 x y z 0 求其方程 解 设所求平面的法向量为 即 的法向量 约去C 得 即 和 则所求平面 故 方程为 且 机动目录上页下页返回结束 外一点 求 例5 设 解 设平面法向量为 在平面上取一点 是平面 到平面的距离d 则P0到平面的距离为 点到平面的距离公式 机动目录上页下页返回结束 例6 解 设球心为 求内切于平面x y z 1与三个坐标面所构成 则它位于第一卦限 且 因此所求球面方程为 四面体的球面方程 从而 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 平面基本方程 一般式 点法式 截距式 三点式 机动目录上页下页返回结束 2 平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直 平行 夹角公式 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 P330题4 5 8 第六节目录上页下页返回结束 作业P3302 6 7 9 备用题 求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程 解 已知二平面的法向量为 取所求平面的法向量 则所求平面方程为 化简得 机动目录上页下页返回结束 第六节 一 空间直线方程 二 线面间的位置关系 机动目录上页下页返回结束 空间直线及其方程 第七章 一 空间直线方程 因此其一般式方程 1 一般式方程 直线可视为两平面交线 不唯一 机动目录上页下页返回结束 2 对称式方程 故有 说明 某些分母为零时 其分子也理解为零 设直线上的动点为 则 此式称为直线的对称式方程 也称为点向式方程 直线方程为 已知直线上一点 例如 当 和它的方向向量 机动目录上页下页返回结束 3 参数式方程 设 得参数式方程 机动目录上页下页返回结束 例1 用对称式及参数式表示直线 解 先在直线上找一点 再求直线的方向向量 令x 1 解方程组 得 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 机动目录上页下页返回结束 故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 解题思路 先找直线上一点 再找直线的方向向量 机动目录上页下页返回结束 二 线面间的位置关系 1 两直线的夹角 则两直线夹角 满足 设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角 通常取锐角 的方向向量分别为 机动目录上页下页返回结束 特别有 机动目录上页下页返回结束 例2 求以下两直线的夹角 解 直线 直线 二直线夹角 的余弦为 参考P332例2 从而 的方向向量为 的方向向量为 机动目录上页下页返回结束 当直线与平面垂直时 规定其夹角 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角 2 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时 设直线L的方向向量为 平面 的法向量为 则直线与平面夹角 满足 直线和它在平面上的投影直 机动目录上页下页返回结束 特别有 解 取已知平面的法向量 则直线的对称式方程为 直的直线方程 为所求直线的方向向量 垂 例3 求过点 1 2 4 且与平面 机动目录上页下页返回结束 1 空间直线方程 一般式 对称式 参数式 内容小结 机动目录上页下页返回结束 直线 2 线与线的关系 直线 夹角公式 机动目录上页下页返回结束 平面 L L 夹角公式 3 面与线间的关系 直线L 机动目录上页下页返回结束 作业P3353 4 5 7 9 P335题2 10 习题课目录上页下页返回结束 思考与练习 解 相交 求此直线方程 的方向向量为 过A点及 面的法向量为 则所求直线的方向向量 方法1利用叉积 所以 一直线过点 且垂直于直线 又和直线 备用题 机动目录上页下页返回结束 设所求直线与 的交点为 待求直线的方向向量 方法2利用所求直线与L2的交点 即 故所求直线方程为 则有 机动目录上页下页返回结束 代入上式 得 由点法式得所求直线方程 而 机动目录上页下页返回结束 习题课 一 内容小结 二 实例分析 机动目录上页下页返回结束 空间解析几何 第七章 一 内容小结 空间平面 一般式 点法式 截距式 三点式 1 空间直线与平面的方程 机动目录上页下页返回结束 为直线的方向向量 空间直线 一般式 对称式 参数式 为直线上一点 机动目录上页下页返回结束 面与面的关系 平面 平面 垂直 平