第8章 第8节　曲线与方程.doc

第八节曲线与方程考纲传真(教师用书独具)1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程(对应学生用书第144页)基础知识填充1曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线2求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0.(4)化方程f(x，y)0为最简形式(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上3两曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)0，曲线C2的方程为F2(x，y)0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解若此方程组无解，则两曲线无交点基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件()(2)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的()(4)方程y与xy2表示同一曲线()解析对于(2)，由方程得x(xy1)0，即x0或xy10，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y是曲线xy2的一部分，错误答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知点F，直线l：x，点B是l上的动点若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A双曲线B椭圆C圆D抛物线D由已知|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线3已知点F(0,1)，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且，则动点P的轨迹C的方程为()Ax24yBy23xCx22yDy24xA设点P(x，y)，则Q(x，1)，(0，y1)(x,2)(x，y1)(x，2)，即2(y1)x22(y1)，整理得x24y，动点P的轨迹C的方程为x24y.故选A4已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|3，则顶点A的轨迹方程为_(x10)2y236(y0)设A(x，y)，则D|CD|3，化简得(x10)2y236，由于A，B，C三点构成三角形，A不能落在x轴上，即y0.5过椭圆1(ab0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是_1设MN的中点为P(x，y)，则点M(x,2y)，又点M在椭圆上，1，即所求的轨迹方程为1.(对应学生用书第144页)直接法求轨迹方程设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且2，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程. 【导学号：97190301】解设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)(1，y0)0，x0y0.由2得(xx0，y)2(x0，y0)，即x0，即y24x.故所求的点N的轨迹方程是y24x.规律方法用直接法求曲线方程的关键是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，但要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略.跟踪训练(1)设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹方程为()Ay22xB(x1)2y24Cy22xD(x1)2y22(2)已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为()Ax2y22Bx2y24Cx2y22(x2)Dx2y24(x2)(1)D(2)D(1)如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)连接MA，PM，则MAPA，且|MA|1，又|PA|1，|PM|，即|PM|22，(x1)2y22.(2)设P(x，y)，MPN为以MN为斜边的直角三角形，|MP|2|NP|2|MN|2，(x2)2y2(x2)2y216，整理得x2y24.M，N，P不共线，x2，轨迹方程为x2y24(x2)，故选D定义法求轨迹方程如图881所示，已知点C为圆(x)2y24的圆心，点A(，0)P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在的直线上，且0，2 .当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程图881解由(x)2y24知圆心C(，0)，半径r2.0，2，MQAP，点M为AP的中点，因此QM垂直平分线段AP.如图，连接AQ，则|AQ|QP|，|QC|QA|QC|QP|CP|2.又|AC|22，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线由c，a1，得b21，因此点Q的轨迹方程为x2y21.若将本例中的条件“圆C的方程(x)2y24”改为“圆C的方程(x)2y216”，其他条件不变，求点Q的轨迹方程解由(x)2y216知圆心C(，0)，半径r4.0，2 ，QM垂直平分AP，连接AQ，则|AQ|QP|，|QC|QA|QC|QP|r4.根据椭圆定义，点Q的轨迹是以C(，0)，A(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆由c，a2，得b.因此点Q的轨迹方程为1.规律方法定义法求轨迹方程的方法、关键及注意点(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程.(2)关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.跟踪训练(1)若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x5的距离小1，则点M的轨迹方程是()Ax4Bx4Cy28xDy216x(2)已知A(5,0)，B(5,0)，动点P满足|，|，8成等差数列，则点P的轨迹方程为_(1)D(2)1(x4)(1)依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x4的距离，因此点M的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，p8，点M的轨迹的方程为y216x，故选D(2)由已知得|8，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a4，b3，c5，所以点P的轨迹方程为1(x4)相关点(代入)法求轨迹方程(2017全国卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由得x0x，y0y.因为M(x0，y0)在C上，所以1.因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)证明：由题意知F(1,0)设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.规律方法“相关点法”求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1).(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.跟踪训练(2017武汉模