青岛市市南区2016届九年级上期末数学试卷含答案解析.doc

2015-2016学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1如图，在ABC中，C=90，AB=5，BC=3，则sinA的值是（）ABCD2将一个矩形纸片（厚度不计）置于太阳光下，改变纸片的摆放位置和方向，则其留在地面上的影子的形状一定不是（）A三角形B平行四边形C矩形D正方形3抛物线y=x22x+1的顶点坐标是（）A（1，0）B（1，0）C（2，1）D（2，1）4四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：AC=BD；ACBD；AC与BD互相平分；矩形ABCD；菱形ABCD；正方形ABCD，则下列推理成立的是（）ABCD5将抛物线y=（x1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）Ay=（x2）2By=（x2）2+6Cy=x2+6Dy=x26某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点（）A（2a，2b）B（a，2b）C（2b，2a）D（2a，b）7抛物线y=x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x21012y04664从上表可知，下列说法正确的个数是（）抛物线与x轴的一个交点为（2，0）；抛物线与y轴的交点为（0，6）；抛物线的对称轴是x=1；在对称轴左侧y随x增大而增大A1B2C3D48函数y=与y=kx2+k（k0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）ABCD二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9方程x（x+2）=0的根是10一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中不断重复上述过程小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球因此小亮估计口袋中的红球大约有11如图，在ABC中，点D、E分别是AB和AC上的点，DEBC，AD=2BD，SABC=36，则四边形BCED的面积为12在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边若丝绸花边的面积为650cm2，设丝绸花边的宽度xcm，根据题意，可列方程为13如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿直线BE折叠后得到GBE，延长BG交CD于点F，若AB=6，BC=4，则FD的长为14如图，两个反比例函数y=和y=的图象分别是l1和l2设点P在l1上，PCx轴，垂足为C，交l2于点A，PDy轴，垂足为D，交l2于点B，则PAB的面积为三、解答题（共1小题，满分4分）15如图，下列是一个机器零件毛坯和它的主视图，请画出这个机器零件的左视图与俯视图四、解答题（共9小题，满分74分）16（1）解方程：x22x3=0（2）若关于x的方程2x25x+c=0没有实数根，求c的取值范围17小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相同的扇形）做游戏同时转动两个转盘，如果所得颜色能配成紫色，那么小明获胜；如果所得颜色相同，那么小亮获胜，这个游戏对双方是否公平？请说明理由18我市某花卉生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的温室栽培一种在自然光照且温度为18的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，温室内温度y（）随时间x（小时）变化的函数图象，其中DA段所满足的表达式为y=5x+13，BC段是反比例函数图象的一部分，点E是BC段上一点请根据图中信息解答下列问题：（1）写出反比例函数的关系式；（2）恒温系统在这天保持温室内温度18的时间有多少小时？19小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处已知斜坡的坡角为15小华的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45，求楼房AB的高度（计算结果精确到1m）（参考数据：sin15=，cos15=，tan15=）20某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？21如图，在ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，DEAB，AEBC，连接AD，EC（1）求证：ADCECD；（2）若BD=CD，判断四边形ADCE的形状，并说明理由22某旅行社组团去外地考察学习，10人起组团每人单价1200元该旅行社对超过10人的团给予优惠，即考察团每增加一人，每人的单价就降低20元由于条件限制，考察团人数不能超过30人，设考察团人数为x（人）（1）求每人单价y（元），与考察团人数x（人）之间的函数表达式；（2）当考察团人数为多少人时，该旅行社可以获得最大营业额？最大营业额是多少？23数学问题：在151这51个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于51，有多少中不同取法？数学模型：为找到解决上面问题的方法，先建立简单的数学模型进行研究：（1）在15这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，有多少种不同取法？解决问题过程如下： 1 2 3 4 5 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）（4，5） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4）（5，5）第1行有1种取法（1，5）第2行有2种取法（2，4），（2，5）第3行有3种取法（3，3），（3，4），（3，5）第4行有4种取法（4，2），（4，3），（4，4），（4，5）第5行有5种取法（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）共有1+2+3+4+5种取法，因为每次取两个不同的数，所以在这些取法中不包括（3，3），（4，4），（5，5），要从总数中减去这3中取法，并且（4，2）与（2，4），（4，3）与（3，4），（5，1）与（1，5），（5，2）与（2，5），（5，4）与（4，5）是同一种取法，因此共有=6种不同的取法（2）在16这6个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？解决问题过程如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）第1行有1种取法（1，6）第2行有2种取法（2，5），（2，6）第3行有3种取法（3，4），（3，5），（3，6）第4行有4种取法（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）第5行有5种取法（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）第6行有6种取法（6，1），（6，2），（6，3），6，4），（6，5），（6，6）共有1+2+3+4+5+6种取法，因为每次取两个不同的数，所以在这些取法中不包括（4，4），（5，5），（6，6），要从总数中减去这3中取法，并且（4，3）与（3，4），（5，2）与（2，5），（5，3）与（3，5），（5，4）与（4，5），（6，1）与（1，6），（6，2）与（2，6）（6，5）与（5，6）是同一种取法，因此共有=9种不同的取法归纳探究：仿照上述研究问题的思路和解决过程，回答下列提出的问题：（1）在17这7个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于7，共有种不同取法（只填结果）（2）在18这8个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于8，共有种不同取法（只填结果）（3）在1n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，共有种不同取法（只填最简算式）（4）在1n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，共有种不同取法（只填最简算式）类比应用：类比上述研究方法或应用其结论，解决下列提出的问题：（5）各边长都是整数，最大边长为51的三角形有多少个？（直接列出算术，并计算结果）24如图，在矩形OAHC中，OC=4，OA=6，B为CH中点，连接AB动点M从点O出发沿OA边向点A运动；动点N从点A出发沿AB边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM，CN，MN，设运动时间为t（秒）（0t5）解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在MN的垂直平分线上？（2）求CMN的面积S与t之间的函数表达式；（3）当t为何值时，CMN的面积S有最小值？（4）是否存在某一时刻t，使得CMN为直角三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由2015-2016学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1如图，在ABC中，C=90，AB=5，BC=3，则sinA的值是（）ABCD【考点】锐角三角函数的定义【分析】利用正弦函数的定义即可直接求解【解答】解：sinA=故选C2将一个矩形纸片（厚度不计）置于太阳光下，改变纸片的摆放位置和方向，则其留在地面上的影子的形状一定不是（）A三角形B平行四边形C矩形D正方形【考点】平行投影【分析】根据平行投影下平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得到正确的选项【解答】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行则正方形的木板在太阳光下的影子得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形或线段，不可能为三角形故选：A3抛物线y=x22x+1的顶点坐标是（）A（1，0）B（1，0）C（2，1）D（2，1）【考点】二次函数的性质【分析】将原抛物线方程y=x22x+1转化为顶点式方程，然后根据顶点式方程找顶点坐标【解答】解：由原方程，得y=（x1）2，该抛物线的顶点坐标是：（1，0）故选A4四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：AC=BD；ACBD；AC与BD互相平分；矩形ABCD；菱形ABCD；正方形ABCD，则下列推理成立的是（）ABCD【考点】正方形的判定；菱形的判定【分析】由对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案【解答】解：A、对角线相等的矩形不能得到正方形，故错误；B、对角线垂直的菱形是正方形，正确；C、对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，故错误；D、对角线相等且平分的四边形是矩形，但不但能得到菱形，故错误故选B5将抛物线y=（x1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）Ay=（x2）2By=（x2）2+6Cy=x2+6Dy=x2【考点】二次函数图象与几何变换【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可【解答】解：将抛物线y=（x1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y=（x1+1）2+3，即y=x2+3；再向下平移3个单位为：y=x2+33，即y=x2故选D6某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点（）A（2a，2b）B（a，2b）C（2b，2a）D（2a，b）【考点】位似变换；坐标与图形性质【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，位似变换是以原点为位似中心，相似比为1：2【解答】解：根据题意图形易得，两个图形的位似比是1：2，对应点是（2a，2b）故选A7抛物线y=x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x21012y04664从上表可知，下列说法正确的个数是（）抛物线与x轴的一个交点为（2，0）；抛物线与y轴的交点为（0，6）；抛物线的对称轴是x=1；在对称轴左侧y随x增大而增大A1B2C3D4【考点】抛物线与x轴的交点【分析】从表中知道当x=2时，y=0，当x=0时，y=6，由此可以得到抛物线与x轴的一个交点坐标和抛物线与y轴的交点坐标，从表中还知道当x=1和x=2时，y=4，由此可以得到抛物线的对称轴方程，同时也可以得到在对称轴左侧y随x增大而增大【解答】解：从表中知道：当x=2时，y=0，当x=0时，y=6，抛物线与x轴的一个交点为（2，0），抛物线与y轴的交点为（0，6），从表中还知道：当x=1和x=2时，y=4，抛物线的对称轴方程为x=（1+2）=0.5，同时也可以得到在对称轴左侧y随x增大而增大所以正确故选C8函数y=与y=kx2+k（k0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致【解答】解：由解析式y=kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k0，则k0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k0，则k0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k0，则k0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k0，则k0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误故选：B二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9方程x（x+2）=0的根是x1=0，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法【分析】先根据方程得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：x（x+2）=0，x=0，x+2=0，x1=0，x2=2，故答案为：x1=0，x2=210一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中不断重复上述过程小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球因此小亮估计口袋中的红球大约有45【考点】利用频率估计概率【分析】共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球；摸到白球与摸到红球的次数之比为1：9，由此可估计口袋中白球和红球个数之比为1：9；即可计算出红球数【解答】解：小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球，白球与红球的数量之比为1：9，白球有5个，红球有95=45（个），故答案为：4511如图，在ABC中，点D、E分别是AB和AC上的点，DEBC，AD=2BD，SABC=36，则四边形BCED的面积为16【考点】相似三角形的判定与性质【分析】先求出，再求出ADE和ABC相似，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出ADE的面积，再求解即可【解答】解：AD=2BD，=2，=，DEBC，ADEABC，=，SABC=36，四边形BCED的面积=36=16故答案为：1612在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边若丝绸花边的面积为650cm2，设丝绸花边的宽度xcm，根据题意，可列方程为（602x）（40x）=6040650【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】设丝绸花边的宽度为xcm，根据丝绸花边的面积为650cm2，列出方程即可【解答】解：设花边的宽度为xcm，根据题意得：（602x）（40x）=6040650故答案为（602x）（40x）=604065013如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿直线BE折叠后得到GBE，延长BG交CD于点F，若AB=6，BC=4，则FD的长为4【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明EDF和EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出FC、BF，然后在RtBCF中，利用勾股定理列式进行计算即可【解答】解：E是AD的中点，AE=DE，ABE沿BE折叠后得到GBE，AE=EG，AB=BG，ED=EG，在矩形ABCD中，A=D=90，EGF=90，在RtEDF和RtEGF中，RtEDFRtEGF（HL），DF=FG，设DF=x，则BF=6+x，CF=6x，在RtBCF中，（4）2+（6x）2=（6+x）2，解得x=4故答案为：414如图，两个反比例函数y=和y=的图象分别是l1和l2设点P在l1上，PCx轴，垂足为C，交l2于点A，PDy轴，垂足为D，交l2于点B，则PAB的面积为【考点】反比例函数系数k的几何意义【分析】设P的坐标是（a，），推出A的坐标和B的坐标，求出APB=90，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可【解答】解：点P在y=上，|xp|yp|=|k|=1，设P的坐标是（a，）（a为正数），PAx轴，A的横坐标是a，A在y=上，A的坐标是（a，），PBy轴，B的纵坐标是，B在y=上，代入得： =，解得：x=2a，B的坐标是（2a，），PA=|（）|=，PB=|a（2a）|=3a，PAx轴，PBy轴，x轴y轴，PAPB，PAB的面积是： PAPB=3a=故答案为：三、解答题（共1小题，满分4分）15如图，下列是一个机器零件毛坯和它的主视图，请画出这个机器零件的左视图与俯视图【考点】作图-三视图【分析】分别画出从几何体的左边和上面看所得到的图形即可【解答】解：如图所示：四、解答题（共9小题，满分74分）16（1）解方程：x22x3=0（2）若关于x的方程2x25x+c=0没有实数根，求c的取值范围【考点】根的判别式；解一元二次方程-因式分解法【分析】（1）用因式分解法解方程即可（2）由题意0，解不等式即可【解答】解：（1）x22x3=0，（x3）（x+1）=0，x3=0或x+1=0，x1=2，x2=1（2）方程2x25x+c=0没有实数根，0，258c0，c17小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相同的扇形）做游戏同时转动两个转盘，如果所得颜色能配成紫色，那么小明获胜；如果所得颜色相同，那么小亮获胜，这个游戏对双方是否公平？请说明理由【考点】游戏公平性【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得小明获胜与小亮获胜的概率，比较概率大小，即可知是否公平【解答】解：公平画树状图得：共有9种等可能的结果，所得颜色能配成紫色的有2种情况，所得颜色相同的有2种情况，P（小明获胜）=P（小亮获胜）=，这个游戏对双方是公平的18我市某花卉生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的温室栽培一种在自然光照且温度为18的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，温室内温度y（）随时间x（小时）变化的函数图象，其中DA段所满足的表达式为y=5x+13，BC段是反比例函数图象的一部分，点E是BC段上一点请根据图中信息解答下列问题：（1）写出反比例函数的关系式；（2）恒温系统在这天保持温室内温度18的时间有多少小时？【考点】反比例函数的应用【分析】（1）将点E的坐标代入反比例函数的一般形式后即可确定其解析式；（2）将y=18代入求得的反比例函数的解析式后根据图象直接得出大棚温度18的时间；【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y=，E（15，12），k=1512=180，反比例函数的解析式为y=；（2）当y=18时，y=5x+13=18，解得：x=1；当y=18时，x=10，所以恒温系统在这天保持大棚温度18的时间为101=9小时19小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处已知斜坡的坡角为15小华的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45，求楼房AB的高度（计算结果精确到1m）（参考数据：sin15=，cos15=，tan15=）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】作DHAB于H，根据余弦的定义求出BC，根据正弦的定义求出CD，结合题意计算即可【解答】解：作DHAB于H，DBC=15，BD=20，BC=BDcosDBC=20=19.2，CD=BDsinDBC=20=5，由题意得，四边形ECBF和四边形CDHB是矩形，EF=BC=19.2，BH=CD=5，AEF=45，AF=EF=19.2，AB=AF+FH+HB=19.2+1.6+5=25.826m，答：楼房AB的高度约为26m20某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【考点】一元二次方程的应用【分析】（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用原每平方米销售价格（1每次下调的百分率）2=经过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可；（2）求出先下调5%，再下调15%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比较，即可求解【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率是x，根据题意列方程得，7000（1x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为10%（2）（15%）（115%）=95%85%=80.75%，（1x）2=（110%）2=81%80.75%81%，房产销售经理的方案对购房者更优惠21如图，在ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，DEAB，AEBC，连接AD，EC（1）求证：ADCECD；（2）若BD=CD，判断四边形ADCE的形状，并说明理由【考点】全等三角形的判定与性质【分析】（1）利用SAS证得ACDECD；（2）当点D是BC中点时，四边形ADCE是矩形；首先证得四边形ADCE是平行四边形，然后证得ADBC即可利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定矩形【解答】证明：（1）ABDE，AEBC，四边形ABDE是平行四边形，AB=DE，AB=AC，AC=DE，ABDE，B=EDC，AB=AC，B=ACD，EDC=ACD，在ACD与ECD中，ACDECD（SAS），AD=EC；（2）当BD=CD时，四边形ADCE是矩形理由如下：AB=AC，点D是BC中点，BD=DC，ADBC，由平移性质可知 四边形ABDE是平行四边形，AE=BD，AEBD，AE=DC，AEDC，四边形ADCE是平行四边形，ADBC，四边形ADCE是矩形22某旅行社组团去外地考察学习，10人起组团每人单价1200元该旅行社对超过10人的团给予优惠，即考察团每增加一人，每人的单价就降低20元由于条件限制，考察团人数不能超过30人，设考察团人数为x（人）（1）求每人单价y（元），与考察团人数x（人）之间的函数表达式；（2）当考察团人数为多少人时，该旅行社可以获得最大营业额？最大营业额是多少？【考点】二次函数的应用【分析】（1）当0x10时，每人单价为1200元；当10x30时，根据每人单价=原定每人单价因人数增减而减少的价格，可列函数关系；（2）根据营业额=每人单价人数，分别列出0x10、10x30的函数关系式，求出相应范围内的最值，比较可得【解答】解：（1）当0x10时，y=1200；当10x30时，y=120020（x10）=20x+1400；故y与x间的函数关系式为：y=（2）设旅行社可以获的营业额为W元，当0x10时，W=1200x；W随x的增大而增大，当x=10时，W取得最大值，最大值为12000元；当10x30时，W=（20x+1400）x=20x2+1400x=20（x35）2+24500，x35时，W随x的增大而增大，当x=30时，W取得最大值，最大值为W=20（3035）2+24500=24000元，综上，当x=30时，W取得最大值24000元答：当考察团人数为30人时，该旅行社可以获得最大营业额，最大营业额是24000元23数学问题：在151这51个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于51，有多少中不同取法？数学模型：为找到解决上面问题的方法，先建立简单的数学模型进行研究：（1）在15这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，有多少种不同取法？解决问题过程如下： 1 2 3 4 5 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）（4，5） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4）（5，5）第1行有1种取法（1，5）第2行有2种取法（2，4），（2，5）第3行有3种取法（3，3），（3，4），（3，5）第4行有4种取法（4，2），（4，3），（4，4），（4，5）第5行有5种取法（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）共有1+2+3+4+5种取法，因为每次取两个不同的数，所以在这些取法中不包括（3，3），（4，4），（5，5），要从总数中减去这3中取法，并且（4，2）与（2，4），（4，3）与（3，4），（5，1）与（1，5），（5，2）与（2，5），（5，4）与（4，5）是同一种取法，因此共有=6种不同的取法（2）在16这6个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？解决问题过程如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）第1行有1种取法（1，6）第2行有2种取法（2，5），（2，6）第3行有3种取法（3，4），（3，5），（3，6）第4行有4种取法（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）第5行有5种取法（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）第6行有6种取法（6，1），（6，2），（6，3），6，4），（6，5），（6，6）共有1+2+3+4+5+6种取法，因为每次取两个不同的数，所以在这些取法中不包括（4，4），（5，5），（6，6），要从总数中减去这3中取法，并且（4，3）与（3，4），（5，2）与（2，5），（5，3）与（3，5），（5，4）与（4，5），（6，1）与（1，6），（6，2）与（2，6）（6，5）与（5，6）是同一种取法，因此共有=9种不同的取法归纳探究：仿照上述研究问题的思路和解决过程，回答下列提出的问题：（1）在17这7个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于7，共有12种不同取法（只填结果）（2）在18这8个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于8，共有16种不同取法（只填结果）（3）在1n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，共有种不同取法（只填最简算式）（4）在1n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，共有种不同取法（只填最简算式）类比应用：类比上述研究方法或应用其结论，解决下列提出的问题：（5）各边长都是整数，最大边长为51的三角形有多少个？（直接列出算术，并计算结果）【考点】列表法与树状图法【分析】（1）根据15这5个自然数中，每次取两个不同的数相同方法列式计算可得；（2）根据16这6个自然数中，每次取两个不同的数相同方法列式计算可得；（3）n为奇数时可类比在15这5个自然数中，每次取两个不同的数相同方法列式化简可得；（4）n为偶数时可类比在16这6个自然数中，每次取两个不同的数相同方法列式化简可得；（5）根据三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则各边长都是整数，最大边长为51的三角形的个数是n为奇数时的取法再加上两边相等的种取法，列式计算可得【解答】解：（1）在17这7个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于7，共有=12种不同取