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2.3终值及其应用 2.3.1终值的概念终值是与现值相对的概念，是指当前的一项现金流在未来某个时刻的价值。在求终值问题时应该考虑单利和复利的问题，一般如果没有特别的说明则都是按照复利（离散复利）进行计算。 在复利计息的情况下，当前的现金流在利率为时到第期期末的终值为： 2.3.2终值的计算在Matlab中，用来计算现金流的终值的函数有fvfix和fvvar两个。同样，-fix函数用来计算规则现金流的终值；而-var函数则用来计算不规则现金流的终值。【例2.9】一投资者的储蓄账户初始余额为$1500，在随后的10年中，每月末都会收到$200并存入该账户，银行的年利率为9%。试计算其到期时的价值。通过执行fvfix函数命令：FutureVal = fvfix(Rate, NumPeriods, Payment, PresentVal, Due)即可计算出该固定收入现金流的的终值。变量解释：Rate：周期性收支的利息率，以小数的形式输入；NumPeriods：周期性收支的次数；Payment：每期收支的现金流数额；PresentVal：初始余额Due：收支被预定或确定的时间：0表示在期末收支（默认值），1表示在期初收支（任选）。输入命令：FutureVal = fvfix(0.09/12, 12*10, 200, 1500, 0)输出结果： FutureVal = 42379.89即该现金流到期时的价值为42379.89$。【例2.10】设某投资者期初投资为$10,000，在随后的5年投资期中每年产生的收入流依次为$2000、$1500、$3000、$3800、$5000，年利率为8%。试计算该现金流到期时的价值。通过执行fvvar函数命令： FutureVal = fvvar(CashFlow, Rate, IrrCFDates)即可求出这个规则（周期性的）现金流的终值。输入命令：FutureVal = fvvar(-10000 2000 1500 3000 3800 5000, 0.08)输出结果：FutureVal = 2520.47 即该现金流到期时的价值为2520.47$。如果期初投资的$10,000产生的是一个不规则的现金流（如下所示），则计算时要将期初的投资和各个现金流发生的日期也考虑进去。利率为9%。Cash flowDates($10000)January 12, 2000$2500February 14, 2001$2000March 3, 2001$3000June 14, 2001$4000December 1, 2001同样通过执行fvvar函数命令：FutureVal = fvvar(CashFlow, Rate, IrrCFDates)即可求出这个不规则的（非周期性的）现金流的终值。输入命令：CashFlow = -10000, 2500, 2000, 3000, 4000;IrrCFDates = 01/12/2000 02/14/2001 03/03/2001 06/14/2001 12/01/2001;FutureVal = fvvar(CashFlow, 0.09, IrrCFDates)输出结果：FutureVal =170.662.4年金及其应用2.4.1年金的概念及分类年金是指一系列有稳定规律的、持续一段固定时间的现金收付活动。其特点是在相等时间间隔内发生等额系列支付的现金流。它是一种特殊的（规则的）现金流。年金是一类常用的金融工具。由于其现金流的规律性而在现实中被广泛应用。如生产经营中发生的折旧、租金、利息、保险金、养老金、分期付款赊购、分期等额偿还贷款、分期等额支付工程款等。其中，最常见的是房屋抵押贷款的支付和养老金的存取问题。按照收付的次数和时间划分，年金可分为后付年金、预付年金、递延年金、永续年金等。1、后付年金后付年金是指各期期末收付的年金，它是经济生活中最常见的一种年金收付形式，因而也称为普通年金。假设从现在开始到第期，每期期末都会收到等额的现金流，利率为，则由这一系列的现金流所组成的后付年金的现值为：其复利终值则为： 2、预付年金 预付年金是指一定时期每期期初发生的等额系列收付款项，又称为即付年金或先付年金。其现值为： 其终值为：3、递延年金递延年金是指发生在若干期后的等额系列收付款项，第一期到年金收付发生时的时间间隔称为递延期。其现值有两种求解方法：方法一：先求出递延期期末的后付年金现值，再按复利现值的求法将其调整到第一期期初。 方法二：先根据年金现值公式求出包括递延期在内的总期限的年金现值，再扣除实际并未支付的递延期内的年金现值。 其中，为递延期，为总的期限，为发生实际支付的期限。其终值与递延期无关，计算公式与后付年金完全相似，为：4、永续年金 永续年金是指无期限等额发生的系列收支款项。现实中的存本取息、优先股的股利都可视为永续年金。它没有终值，现值为： 2.4.2各种年金的计算由于年金是一种特殊的现金流，因此，计算各种年金仍然可以使用相应的计算现金流的现值与终值的Matlab函数，只是在有的情况下稍微有一点变动。1、后付年金的现值与终值计算【例2.11】某企业拟租入一设备，每年年末要支付租金10000元，设银行利率为10%，则5年中租金的现值为多少？输入命令：PresentVal = pvfix(0.1, 5, 10000, 0, 0)输出结果：PresentVal = 3.7908e+004即5年中租金的现值为37908元。【例2.12】某人每年年末存入银行2000元，年利率7%，则5年后的本利和是多少？输入命令：FutureVal = fvfix(0.07, 5, 2000, 0, 0)输出结果：FutureVal = 1.1501e+004即5年后的本利和为11501元。2、预付年金的现值与终值计算【例2.13】光华公司租入一台设备，若每年年初支付租金4000元，年利率为8%，则5年中租金的现值为多少？输入命令：PresentVal = pvfix(0.08, 4, 4000, 0, 0)输出结果：PresentVal = 1.3249e+004继续输入命令： PresentVal+4000输出结果：ans = 1.7249e+004法2：输入命令：PresentVal = pvfix(0.08,5, 4000, 0,1)输出结果：PresentVal = 1.7249e+004【例2.14】张先生每年年初存入银行2000元，年利率7%，则5年后的本利和是多少？输入命令：FutureVal = fvfix(0.07, 5, 2000, 0, 1)输出结果：FutureVal = 1.2307e+0043、递延年金的现值与终值计算【例2.15】星怡公司某一开发项目于1991年年初动工，5年后投产，从投产之日起的10年中每年年收益为100000元，按年利率6%计算，该投资项目各年收益的现值总和是多少？方法一：输入命令：PresentVal = pvfix(0.06, 10, 100000, 0, 0);PresentVal/(1+0.06)5输出结果：ans = 5.4999e+005方法二：输入命令：PresentValn = pvfix(0.06, 15, 100000, 0, 0);PresentValm = pvfix(0.06, 5, 100000, 0, 0);PresentValn- PresentValm或直接输入命令：pvfix(0.06, 15, 100000, 0, 0)- pvfix(0.06, 5, 100000, 0, 0)输出结果：ans = 5.4999e+005【例2.16】星怡公司某一开发项目于1991年年初动工，5年后投产，从投产之日起每年年收益为100000元，按年利率6%计算，投产10年后其收益总和是多少？输入命令：FutureVal = fvfix(0.06, 10, 100000, 0, 0)输出结果：FutureVal = 1.3181e+0064、永续年金的现值计算（无终值）【例2.17】某企业持有A公司的优先股6000股，每年可获优先股股利1200元。若利息率为8%，则6000股优先股现在的价值是多少？其价值即为其历年利息的现值和。输入命令：PresentVal =1200/0.08输出结果：PresentVal = 150002.5有效年利率与连续复利2.5.1有效年利率与连续复利的概念1、年利率与有效年利率 平常我们常用的利率（也称为收益率）均为年利率，并均假设利息每年仅在年末计算一次，这种年利率我们将其称之为名义年利率（或名义收益率）；而实际问题中经常遇到的却不是按年计息，而可能是按月或按季度计息，我们将这种按复利计息得出的年利率称之为有效年利率（或有效收益率）。 一般情况下，如果一项存款的名义年利率为，则其每年的有效年利率（ER）为： 有效年利率随着的增大而增大，但最后趋近于一个常数。2、连续复利收益率 当上面的有效年利率公式中的时，采用的就是按照无限短的时间间隔复利计息，即为连续复利计息问题。连续复利是银行和许多金融机构经常采用的计息方式，广泛应用于金融衍生工具的定价计算中。 对上面的表达式取极限后即得到连续复利下的有效年利率为。 设银行的年利率为，则现金流在连续复利情况下在第年年末的终值为：而在单个时点上收支的现金流的现值为：个不同时点收支的现金流的现值总和为： 2.5.2有效年利率与连续复利的计算 在Matlab中，可用来计算名义年利率和有效年利率的是nomrr和 effrr函数。【例2.28】计算年利率为9%，每月付息一次的有效年利率。通过执行effrr函数命令：Return = effrr(Rate, NumPeriods)即可得出有效年利率。输入命令：Return = effrr(0.09, 12)输出结果：Return = 0.0938 或 9.38%【例2.29】已知有效年利率为9.38%，每月付息一次，试计算其名义收益率。 通过执行nomrr函数命令：Return = nomrr(Rate, NumPeriods)即可得出要求的名义收益率。输入命令：Return = nomrr(0.0938, 12)输出结果：Return = 0.0900 (9.0%)【例2.30】已知名义年利率为9%，试计算其连续复利的有效年利率。输入命令：Return =exp( 0.09)-1则得结果为： Return =0.0942(9.42%).【例2.31】假设年初存入银行1000元，银行年利率为6%，试分别在年计息次数为2和连续复利的情况下，计算出期末余额。首先计算出年计息次数为2的期末余额：法1：输入命令：1000*(1+0.03)2结果为：ans = 1.0609e+003法2：在非连续复利情况下，仍可利用计算现金流终值的Matlab函数fvfix来计算。fvfix(Rate, NumPeriods, Payment, PresentVal, Due)输入命令： FutureVal = fvfix(0.06/2, 2, 0, 1000, 0) 结果为： FutureVal = 1.0609e+003法3：输入命令： FutureVal = fvfix(0.06/2, 2, 0, 1000, 1) FutureVal = 1.0609e+003（每期现金流为0，所以期初期末效果一样）又输入命令： R=1000*exp(0.06) %计算连续复利情况下的终值输出结果为： R = 1.0618e+003 下面则是一个用连续复利计算现值的例子。【例2.32】某投资项目预计未来4年的现金流入依次为200元、300元、500元、100元，年利率为6%，试求其利用连续复利进行折现后的现值。输入命令： A=200 300 500 100;B=exp(-0.06*1 2 3 4);PresentVal =A*B输出结果：PresentVal = 950.72692.6投资项目决策分析 投资项目决策是公司理财中经常碰到的问题。公司财务经理常常面临着是否对一个新项目进行投资或者是否对已有的设备进行更新的决策问题。对投资项目进行决策的方法常用的有净现值法（NPV）、内部收益率法（IRR）及回收期法等一系列方法。净现值法在上节中已作过介绍，本节将着重介绍内部收益率法。2.6.1内部收益率法的概念内部收益率（Internal Rate of Return，IRR）是指使该投资项目的净现值为零的复利利率。它反映了投资项目的真实收益率水平，是对投资项目进行决策所常用的方法之一。内部收益率可以用公式表示为： 式中为0,1,n期的各期现金流，满足上式的即为该项目的内部收益率。 进行投资决策时，若求出的内部收益率大于贴现率（资金的成本），则可以投资该项目；若求出的内部收益率小于贴现率，则不能投资该项目；若求出的内部收益率等于贴现率，则可以投资该项目，也可以投资其它项目。 贴现率可以说是外部收益率，受市场利率的影响，而内部收益率不受市场利率的影响。2.6.2内部收益率的计算【例2.33】已知某投资项目的初始投资额为100,000元，在未来的5年内将依次获得10,000、20,000、30,000、40,000、50,000元的现金流入，假设贴现率为10%，那么该投资项目是否可行？通过执行irr函数命令：Return = irr(CashFlow)即可得出要求的内部收益率。输入命令：Return = irr(-100000 10000 20000 30000 40000 50000)输出结果： Return = 0.1201 (12.01%) 求出的该投资项目的内部收益率为12.01%，大于贴现率10%，故按照内部收益率法的原则可以投资该项目。注意：这里将项目的初始投资额作为现金流向量的第一个元素，并且是作为一个负现金流来处理的。实际上，在Matlab中，一般是将投资视为负现金流，而收益则视为正现金流来一同进行处理的。 以上初始投资所产生的现金流为周期性的，各期之间的时间间隔相同。当初始投资所产生的现金流为不具有周期性，即各期之间的时间间隔不同时，就要用xirr函数来计算其内部收益率。【例2.34】以下的非周期性的现金流是由一项10,000元的投资产生的，初始投资及其日期被包含在内： Cash flowDates(10000)January 12, 20002500February 14, 20012000March 3, 20013000June 14, 20014000December 1, 2001假设投资的贴现率为11%，那么该投资项目是否可行？通过执行xirr函数命令：Return = xirr(CashFlow, CashFlowDates, Guess, MaxIterations)即可得出这个非周期性的现金流的内部收益率。上述命令中，Guess是任选的，表示对最初的期望收益率的估计，默认值为 0.1 (10%)；MaxIterations也是任选的，表示利用牛顿迭代法（Newtons method）来求内部收益率时所需进行迭代的次数，默认值=50。输入命令：CashFlow = -10000, 2500, 2000, 3000, 4000;CashFlowDates = 01/12/2000 02/14/2001 03/03/2001 06/14/2001 12/01/2001;Return = xirr(CashFlow, CashFlowDates)输出结果：Return = 0.1009 (或10.09%) 求出的该投资项目的内部收益率为10.09%，小于贴现率11%，故按照内部收益率法的原则不能投资该项目。 如果考虑到初始投资的时间价值及各期现金流的再投资问题，就要对内部收益率进行修正，以更好地反映真实的收益率状况，利用mirr函数可以计算