高三物理09A_圆周运动、向心加速度、向心力 知识点解析、解题方法、考点突破、例题分析、达标测试.doc

【本讲主要内容】圆周运动、向心加速度、向心力描述圆周运动的量间的关系，实际圆周运动问题中的向心力分析。【知识掌握】【知识点精析】1、匀速圆周运动的特点如果质点沿圆周运动，在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动叫匀速圆周运动。匀速圆周运动的轨迹为曲线，v方向时刻在变，快慢程度不改变，是变速运动，做匀速圆周运动的物体状态是非平衡态，所受合外力不为零，是变加速运动（a方向时刻在变）。 2、描述圆周运动的物理量（1）线速度：线速度大小又叫速率，用表示，S为弧长，为通过这段弧长的时间，速率越大则沿弧运动得越快。线速度的方向为圆的切线方向。线速度就是圆周运动的瞬时速度。（2）角速度：连接质点和圆心的半径转过的角度，与所用时间的比叫角速度。的单位是弧度，时间单位是秒，的单位就是弧度/秒，用字母表示为，角速度的大小描述了做圆周运动绕圆心转动快慢程度。角速度大则绕圆心转得快。对一个不变形的物体转动中任何点转过的角度都相同，所以角速度都相同。（3）周期：使圆周运动的物体运动一周的时间叫周期，用字母T表示，单位为秒。周期描述圆周运动重复的快慢，也反映了转动快慢。周期越小，转动越快。（4）频率：1秒内完成圆周运动的次数叫频率。它是周期的倒数，单位是1/秒。用符号表示，单位又叫赫兹（），越大，转动就越快。（5）转速：工程技术中常用。定义为每秒转过的圈数，数值与频率相同，单位也是1/秒。（6）的关系： T = 1/f = 2/ = 2r/v = 2/T = 2f = v/r v = r = 2r/T = 2fr 例1、地球自转的问题 讨论1：比较在北京和在赤道两处物体随地球做自转的角速度。地球表面上的物体随地球做匀速圆周运动的角速度都相同。由于地球自转周期为T24h，故可求得地球自转角速度7.3rads讨论2：比较在北京和在赤道两处物体随地球自转的线速度。当角速度一定时，赤道处转动半径最大，故线速度最大，随着纬度增大，转动半径减小，线速度减小，设地球半径为，则在纬度为时的线速度为。例2、传动装置的问题抓住：凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点，角速度相等（轴上的点除外）。3、向心加速度： （1）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。 （2）大小：a向= v2/r= v= 2r= （42/T2）r= 42f2r 注意：a与r是成正比还是反比要看前提条件。例1、如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。解：va= vc，ab=21，而b=c=d ，所以abcd =2111；而vbvcvd =124，所以vavbvcvd =2124；再利用a=v，可得aaabacad=4124 （3）方向：总是指向圆心，方向时刻在变化。 4、向心力： （1）作用：用于产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。向心力不做功。 小结：与速度方向垂直的力只改变速度的方向，平行速度方向的力只改变速度的大小。 （2）大小：F向= ma向= mv2/r = mv=m2r =m （42/T2）r = m（42f2）r （3）方向：总沿半径指向圆心。5、匀速圆周运动条件：物体所受的合力完全充当匀速圆周运动的向心力。当物体做匀速圆周运动，外力或几个外力的合力大小方向总指向圆心，就是做匀速圆周运动所需要的力恰好与合外力相等。如果沿半径方向的合外力大于做圆周运动所需的向心力，物体将做向心运动，半径将减小；如果沿半径方向的合外力小于做圆周运动所需的向心力，物体将做离心运动，半径将增大。注意：向心力是效果力，而非独立性质的力。任何一个力或几个力的合力只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力；不能认为做匀速圆周运动的物体除了受到另外物体的作用外，还要另外受到向心力。例： 带电粒子垂直射入匀强磁场做匀速圆周运动F向=f洛 电子绕原子核旋转 F向=F库天体运转：F向=F引 水平转盘上跟着匀速转动的物体 F向=f静。 绳（弹簧）拉小球在光滑水平面匀速转动 F向=T（F向=f弹） 圆锥摆：F向=F合（重力和弹力的合力）6、非匀速圆周运动： 线速度大小有变化，因而物体所受合力产生切向加速度和向心加速度两个效果，可利用圆周运动的向心力公式解某瞬时的情况。7、解题方法： （1）确定物体匀速圆周运动的轨道平面、圆心的位置及圆周运动的半径；（2）分析受力：当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。 （3）表达物体所受的合力（沿半径方向）； （4）列合力充当向心力的方程。做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：Fn=man在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力（可选用等各种形式）。8、典型问题：（1）火车转弯火车左右两侧的车轮分别沿铁轨运动，沿直线运动时，两条钢轨位于同一水平面内以防侧倾倒。而当火车转弯时，有向心加速度需要向心力，为此使钢轨不在一个平面内，外侧高而内侧低，本身不再是竖直的但能顺利转弯而不发生侧倾，否则车辆不能受到外力，要做离心运动，发生倾覆。见下图，列车转弯时，靠近圆心一侧为内侧，另一侧为外侧，相应为内轨、外轨，与列车前进方向无关。取水平面内转弯半径为r，内外轨距为d，内外轨高度差为h。转弯时竖直截面见图，由于转弯在水平面内转弯半径为水平方向，向心加速度为水平方向。列车受力有重力，竖直向下，路轨支持力FN方向与双轨连线垂直，这两个力的合力做向心力，沿水平方向为F心。两轨道连线倾角为，而 为转弯时速率 转弯时速率为则外力的合力恰好等于向心力，若则外力的合力小于向心力，要做离心运动火车向外侧翻倒，滑动，火车对外侧轨道有沿转弯半径向外的压力，火车向外侧推轨道。当则合外力大于向心力，要做近心运动，火车对内侧轨道有沿转弯半径向圆心方向的压力，即火车对内轨有向圆心方向的推力。火车提速，转弯半径r不改变则内外轨道高差h要增加，不然火车转弯有危险。（2）竖直圆：如图，没有物体支撑的小球（绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力，或轨道对小球只能产生指向圆心的弹力），在竖直平面内做圆周运动过最高点时的情况。 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用，即重力提供小球做圆周运动的向心力，故，所以。小球能过最高点的条件：，当时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。不能过最高点的条件：（实际上球还没有到达最高点就脱离了轨道）。物体支撑小球（杆，管壁）：如图所示，因杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，所以小球能过最高点的条件是。当时，（为支持力）。当，随着v的增大而减小，且，为支持力。当时，（既没有拉力，也没有支持力）。当时，为拉力，随着v的增大而增大。如图所示，因轨道对球只能产生支持力，所以要使小球脱离轨道做平抛运动，小球最高点的速度必须符合：。【解题方法指导】本单元知识应用的过程中，常犯的错误主要表现在：对物体做圆周运动时的受力情况不能做出正确的分析，特别是物体在水平面内做圆周运动，静摩擦力参与提供向心力的情况；对牛顿运动定律、圆周运动的规律及机械能守恒定律等知识内容不能综合地灵活应用，如对于被绳（或杆、轨道）束缚的物体在竖直面的圆周运动问题，由于涉及到多方面知识的综合，表现出解答问题时顾此失彼。例题1、如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1=35cm，小齿轮的半径R2=4.0cm，大齿轮的半径R3=10.0cm。求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比。（假定摩擦小轮与自行车车轮之间无相对滑动）解析：该题要求理解圆周运动中线速度、角速度和向心加速度的关系，又要理解和掌握同一轮子上的不同点在转动时角速度相等；用同一条皮带相连的两个轮子，当皮带不打滑时，这两个轮子与皮带相连的边缘点的线速度大小相等。大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度大小相等，由v=2nr可知转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮间和轮轴的原理相同，两轮上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n1n2=2175。例题2、汽车与路面之间的动摩擦因数，转弯处弯道半径为，取。（1）若路面铺成水平的，汽车转弯时速度不能超过多大？（2）若路面铺成外侧高内侧低的坡面，倾角为，汽车以多大速度转弯，与路面无摩擦。解析：路面是水平的，汽车转弯，向心力沿水平方向。摩擦力做向心力，速度最大摩擦也最大。 若弯路是坡面，且车与路面无侧向摩擦力则 【考点突破】【考点指要】匀速圆周运动是曲线运动中最简单、最基本的一种运动，它的知识在以后的学习中经常应用，在历年的高考中也经常考查到，所以它不仅是学生学习的重点和难点，也是高考的热点，2005年北京理综23题、2004年全国理综20题均就本知识点出题，天体运动、电磁场中的圆周运动是近期出题的方向。解决圆周运动问题，一要把握线量和角量的联系，二要建立所需要的向心力与实际提供向心力的力间的联系。竖直圆周运动过程的求解通常结合能量知识，求解向心力问题认清轨道平面和中心，正确分析受力是解题成功的保证。【典型例题分析】例题1、如图为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则（ ）A. a点与b点的线速度大小相等B. a点与b点的角速度大小相等C. a点与c点的线速度大小相等D. a点与d点的向心加速度大小相等解析：皮带不打滑，故a、c两点线速度相等，选C；c点、b点在同一轮轴上角速度相等，半径不同，由，b点与c点线速度不相等，故a与b线速度不等，A错；同样可判定a与c角速度不同，即a与b角速度不同，B错；设a点的线速度为，则a点向心加速度，由，所以，故，D正确。本题正确答案C、D。点评：处理皮带问题的要点为：皮带（链条）上各点以及两轮边缘上各点的线速度大小相等，同一轮上各点的角速度相同。例题2、如图所示，杆长为，球的质量为，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为，求这时小球的瞬时速度大小。解析：小球所需向心力向下，本题中，所以弹力的方向可能向上也可能向下。（1）若F向上，则，；（2）若F向下，则，点评：本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速度。【达标测试】1、如图锥形圆筒内壁是光滑的，壁上有两个小球，它们的质量相同，各自在不同的水平面内做匀速圆周运动，可以判定，它们的线速度_；角速度_；向心加速度_；它们对筒壁的压力_。（填大于，小于或等于）。2、图中，M、N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，内筒半径比R小的多，可以忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空。两筒以相同的角速度绕其中心轴线（图中垂直于纸面）做匀速转动。设从M筒内部可以通过窄缝S（与M筒的轴线平行）不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从S处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上。如果R、v1和v2都不变，而取某一合适的值则（ ） A. 有可能使微粒落在筒上的位置都在处一条与缝平行的窄条上 B. 有可能使微粒落在筒上的位置都在某一处如处一条与缝平行的窄条上 C. 有可能使微粒落在筒上的位置分别在某处如处和处与缝平行的窄条上D. 只要时间足够长，筒上将到处都有微粒3、如图，水平转盘上放有质量为m的物体，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的倍。求：（1）当转盘的角速度时，细绳的拉力。（2）当转盘的角速度时，细绳的拉力。4、如图，细绳一端系着质量为的物体，静止于水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量为的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M与水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面在绕中心轴转动，问角速度在什么范围m会处于静止状态？（）5、如图，轻绳下系一质量为1千克的小桶，桶底放一质量为0.5千克的木块，现在使小桶在竖直平面内做半径厘米的圆周运动，若小桶通过圆弧最低点的速度为，求： （1）木块对桶底的压力？ （2）木块所受的合力？（3）绳子所受的拉力？6、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足关系式是_。7、质量为和的小球分别固定在长为的轻杆两端，轻杆绕过中点的水平轴匀速转动。若轻杆转动中对轴的作用力最小为零，求对轴作用力的最大值。8、如图，露天娱乐场空中列车是由许多完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为（），R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆环前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆环轨道（车厢间的距离不计）？ 9、一只半球壳半径为，截口水平，现有一物体，质量为，位于半球面内侧，随半球面一起绕对称轴转动，如图。 （1）若与球面间摩擦系数为，则物体刚好能贴在截口附近，这时角速度多大？ （2）若不考虑摩擦，则当球壳以上述角速度转动时，物体位于球面内侧的何处？10、质量为的小球用两根长度约为的细绳拴住，两细绳的另一端系在一根竖直杆的两点上，两点相距为，如图。当竖直杆以角速度绕自己的轴转动并达到稳定时（细绳与杆在同一竖直平面内），问： （1）细绳的拉力各多大？ （2）当时，绳上的拉力各多大？【综合测试】1、下列说法正确的是A. 匀速圆周运动是一种匀速运动B. 匀速圆周运动是一种匀变速运动C. 匀速圆周运动是一种变加速运动D. 因为物体做圆周运动才产生向心力2、质点做匀速圆周运动时，哪些是不变的A. 速率 B. 速度 C. 角速度 D. 加速度3、在地球表面上取这样几个点：北极A点，赤道上B点，AB弧线的中点C，过C点的纬线上取一点D，如图所示，则A. B、C、D各点的角速度相同B. C、D两点的线速度大小相等C. B、C两点的向心加速度大小相等D. C、D两点的向心加速度大小相等4、如图，物体A放在粗糙板上随板一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，且板始终保持水平，位置、在同一水平高度上，则A. 物体在位置、时受到的弹力都大于重力B. 物体在位置、时受到的弹力都小于重力C. 物体在位置时受到的弹力大于重力，在位置时受到的弹力小于重力D. 物体在位置时受到的弹力小于重力，在位置时受到的弹力大于重力5、如图，在竖直平面内表演“水流星”的节目时，若两杯水（包括水）的质量均为m，杯子做匀速圆周运动，设在最高点的A杯受水的压力为水重的0.5倍，B杯中水对杯底的压力为水重的A. 1倍 B. 1.5倍 C. 2倍 D.2 .5倍6、如图为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在转动过程中，皮带不打滑，则A. a点与b点的线速度大小相等B. a点与b点的角速度大小相等C. a点与c点的线速度大小相等D. a点与d点的向心加速度大小相等7、如图，A、B、C三只小球的质量均为m，拴住它们的绳端被固定在光滑的水平桌面O处，绳段长OA=AB=BC=L，当它们以角速度做匀速圆周运动时，三段绳中的拉力分别为TOA=_，TAB=_，TBC=_。（球的大小忽略不计）8、如图，雨伞边缘到伞柄的距离为r，伞边缘距地面高度为h，当雨伞以角速度绕伞柄匀速转动时，许多雨滴从伞边缘水平甩出，求这些雨滴落到地面的位置。（不计空气阻力）9、如图，位于竖直平面上的圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，圆弧轨道上端A点距地面高度为H，质量为m的小球从A点静止释放，最后落在地面C点处，不计空气阻力，求：（1）小球刚运动到B点时，对轨道的压力多大？（2）小球落地点C与B的水平距离s为多少？（3）比值R/H为多少时，小球落地点C与B水平距离s最远？该水平距离的最大值是多少？10、如图所示，在一根长为L的不计质量的细棒中点和末端各连一质量为m的小球，棒可以在竖直平面内绕固定点A转动，将棒拉至某位置后释放，末端C球摆到最低点时，棒BC端受到的拉力刚好等于球重的2倍，求： （1）C球通过最低点时，速度大小是多少？（2）此时棒AB端受到的拉力是多大？11、如图所示，高为h竖直圆筒内壁光滑，半径为R，顶部有入口A，在A的正下方处有出口B，一质量为m的小球自入口A沿切线方向水平射入圆筒内，要使球从B处飞出，小球进入入口A的速度应满足什么条件?在运动过程中，球对筒压力多大? 12、如图所示，在光滑水平面上固定相距40cm的两个钉子A和B，长1m的细绳一端系着质量为0.4kg的小球，另一端固定在钉子A上，开始时小球和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2m/s的速率，在水平面上做匀速圆周运动，若细绳能够承受最大拉力为4N，那么从开始到细绳断开所经历的时间是多少？【达标测试答案】1、2、解析：答案是 ABC 由于两筒是同轴匀速转动，它们的角速度相同，而从筒射出的微粒只具有沿半径方向的速度，当微粒运动的距离为时所需时间为 在这段时间里，若是两筒转过的角度为（是一段弧长对应的角度）则 若（1）式，其中无论取还是，落在筒上的位置都在处一条与缝平行的窄条上； 若（1）式，落在筒上的位置都在某一处如处一条与缝平行的窄条上； 若（1）式，对应不同的不同。 则微粒落在筒上的位置分别为在某两处如处和处与缝平行的窄条上。3、解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为，则，解得。（1）因为，所以物体所需向心力小于物与盘间的最大摩擦力，则物与盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即。（2）因为，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力，由牛顿第二定律得解得。4、解析：要使m静止，M应与平面相对静止，考虑能与水平面相对静止的两个临界状态。当为所求范围的最小值时，M有向圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N，此时对M有且代入数据解得当为所求范围的最大值时，M有远离圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力方向指向圆心，且大小也为2N，此时有代入数据解得。故所求的范围为5、解析：（1）以木块为研究对象，在最低点，木块受重力，桶给木块的支持力为 则 代入数据 木块给桶的压力 （2）木块所受合力。 （3）绳子所受拉力 6、解析：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图。A球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有同理m2在最高点有m2球由最高点到最低点机械能守恒由式（1）（4）解得。7、解析：的球在最高点，的球最低点，对轴的作用力，的球在最低点，对轴作用力是最大值。由题设知F最小为零 F最大值 8、解析：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满环时的速度最小。设运行过程中列车的最小速度为v，列车质量为m，则轨道上的那部分车的质量为。由机械能守恒定律得由圆周运动规律可知，列车的最小速率，联立解得。 9、解析：物体在截口附近受（竖直方向）， 水平方向，只有球壳对的支持力。 当时， 时，才会离开最低点，现在，物体已经离开了最低点。 将（1）、（2）两式比较得：10、解析：不同时，绳上的拉力不同，所以要讨论以下几种情况： （1）当刚伸直，但时，