江苏省无锡市江阴四校2018_2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）.docx

江苏省无锡市江阴四校2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题。1.直线的倾斜角的大小为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：因为直角坐标系中，直线斜率为-，倾斜角，选D2.在中，则的大小为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知利用正弦定理，利用大边对大角可求为锐角，即可利用特殊角的三角函数值求解，得到答案【详解】在中，因为，由正弦定理，可得，可得，所以为锐角，故选：B【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题3.点是直线上的动点，点是圆上的动点，则线段长的最小值为（）A. B. 1C. D. 2【答案】A【解析】【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系，即可得到答案【详解】根据题意，圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，则线段长的最小值为；故选：A【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，其中根据圆的性质合理转化求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题4.方程表示圆，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将圆的方程变形为，进而可得，求得实数的取值范围，即可得答案【详解】根据题意，方程变形为，若其表示圆，则有，解得或，即实数的取值范围为；故选：C【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，其中解答中把圆的一般方程与标准方程，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题5.在中，若，则等于（）A. 1B. C. 4D. 【答案】C【解析】因为,故选C6.圆与圆的位置关系（）A. 相交B. 外离C. 内切D. 外切【答案】A【解析】【分析】把两个圆的方程化为标准方程，分别求出圆心和半径，再根据两个圆的圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，可得两个圆的位置关系，得到答案【详解】根据题意，圆，即，表示以为圆心、半径等于4的圆，圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆；两圆的圆心距，可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，故两个圆的位置关系为相交，故选：A【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的判定，其中解答中熟记两圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题7.直线和平面，若与平面都平行，则直线的关系可以是（）A. 相交B. 平行C. 异面D. 以上都有可能【答案】D【解析】【分析】根据是否共面，分类讨论，即可求解，得到答案【详解】若，则，显然可能平行，也可能相交， 若分别在平面两侧，且在平面的射影为相交直线，则异面 故选：D【点睛】本题考查了空间直线与平面的位置关系判定与应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定方法，以及异面直线的定义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题8.在中，角的对边分别是，若，且，则的面积最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由已知及正弦定理可得可得，由余弦定理可得，再由余弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用三角形面积公式，利用二次函数的性质可求最大值【详解】由题意，因为，且，由正弦定理可得：，可得，由余弦定理可得：，可得：，（当时，等号成立），即的面积最大值为3故选：C【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力、转化思想和函数思想的应用，属于中档题二、填空题。9.已知，直线，若，则实数的值为_【答案】1或2【解析】【分析】根据两直线平行的条件，列出方程，即可求解，得到答案【详解】直线，若，则， 解得或， 当时，直线， ， 当时，直线， 故答案为：1或2【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记两直线的位置关系的判定方法，列出满足条件的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题10.在中，已知，那么的面积是_【答案】【解析】试题分析：由余弦定理，得，故的面积.考点：余弦定理11.如图，在三棱锥中，底面，则与底面所成角的正切值_【答案】【解析】【分析】根据条件，得出是与底面所成的角，然后根据直角三角形的边角关系，即可求解线面角的正切值，得到答案【详解】由题意，因为底面，是在底面上的射影，是与底面所成的角，,即与底面所成角的正切值为故答案为：【点睛】本题主要考查直线和平面所成角的求解问题，其中解答中利用线面角的定义确定线面角，再利用直角三角形求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题12.如果平面直角坐标系中的两点关于直线对称，那么直线的方程为_【答案】【解析】试题分析：直线斜率为，所以斜率为，设直线方程为，由已知直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即考点：直线方程13.若圆上有且仅有三个点到直线的距离等于1，则半径的值为_【答案】3【解析】【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系分析可得，计算即可得答案【详解】根据题意，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离，若圆上有且仅有三个点到直线的距离等于1，则，解得，故答案为：3【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，其中解答中合理应用圆的半径与圆心到直线的距离之间的关系，列出相应的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题14.的内角的对边分别为，若，则 _【答案】 【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值，即得B角.【详解】由2bcosBacosCccosA及正弦定理，得2sinBcosBsinAcosCsinCcosA.2sinBcosBsin(AC)又ABC，ACB.2sinBcosBsin(B)sinB.又sinB0，cosB.B.在ABC中，acosCccosAb，条件等式变为2bcosBb，cosB.又0B，B.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.15.如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点，测得塔顶的仰角为，由向塔前进30米后到点，测得塔顶的仰角为，再由向塔前进米后到点后，测得塔顶的仰角为，则塔高为_米【答案】15【解析】【分析】在三角形中由余弦定理得，可求出，最后在中，即可求解，得到答案【详解】由题意，因为，在三角形中由余弦定理得 ，故答案为：15米【点睛】本题主要考查了正、余弦定理解三角形的实际应用问题，其中解答中根据图形，在中，合理应用正弦定理、余弦定理，以及直角三角形的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题16.在平面直角坐标系中，圆的方程为若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：记两个切点为，则由于，因此四边形是正方形，圆标准方程为，于是圆心直线距离不大于，解得.考点：直线和圆的位置关系.三、解答题。17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，分别为与的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）由DP平面PBC，得BCDP，由底面ABCD为矩形，得BCDC，由此能证明BC平面PDC（2）取PD中点G，推导出四边形ABCD为矩形，从而四边形EGCF为平行四边形，进而EFCG，由此能证明EF平面PDC【详解】证明：（1）平面，平面，.又底面为矩形，.，平面，平面.（2）取中点，为的中点，且.又为中点，四边形为矩形，且.故与平行且相等，即四边形为平行四边形，.又平面，平面，平面.【点睛】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查学生的计算能力，是中档题18.在中，角的对边分别是，若（1）求角的值；（2）若的面积，求的值【答案】(1) ;(2) .【解析】分析：（1）利用正弦定理边化角化简得到B的值.(2)先求c的值，再利用余弦定理求b的值.详解：（1）由及正弦定理得：，又，由得，在中，而，.（2）由，得.又，所以.由余弦定理，得，故点睛：（1）本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理的能力.(2)化简三角等式时，一般利用正弦定理和余弦定理实行角化边或边化角，本题的解答就是利用正弦定理边化角，也可以角化边.19.如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上（1）求渔船甲的速度；（2）求的值【答案】（1）14海里/小时 （2）【解析】试题分析：解：（4分）V甲海里/小时 （6分）在中，由正弦定理得（12分）考点：正弦定理，余弦定理点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题。20.如图，在三棱柱中，平面，底面为正三角形，是的中点，是的中点求证：（1）平面；（2）平面【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，根据是的中位线可得，又平面，平面，从而证得平面 （2）由（1）知，故，再由平面，可得，从而证得平面详解】（1）连接交于点，连接，在正三棱柱中， ，侧面是正方形，点是的中点，又点是的中点，故是的中位线，又平面，平面，平面（2）由（1）知，侧面是正方形，又分别为的中点， 在正三棱柱中，是BC的中点，又侧面底面，且侧面底面，底面，平面，又平面，又，平面【点睛】本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，直线和平面平行的判定定理以及直线和平面垂直的判定定理的应用，其中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题21.如图，在平面直角坐标系中，已知圆及点（1）若直线平行于，与圆相交于两点， ，求直线的方程；（2）在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由【答案】（1）或（2）【解析】试题分析：（1）本题实质为直线被圆截得弦长问题，一般方法为利用垂径定理进行转化解决：先根据AB斜率得直线斜率，设直线方程，再根据AB长得弦长，最后根据垂径定理得，根据圆心到直线的距离公式得代入得，解得或，（2）点既在圆上，又满足，因此研究点的个数，实质研究两曲线位置关系，先确定满足的轨迹方程 ，利用直接法得，也为圆，所以根据两圆位置关系可得点的个数试题解析：（1）圆的标准方程为，所以圆心，半径为因为，所以直线的斜率为，设直线的方程为， 2分则圆心到直线的距离为4分因为，而，所以， 6分解得或，故直线的方程为或8分（2）假设圆上存在点，设，则，即，即， 10分因为，12分所以圆与圆相交，所以点个数为14分考点：直线与圆位置关系，圆与圆位置关系【思路点睛】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法：直接根据题目提供的条件列出方程定义法：根据圆、直线等定义列方程几何法：利用圆的几何性质列方程代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等22.如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆两条切线，切点分别为（1）若，求切线所在直线方程；（2）求的最小值；（3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值【答案】（1），；（2）（3）【解析】【分析】（1）设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解；（2）连接交于，利用，结合正余弦可得最值； （3）利用（1）的方法，得到的二次方程