2019_2020学年高中数学课时达标训练（三）正、余弦定理在实际问题中的应用（含解析）新人教A版必修5.doc

教学资料范本2019_2020学年高中数学课时达标训练（三）正、余弦定理在实际问题中的应用（含解析）新人教A版必修5编 辑：_时 间：_课时达标训练(三)正、余弦定理在实际问题中的计算即时达标对点练题组1测量距离问题1甲骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A6 kmB3 kmC3 km D3 km解析：选C由题意知，AB246 km，BAS30，ASB753045.由正弦定理，得BS3.2 如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度为_m.解析：在ABC中，CAB30，CBA75，ACB75.ACBABC.ACAB120(m)如图，作CDAB，垂足为D，则CD即为河的宽度由正弦定理得，即，CD60(m)河的宽度为60 m.答案：603.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM100米和BN200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30，该测量车向北偏西60方向行驶了100米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA，经测量tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离解：在RtAMP中，APM30，AM100，PM100，连接QM，在PQM中，QPM60，PQ100，PQM为等边三角形，QM100.在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200.在RtBNQ中，tan 2，BN200，BQ100，cos .在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos (100)2，BA100.故两发射塔项A，B之间的距离是100米题组2测量高度问题4设甲、乙两楼相距10 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的仰角为30，则甲、乙两楼的高分别是()A. m， m B10 m,20 mC10()m,20 m D10 m， m解析：选D设甲、乙两楼分别为AB，CD，如图，由题意可知BC10，ACB60，DAE30.tanACB，AB10.由AEBC10，tanDAE，得DE，CDCEDEABDE.故选D.5.在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4，则该山峰的高度为()A200 mB300 mC400 mD100m解析：选B法一：如图，BED，BDC为等腰三角形，BDED600，BCDC200.在BCD中，由余弦定理可得cos 2，230，460.在RtABC中，ABBCsin 4200300，故选B.法二：由于BCD是等腰三角形，BDDCcos 2，即300200cos 2.cos 2，230，460.在RtABC中，ABBCsin 4200300，故选B.6 如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45和30，且CBD30，求塔高AB.解：在RtABC中，ACB45，若设ABh，则BC h；在RtABD中，ADB30，则BD h. 在BCD中，由余弦定理可得CD2BC2BD22BCBDcosCBD，即2002h2(h)22hh，所以h22002，解得h200(h200舍去)，即塔高AB200米题组三测量角度问题7.如图所示，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等于()A30 B45C60 D75解析：选B依题意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.8学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖D的仰角为45，乙同学在B地测得树尖D的仰角为30，量得ABAC10 m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则ACB_.解析：如图所示，在RtACD中，AC10，DAC45，DC10.在RtDCB中，DBC30，BC10.在ABC中，cosACB，ACB30.答案：309 如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20 海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，求cos 的值解：在 ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.BAC120，则ACB为锐角，cos ACB.cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.能力提升综合练1某人在C点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东 40方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为()A15 mB5 mC10 mD .12 m解析：选C如图，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45，则OCOAh.在RtAOD中，ADO30，则ODh.在OCD中，OCD120，CD10，由余弦定理得OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos 120，h25h500，解得h10或h5(舍)2要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是()A100 m B400 m C200 m D500 m解析：选D由题意画出示意图，设高ABh，在RtABC中，由已知BCh，在RtABD中，由已知BDh，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD得，3h2h25002h500，解得h500 m.3如图，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10 海里，则乙船每小时航行()A10 海里 B20 海里C30 海里 D30 海里解析：选D如图，连接A1B2，在A1A2B2中，易知A1A2B260，又易求得A1A23010A2B2，A1A2B2为正三角形，A1B210.在A1B1B2中，易知B1A1B245，B1B40020022010200，B1B210，乙船每小时航行30海里4.如图，某山上原有一条笔直的山路BC，现在新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，测得ABC120，从B处攀登400米后到达D处，再看索道AC，测得ADC150，从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为_米解析：在ABD中，BD400，ABD120.ADB180ADC30，DAB30，ABBD400，AD400.在ADC中，DC800，ADC150，AC2AD2DC22ADDCcosADC(400)280022400800cos 150400213，AC400.故索道AC的长为400米答案：4005某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60方向航行30 n mile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为_n mile.解析：如图所示，B是灯塔，A 是船的初始位置，C是船航行后的位置，则BCAD，DAB30，DAC60，则在RtACD中 ，DCACsin DAC30sin 6015 n mile，ADACcos DAC30cos 6015 n mile，则在RtADB中，DBADtan DAB15tan 305 n mile，则BCDCDB15510 n mile.答案：106某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M 站行驶公路的走向是M站的北偏东40.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处在ABC中，AC31，BC20，AB21，由余弦定理得cos C，则sin2C1cos2C，sin C，所以sin MACsin(120C)sin 120cos Ccos 120sin C.在MAC中，由正弦定理，得MC35.从而有MBMCBC15.故汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站7在以v km/h的速度向东航行的科学探测船上释放了一个探测热气球，热气球顺风与船同向，以2 km/h的速度沿与水平方向成60直线方向向上飘去，2 h后测得探测船与热气球的距离为2 km，之后热气球沿水平方向仍以2 km/h的速度飞行1 h，第二次测得探测船与热气球的距离为s km.(1)求探测船的速度v(km/h)；(2)求第二次测距离时，从探测船位置观察热气球时仰角的正弦值解：(1)如图所示由题意，在ABC中，AB4，BC2v，ABC60，AC2.根