2010年数学建模C题修改版(附全部代码).doc

2010年高教杯大学生数学建模试题C题 输油管的布置某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）212420请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。 建模过程1 问题的重述1.1问题的背景某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1.2问题的提出1.2.1相关信息 问题二： 根据实际情况,设计院对炼油厂的大致位置定性的预先设置了位置(见上图),由于涉及到城区的拆迁及其补偿问题，设计院咨询了三家工程咨询公司，对城区每千米铺路补偿费用进行了估算，结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）212420此外，每千米铺路费为7.5万元。 问题三：根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管，这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同问题二。1.2.2需要解决的问题 1针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 2.根据预设的炼油厂的位置，为设计院给出管线布置方案及相应的费用。 3.针对给出的管线铺设费用为设计院给出管线布置方案及相应的费用。2 符号说明A 表示炼油厂1B 表示炼油厂2C（x0，0）表示新建车站D 表示非共用管道的单位建设费用E 表示共用管道的单位建设费用H 表示铺设管线的的总费用a 表示L1离铁路的最近距离b 表示L2离铁路的最近距离c 表示炼油厂A距郊区与城区分界线的距离l 表示A点平行于铁路离B点的最近距离I（x，y）表示A、B两点所交汇的一个可变的坐标点f 表示铺设油管的总线长T表示城区铺路单位长度的拆迁和补偿的额外费用3 模型假设1. 炼油厂A，炼油厂B，车站都看成一个点，且在一个平面内2. 忽略可以阻挠铺设管道的一些外界因素，如拆迁时遇到的人为的阻力3. 铺路所需的各种原材料及设备的市场价格在铺设道路时段稳定。4模型的建立与求解4.1问题一建模与求解：4.1.1问题分析若管线建设费用最省，那么管线的长度应该是最短的，因此我们要设计的管线首先考虑线路最短，然后根据费用的不同考虑每段线路的长度。以O点为坐标原点，以铁路所在直线为x轴，以油厂A所在直线为y轴，建立直角坐标系。(单位：千米)。4.1.2数学模型的建立 根据I（x，y）的坐标情况并联系本题实际可将其分成以下几种情况：1 ：0x=l，y=0,此时I（x，y）与新建车站C重合2：x=0，0y=a，此时I（x，y）在AO之间，新建车站C在O点3：0xl，0y=a，此时新建车站C的坐标为（x，0）下面针对以上几种情况分别制定方案。1 ：0x=l，y=0,此时I（x，y）与新建车站C重合方案一：由1知A、B没有共用线路，若建设管线费用最短，只需要管线最短，则情景如图所示：C(x,0)A(0,a)A（0，-a）OB1B(l,b)x则管线的总长为： 对其求导并令导数为零，得到此时最短线路为此时最短路线为,则最少费用为2.x=0，0y=a，此时I（x，y）在AO之间，新建车站C在O点方案二：两个炼油厂有共用线路，且共用线路在y轴上，方案如图所示，若建设管线费用最省，首先考虑线路最短，然后根据费用不同考虑每段线路的长度。（1） 当费用相同时，若建设管线费用最省，只需要线路最短。管线的长度为：B(l,b)A(0,a)B1(l,0)OI（x,y）=a-y + y 求导并求得最优解为y =a,即I（x，y）与A点重合，此时管线长度为 ： 即：当费用相同时，费用为Min；当费用不同时，费用为Min方案三：0xl，0yx00,ay00知此时l与a、b之间存在一定的关系即：3(b-a)l3(a+b)。此时有0x=3a,0ya此时最短线路为：则此时最少费用为minH=D（）当费用不同时,管线的建设费用为H=D()+E y记k,由二元函数微分解得: 此时费用最少为:由于以上模型都是基于两炼油厂距离不为0，下面单独考虑两加油站距离为0即l=0的情形，即模型四，如图所示XOBA则此时铺设管线的总费用为：1. 费用相同时，H=Db2. 费用不同时，H=D(b-a)+Ea4.1.3模型分析仔细分析以上模型,发觉方案三实际上包括了前三种情况(两炼油厂不在垂直于铁路线的同一直线上)下面讨论非共用线路与共用线路单位长度费用相同时的各种情况.分别令x=0,y=0,即：=0， =0分别解得l=3(b-a) l=3(a+b)则用零点分段法有：1.当l=3(b-a)时，x=a,显然方案二为最优方案，此时最低费用为；2.当3(b-a)l=3(a+b),x3a,y0时对各方案最省方案随l的变化用matlab作图，直观观测最优解的情况，并验证以上分析的正确性。取定a=5，b=8，1l=30,代入各方案的最低值时,则最优结果可表示为 D(), l=33 (方案二)MinH= D（）, 3(b-a)l3(a+b)即33l=3(a+b)=133（方案一）编写程序（见附录1），程序运行后效果如图：注：图中y表示满足条件的最短线路值在l0,显然方案二此时为最优；在33l=3(a+b)=133时,方案三已失效(其所对应的y0已经小于0)，由图的此时最优方案为方案一。当费用不同时，可类似处理。4.2问题二的建模和求解根据三家工程咨询公司对铺设在城区的管线还需要增加拆迁和工程的补偿等附加费用的估计的结果，在三家工程咨询公司的资质级别不相同的情况下，对他们所作出的估价进行评估有着重要的作用，根据参考文献2,对这类问题,我们不能只对公司一的结果做出较大的肯定，要对其余两家公司的结果也需要认可，所以我们可以根据三家公司的实力来估算他们所的出估计价格比重.因此可以这样安排,公司一的估价所占的比重为百分之四十，其余的两家公司估价所占的比重均占百分之三十.所以T=21*0.4+(24+20)*0.3=2.16 万元.根据设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体设计，两炼油厂的具体位置有以下图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），则由对问题一得讨论，有三种方案：方案一：I（x，y）点与新建车站C点重合，无共用管线，如图所示设由B至新建车站C的管线经过城市和郊区分界线的M（15，z）点C(X,0)A(0,5)20OM(15,z)15B(20,8)yx由已知条件得此时管线布置的总费用为:H=7.5(52+x2+(15-x)2+z2+52+(8-z)2)+21.6*252+(8-z)2,其中0=x=15, 0=z=8,通过matlab程序对x和z求导得：H1 x= 36/5/(x2+25)(1/2)*x+18/5/(z2+225-30*x+x2)(1/2)*(-30+2*x)H1z= 36/5/(z2+225-30*x+x2)(1/2)*z+18/5/(89-16*z+z2)(1/2)*(-16+2*z)+1/2*T/(89-16*z+z2)(1/2)*(-16+2*z)分别令H1 x= 0，H1z=0，求解并化简得x= 6.146925，z= 7.201223 则MinH= 285.0431方案二：两加油站至新建车站C有共用管道IC，示意图如下,显然该方案已包括问题一中的第2种情况C(X,0)B(20,b)20OM(15,z)15I(x,y)A(0,a)xy则此时费用为：H=7.2(（a-y）2+x2+（15-x）2+(z-y)2+52+(b-z)2+y)+21.652+(b-z)2，0y=8, 0x=15, 0=z=b则用lingo求解（程序见附录2）MinH,结果如下：X= 5.447469，y= 1.854903，z= 7.370059代入得MinH= 283.2013方案三：联系实际，拆迁和工程的补偿问题是一个比较难协调的事情，因此有必要考虑在不影响工程进展的情况下，尽可能少拆迁。因此设计了第三种方案，方案如图所示：A（0，5）B(20,8)M(15,8)2015CxyI(x,y)o即管线的附加费用最少，此时又回到问题一了，则a=5，b=8,c=15,MB=5,由33=3(b-a)153(a+b)= 133，显然问题一中的第三种方案对此题适用。则x=4.901924 y=2.169873-9MinH=7.2（8+52+3215）+ 21.65=284.3307即最优解为：284.3307万元用lingo验证，结果见附录三4.2.3数学模型的求解把以上方案进行比较，若不考虑拆迁可能引起的社会问题，则方案二为最优方案，管线相应费用为283.2013；如考虑拆迁可能引起的社会问题，则方案三为最优方案，管线相应费用为284.33074.3.1问题分析在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同问题二。设计管线最佳布置方案及相应的费用。对该问题建模，只需对问题二所得模型稍微变动一下即可，即：方案一：I（x，y）点与新建车站C点重合，无共用管线，方案如图所示设由B至新建车站C的管线经过城市和郊区分界线的M（15，z）点C(X,0)A(0,5)20OM(15,z)15B(20,8)yx由已知条件得此时管线布置的总费用为:H=5.6(52+x2)+6.0*(15-x)2+z2+52+(8-z)2)+21.6252+(8-z)2,其中0=x=15, 0=z=8,用lingo求解（程序及结果见附录四）得X= 6.751458 z= 7.273552MinH= 252.4808方案二：两个炼油厂有共用输油管道时，方案如图所示，C点为新建车站位置，若建设管线费用最省，只需要考虑输送A,B厂成品油的管线铺设费用和附加费用和共用输油管道之和最小。C(X,0)B(20,b)20OM(15,z)15I(x,y)A(0,a)xy所以铺设管线的总费用为：H=5.2（a-y）2+x02+6.0*（15-x）2+(z-y)2+52+(b-z)2）+7.2y+21.652+(b-z)2，0y=8, 0x=15, 0=z=b，求解（程序及结果见附录五）得：X= 6.732103 y= 0.1401119 z=7.282167 MinH= 252.4737方案三：考虑拆迁可能引起的一系列问题，可使拆迁距离最短。方案如图所示：A（0，5）B(20,8)M(15,8)2015CxyI(x,y)o此时只需将将问题二中的第三种方案参数稍作修改：z=8，M(15,8)即可：H=5.2（a-y）2+x2+6.0*（15-x）2+(z-y)2+52+(b-8)2）+7.2y+21.65, 0x=15，0y13*31/2,表达式中y0，方案三失效)xlabel(两加油站间的平行于铁路的距离l)ylabel(三种方案对应的最小值随l的变化曲线y)title(示意图)gtext(方案一);gtext(方案二);gtext(方案三)Char1=方案一;Char2=方案三;Char3=方案二;legend(Char1,Char2,Char3,Location,NorthWest)grid onhold offmyfun1function Y=myfun1(x)Y=sqrt(132+x.2)myfun2function Y=myfun2(x)Y=sqrt(9+x.2)+5myfun3function Y=myfun3(x)Y=6.5+0.5*(31/2)*x附录二：model:a=5;b=8;c=15;l=20;min=7.2*(sqrt(a