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第十章 重积分 一、教学要求 1、了解二重积分的概念与性质。2、熟练掌握二重积分的计算方法。3、掌握二重积分的应用。二、内容提要 1、二重积分的定义：=。 2、二重积分的几何意义：当时, 为以D为底， 为顶的曲边柱体的体积。特别当=1时，表示D的面积。3、常用的二重积分性质（1）=；（2）=+ （其中D=D1+D2）。4、二重积分的计算(1)直角坐标系下化为二次积分来计算： (a)先对y后对x的二次积分(X型) （b）先对x后对y的二次积分(Y型) 将区域D用不等式组表示为 将区域D用不等式组表示为 则= 则= 注意：有些二重积分在直角坐标系下既可化为X型，又可化为Y型计算。 (2) 极坐标系下二重积分的计算将区域D用不等式组表示为 则= = 特殊地 极点在D的内部 极点在D的边界此时区域D用不等式组表示为 此时区域D用不等式组表示为 = = 注意：当被积函数是以为变量的函数，或当积分区域D是与圆有关的图形，一般将二重积分化为极坐标系下计算较简单。极坐标的极点就是直角坐标的原点。5、计算重积分的解题步骤：第一步：画出积分区域D的图形；第二步：将积分区域D用不等式组表示；第三步：根据不等式组，将二重积分化为二次积分；第四步：计算二次积分。6、二重积分的应用（1）平面图形D的面积：A =。（2）空间立体的体积：根据二重积分的几何意义计算空间立体的体积。（3）平面薄片的质量：面密度为的平面薄片的质量是 三、复习思考题（一）单项选择题1在极坐标系下，面积元素=A B C D 2设D是由直线，所围成的平面区域，函数在D上连续，则（ ）；A B C D 3I=，将I化成先x后y的积分，则I=（ ）；A B C D 4设D是由直线，所围成的平面区域，则=（ ）。A B C 1 D 2（二）、填空题1若平面区域D的面积为2，则= 。2设I=，改变积分次序，则I= 。3交换积分顺序+= 。4积分区域D由和围成的平面区域，则将化为X型的二次积分为 ；Y型的二次积分为 。5积分区域D由，和围成的平面区域，则将化为X型的二次积分为 ；Y型的二次积分为 。6积分区域D由圆 (a0)围成，则二重积分化为极坐标系下的二次积分为 。（三）、交换二次积分的积分次序1 2 3+（四）、计算二重积分1计算，其中D是由，及围成的平面区域。 2计算，其中D是由，及围成的平面区域。 3计算，其中D是由，及围成的第一象限区域。4设D：, 计算。 5计算， 其中D是由 ,
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