线代习题答案(4).doc

习题四1. 用消元法解下列方程组.(1) (2) 【解】(1) 得所以(2) 解-2得 x2-2x3=0- 得 2x3=4得同解方程组由得 x3=2,由得 x2=2x3=4,由得 x1=2-2x3 -2x2 = -10,得 (x1,x2,x3)T=(-10,4,2)T.2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.(1) (2) (3) (4) 【解】(1) 得同解方程组得基础解系为.(2) 系数矩阵为 其基础解系含有个解向量.基础解系为(3) 得同解方程组取得基础解系为(-2，0，1，0，0)T,(-1，-1，0，1，0).(4) 方程的系数矩阵为 基础解系所含解向量为n-R(A)=5-2=3个取为自由未知量 得基础解系 3. 解下列非齐次线性方程组.(1) (2) (3) (4) 【解】（1） 方程组的增广矩阵为得同解方程组(2) 方程组的增广矩阵为得同解方程组即令得非齐次线性方程组的特解xT=(0，1，0，0)T.又分别取得其导出组的基础解系为 方程组的解为(3) 方程组无解.(4) 方程组的增广矩阵为分别令得其导出组的解为令,得非齐次线性方程组的特解为：xT=(-16,23,0,0,0)T, 方程组的解为其中为任意常数.4. 某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.车间消耗系数车间123出厂产量（万元）总产量（万元）10.10.20.4522x120.20.20.30x230.500.1255.6x3表中第一列消耗系数0.1,0.2,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.解：根据表中数据列方程组有即 解之 5. 取何值时，方程组(1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解.【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为|A|=.(1) 当1且-2时，|A|0，R(A)=R(B)=3. 方程组有惟一解（2） 当=-2时，R(A)R(B), 方程组无解.(3) 当=1时R(A)=R(B)3,方程组有无穷解.得同解方程组 得通解为6. 齐次方程组当取何值时，才可能有非零解?并求解.【解】方程组的系数矩阵为|A|=当|A|=0即=4或=-1时，方程组有非零解.(i) 当=4时,得同解方程组(ii) 当=-1时,得 ()T=k(-2,-3,1)T.kR7. 当a,b取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解？在有解时，求出其解.（1） (2) 【解】方程组的增广矩阵为(1) (i) 当b-52时,方程组有惟一解(ii) 当b=-52,a-1时，方程组无解.(iii) 当b=-52，a=-1时，方程组有无穷解.得同解方程组 (*)其导出组的解为非齐次线性方程组（*）的特解为取x4=1, 原方程组的解为 (2) (i) 当a-10时，R(A)=R()=4,方程组有惟一解.(ii) 当a-1=0时,b-1时，方程组R(A)=2R()=3, 此时方程组无解.(iii) 当a=1，b= -1时，方程组有无穷解.得同解方程组取 得方程组的解为8. 设，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0.【解】设B=(b1 b2 b3),其中bi(i=1,2,3)为列向量,由为Ax=0的解.求=0的解.由得同解方程组 其解为取则9.已知是三元非齐次线性方程组Ax=b的解，且R(A)=1及求方程组Ax=b的通解.【解】Ax=b为三元非齐次线性方程组R(A)=1Ax=0的基础解系中含有3-R(A)=3-1=2个解向量.由为Ax=b的解为Ax=0的解,且线性无关为Ax=0的基础解系.又 方程组Ax=b的解为10. 求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成.(1) (2) 【解】(1) 设齐次线性方程组为Ax=0由为Ax=0的基础解系，可知令 k1=x2 , k2=x3Ax=0即为x1+2x2-3x3=0.(2) A()=0A的行向量为方程组为的解.即的解为得基础解系为=(-5 -1 1 1 0)T =(-1 -1 1 0 1)TA=方程为11. 设向量组=（1，0，2，3），=（1，1，3，5），=（1，-1，a+2，1），=（1，2，4，a+8），=（1，1，b+3，5）问：（1） a，b为何值时，不能由，线性表出？（2） a，b为何值时，可由， 惟一地线性表出？并写出该表出式.（3） a，b为何值时，可由，线性表出，且该表出不惟一？并写出该表出式.【解】 (*)(1) 不能由，线性表出方程组（*）无解,即a+1=0,且b0.即a=-1,且b0.(2) 可由，惟一地线性表出方程组(*)有惟一解，即a+10，即a-1.(*) 等价于方程组(3) 可由，线性表出，且表出不惟一方程组（*）有无数解，即有a+1=0,b=0a=-1,b=0.方程组（*）为常数.12. 证明：线性方程组有解的充要条件是.【解】方程组有解的充要条件，即R(A)=4=R(A)得证.13. 设是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明（1）线性无关；（2）线性无关.【 证明】(1) 线性无关成立,当且仅当ki=0(i=1,2,n-r),k=0为Ax=0的基础解系由于.由于为线性无关线性无关.(2) 证线性无关.成立当且仅当ki=0(i=1,2,n-r),且k=0即由(1)可知，线性无关.即有ki=0(i=1,2,n-r),且线性无关.14. 设有下列线性方程组（）和()（） () (1) 求方程组（）的通解；(2) 当方程组（）中的参数m,n,t为何值时，（）与()同解？ 解：（1）对方程组（）的增广矩阵进行行初等变换由此可知系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，故有解.由方程组 （*）得方程组（*）的基础解系令，得方程组（）的特解 于是方程组（）的通解为，k为任意常数