管道包扎问题的数学模型论文.doc

管道包扎问题的数学模型论文管道包扎问题的数学模型摘要: 本篇论文讨论管道的包扎问题.是一个三维空间的问题我采用剪切的方法把空间问题转化为平面问题建立刚好全部包扎所用带子最短模型和管道包扎出现接缝处重叠模型然后利用数学软件 Matlab 求解.在图 1 中，求得最短带子包扎的通用表达式并代入题目给出的数据得到第一个问题的最短长度为 50.4 米。在图 2 和图 3 中，采用近似的处理方法求出管道包扎接缝处重叠带子宽度的表达式代入第二个问题的数据得到带子的重叠宽度为 0.004 米.论文的最后对临界角 0 和截面是正多边形的管道的情况作进一步的讨论并得到更一般的模型.关键词: 临界角 临界点 临界长度 等量关系1 问题的提出 用宽度为 0.3m 的带子缠绕包扎圆柱型管道，管道长 30m，截面周长为 0.5m. 1 如果用带子全部包住管道，最少要用多长的带子，请你给出计算这个最小长度的公式，并且依次计算出所需长度数值. 2 现有一条长度为 51m 的带子，想将这条带子全部用于缠绕包扎这个管道，可以使带子的接缝处重叠瘩接.请你给出用这条带子缠绕包扎这个管道的方案.（计算结果精确到 0.001m） 3 如果管道截面是正三边形正四边形或边数更多的正多边形.2 问题的分析 生活的经验告诉我们在包扎圆形管道的过程中 如果开始包扎时带子边缘 所在的直线与管道母线的夹角过小就可能出现不能把管道全部包扎的现象 如 果夹角过大就可能出现包扎带子在接缝处重叠的现象. 所以 随着夹角的增大 总会出现在接缝处恰好接合而没有重叠的情况.这种特殊的情况就是第一问的求 解问题称此时包扎带子的长度为临界长度 带子边缘所在的直线与管道母线的 夹角为临界角管道任一端的带子截口所在边与管道截面的交点称为临界点.如果 给定一段带子的长度大于临界长度则总能找到一种包扎方案使得整条带子全都 包扎完其中接缝处有重叠. 当管道的截面为正多边形时我们把正多边形的直棱柱管道看作圆形管道的变形来处理即正多边形的直棱柱管道的平面展开图与圆形管道的平面展开图是同样的.3 模型的假设 1 管道没有厚度即把管道剪开图看成平面不考虑空间结构 2 管道是刚性物体带子也不具备弹性 3 管道截面是圆形或正多边形整条管道粗细均匀 4 包扎过程中带子的宽度不变，带子也不能切断 5 带子没有厚度且两端截口垂直于它的边.即把带子看成一个长方形不考虑空 间结构 4 符号的约定 1） a -带子的宽度 2） b -管道的长度； 3 c -管道截面的周长 4） l - 带子的长度 5 - 带子截口所在的直线与管道母线的夹角 6 S1 - 直角三角形 AED 的面积 7 S 2 - 直角三角形 OBF 的面积 8 S 3 - 四边形 COHG 的面积 9 x - 带子重叠部分的宽度 10 y - 重叠部分的带子长度 11 m- 截面正多边形的边长 12 n - 截面正多边形的边数.5 模型的建立和求解 5.1 刚好全部包扎所用带子最短模型 经过临界点沿着管道的母线切开得到矩形 ABCD如下图 1: 图1 其中矩形 ABCD 为管道的侧面展开图三角形 AED 为直角三角形四边形OHGC.定理 1 直角三角形 AED 的面积等于直角三角形 OBF 和四边形 OHGC 之和. 证明 线段 BF 和线段 CG 在空间图形中是重合的故这两线段相等. 把直角三角形 OBF 向右移动使 BF 与 CG 重合则构成直角三角形 O HO . 又 EDOH OBOCAD 故 AED O HO 即定理成立.推论 1 沿着管道任一母线剪开得到的平面展开图中管道截面界线的两端分别能组成两个直角三角形 且这两个直角三角形的面积相等.由上面的定理 1 和推论可以得出刚好包扎管道所用带子最短的模型: al S1 S 2 S 3 bc 1 S1 a c a 2 2 2 S1 S 2 S 3 求得一般表达式为: bc l c2 a2 a把题目中给出的数据代入一般表达式求得第一问题的临界长度为: 30 0.5 l 0 .5 2 0 .3 2 50.4 米 0 .35.2 管道包扎出现接缝处重叠的模型 按图 1 的剪开方法得到管道平面展开图如图 2: 图2 其中阴影为带子重叠部分. 命题 1 在带子宽度不变的条件下带子相接处重叠的宽度一定相等即图 2 中 阴影部分的平行四边形的宽度不改变.5.2.1 求阴影部分的带子的长度. 命题 2 阴影部分的长度比整条包扎带子的长度短线段 AE 的长度. 证明 由推论 2 阴影部分的宽度相等 故可以过图 2 的 A 点垂直 AE 剪切 再 把剪切的左边部分图形补到右边如下图 3: 图3由图 3 可以看出 y l AE l c cos5.2.2 利用阴影部分的面积相等得到模型: xy al bc a x c 2 a x 2 y l c cos c 2 a x 2 cos c化简此方程组得: 2 x a c 2 a x 2 xl al bc 0 1利用 Matlab 解方程1得到的结果过繁所以为了得到一个比较简单而又接近实际的答案我们作以下处理: 在生活和工作中为了节省材料包扎管道的带子一般不会比临界长度长太多所以可用 c 2 a 2 近似代替 c 2 a x 2 求得结果为: a c 2 a 2 bc al x 2 2 c2 a2 l把第二问题的数据代入方程1得: x 1 0.00357把第二问题的数据代入方程2得: x 2 0.0036由以上计算得到的结果可以看出当带子的长度不太长时用 a c 2 a 2 bc al x 2 c2 a2 l代替这个模型的结果是可以的.且取得第二问题的结果为: x0.004 米5.3 截面为正多边形的直棱柱管道模型 推理 1 对于任何正多边直棱柱的包扎面从临界点沿棱柱的母线剪开得到的剪开平面如图 1 所示包扎方案为临界时如果有带子重合的情形如图 2.类似以上图 1 圆柱管道包扎方案的方法建立模型如下: 5.3.1 包扎正多边直棱柱的临界模型: al S1 S 2 S 3 bmn 1 S1 a mn a 2 2 2 S1 S 2 S 3 解得: mnb l mn 2 a 2 a 5.3.1 包扎正多边直棱柱的有重叠的模型: xy al mnb a x mn 2 a x 2 y l mn cos mn 2 a x 2 cos mn 以 mn 2 a 2 代替 mn 2 a x 2 解得 a mn 2 a 2 mnb al x 2 mn 2 a 2 l6 模型的分析6.1 临界角的讨论 a 临界角 0 arcsin 3 c 6.1.1 当 0 时带子不能全部包扎整条管道.如果要在 角增大即临界角增 大的情况下实现全部包扎由3 式可以看出应加大带子的宽度或减小管 道截面的周长. 6.1.2 当 0 时带子在包扎过程中出现接缝处重叠.如果要在 角减小即临 界角减小的情况下实现全部包扎由3 式可以看出应减小带子的宽度或 增加管道截面的周长.故有以下推理:推理 2 包扎管道的临界角 0 随带子宽度的增大而增大管道截面周长的减小而增大随带子宽度的减小而减小管道截面周长的增大而减小.6.2 管道的讨论 由推论 1、命题 1 和推理 1可知无论求解模型是圆柱模型或是截面为正多边形的直棱柱其求解过程都是相同的故有以下推理.推理 3 管道的包扎方案与管道截面是凸多边形不限边数不限每边的长度或连续的凸封闭曲线无关只与管道截面的周长 C、管道长度 l 和给定的带子的长度有关.参考文献:1 吕林根. 解析几何. 北京:高等教育出版社，2000.2 刘来福. 数学模型与数学建模M 北京：北京师范大学出版社 20023.姜启源等编.数学模型（第三版）.北京：高等教育出版社.2003. 4.姜启源等编.数学模型 （第三版） 习题参考解答. 北京：高等教育出版社.2003.5.刘来福，曾文艺.数学模型与数学建模.北京：北京师范大学出版社，19976.杨启帆，边馥萍.数学模型.杭州：浙江大学出版社，19907.叶其孝.中学数学建模M.长沙：湖南出版社.1998.9-108.冯跃峰.对数学教育若干问题的认识J.数学教育学报.1992（1）:64-659.卜月华.中学数学建模教与学M.东南大学出版社，2002，310.荆新大.足球中的数学J.数学教学，1993（3）11.廖运章.强调数学理解 建模灵活开放.数学通报，2000，12 The study of pipeline bind ups problem YE Feiwu（ Department of mathematics 2000 grade Class Shaoguan College Shaoguan 512005Guangdong） Abstract: we will discuss the bind up problems of pipeline in this paper. This problem is athree- figure problem. We can cut the pipeline open and change these plane problems intothree-figure problems. We set up the best of all shot model which use band shot of all and happen tobind up the pipeline entirely and set up the repeated model of which the joint locate appear repeatedthen take the mathematics software to work out the problem. In the fig1 we work out the currencyexpression of best of all bands and make use of the data of subject and gained the answer of thefirst problem is 50.4 meter. In the fig2 and fig3 adopt approximate method to seek out theexpression of the bands width superposed and make use of the data of subject and gained theanswer of the second problem is 0.