【高考前三个月复习数学理科 概率与统计】第38练

专题8概率与统计 第38练概率的两类模型 题型分析 高考展望 概率是高中数学的重要内容 也是高考的必考知识点 在高考中 概率部分的命题主要有三个方面的特点 一是以古典概型的概率公式为考查对象 二是以几何概型的概率公式为考查对象 三是古典概型与其他知识相交汇 题目多以选择题或填空题的形式出现 常考题型精析 高考题型精练 题型一古典概型问题 题型二几何概型问题 常考题型精析 题型一古典概型问题 例1 1 2015 课标全国 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长 则称这3个数为一组勾股数 从1 2 3 4 5中任取3个不同的数 则这3个数构成一组勾股数的概率为 解析从1 2 3 4 5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5 其中勾股数只有 3 4 5 答案C 2 某班级的某一小组有6位学生 其中4位男生 2位女生 现从中选取2位学生参加班级志愿者小组 求下列事件的概率 选取的2位学生都是男生 解设4位男生的编号分别为1 2 3 4 2位女生的编号分别为5 6 从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 3 2 4 2 5 2 6 3 4 3 5 3 6 4 5 4 6 5 6 共15种 从6位学生中任取2位学生 所取的2位全是男生的方法数 即从4位男生中任取2个的方法数 共有6种 即 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 选取的2位学生一位是男生 另一位是女生 解从6位学生中任取2位 其中一位是男生 而另一位是女生 其取法包括 1 5 1 6 2 5 2 6 3 5 3 6 4 5 4 6 共8种 点评求解古典概型问题的三个步骤 1 判断本次试验的结果是不是等可能的 设出所求事件A 2 分别计算基本事件的总数n和所求事件A所包含的基本事件的个数m 3 利用古典概型的概率公式P A mn求出事件A的概率 若直接求解比较困难 则可以利用间接的方法 如逆向思维 先求其对立事件的概率 进而再求所求事件的概率 变式训练1 2014 课标全国 4位同学各自在周六 周日两天中任选一天参加公益活动 则周六 周日都有同学参加公益活动的概率为 解析4名同学各自在周六 周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24 16 种 其中仅在周六 周日 参加的各有1种 D 题型二几何概型问题 例2 1 设不等式组表示的平面区域为D 在区域D内随机取一个点 则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 解析如图所示 正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D 且区域D的面积为4 而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域 易知该阴影部分的面积为4 答案D 2 节日前夕 小李在家门前的树上挂了两串彩灯 这两串彩灯的第一次闪亮相互独立 且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生 然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮 那么这两串彩灯同时通电后 它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 解析如图所示 设在通电后的4秒钟内 甲串彩灯 乙串彩灯第一次亮的时刻为x y x y相互独立 由题意可知 答案C 点评 1 几何概型并不限于向平面 或直线 空间 投点的试验 如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果 每个基本结果可以用平面 或直线 空间 中的一点来表示 而所有基本结果对应于一个区域 这时 与试验有关的问题即可利用几何概型来解决 2 几何概型的概率求解 一般要将问题转化为长度 面积或体积等几何问题 在转化中 面积问题的求解常常用到线性规划知识 也就是用二元一次不等式 或其他简单不等式 组表示区域 几何概型的试验中事件A的概率P A 只与其所表示的区域的几何度量 长度 面积或体积 有关 而与区域的位置和形状无关 变式训练2 1 2014 辽宁 正方形的四个顶点A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 分别在抛物线y x2和y x2上 如图所示 若将一个质点随机投入正方形ABCD中 则质点落在图中阴影区域的概率是 2 如图 在边长为e e为自然对数的底数 的正方形中随机撒一粒黄豆 则它落到阴影部分的概率为 解析由题意知 所给图中两阴影部分面积相等 又该正方形面积为e2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由几何概型的概率计算公式得所求概率 答案A 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2015 广东 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球 其中有10个白球 5个红球 从袋中任取2个球 所取的2个球中恰有1个白球 1个红球的概率为 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 2015 福建 如图 矩形ABCD中 点A在x轴上 点B的坐标为 1 0 且点C与点D在函数f x 的图象上 若在矩形ABCD内随机取一点 则此点取自阴影部分的概率等于 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析由图形知C 1 2 D 2 2 答案B 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 2014 辽宁 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中 其中AB 2 BC 1 则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A 答案B 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 从标有1 2 3 7的7个小球中取出一球 记下它上面的数字 放回后再取出一球 记下它上面的数字 然后把两数相加得和 则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是 A 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 已知实数a b满足x1 x2是关于x的方程x2 2x b a 3 0的两个实根 则不等式0 x1 1 x2成立的概率是 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析由题意 关于x的方程x2 2x b a 3 0对应的一元二次函数f x x2 2x b a 3满足f 0 0 f 1 0 满足题意的区域为图中阴影部分 答案A 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2014 江西 掷两颗均匀的骰子 则点数之和为5的概率等于 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析掷两颗骰子 点数有以下情况 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 共36种 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 其中点数之和为5的有 1 4 2 3 3 2 4 1 共4种 答案B 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 有一底面半径为1 高为2的圆柱 点O为这个圆柱底面圆的圆心 在这个圆柱内随机取一点P 则点P到点O的距离大于1的概率为 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1 由几何概型 答案B 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 2014 重庆 某校早上8 00开始上课 假设该校学生小张与小王在早上7 30 7 50之间到校 且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的 则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 用数字作答 解析设小王到校时间为x 小张到校时间为y 则小张比小王至少早到5分钟时满足x y 5 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图 原点O表示7 30 在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域 图中正方形区域 该正方形区域的面积为400 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 在日前举行的全国大学生智能总决赛中 某高校学生开发的智能机器人在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发 每次只能移动一个单位 沿x轴正方向移动的概率是23 沿y轴正方向移动的概率为13 则该机器人移动6次恰好移动到点 3 3 的概率为 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析若该机器人移动6次恰好到点 3 3 则机器人在移动过程中沿x轴正方向移动3次 沿y轴正方向移动3次 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 2014 四川 一个盒子里装有三张卡片 分别标记有数字1 2 3 这三张卡片除标记的数字外完全相同 随机有放回地抽取3次 每次抽取1张 将抽取的卡片上的数字依次记为a b c 1 求 抽取的卡片上的数字满足a b c 的概率 解由题意知 a b c 所有的可能为 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 3 1 1 3 2 1 3 3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 2 1 2 2 2 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 3 2 3 1 2 3 2 2 3 3 3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 2 1 3 2 2 3 2 3 3 3 1 3 3 2 3 3 3 共27种 设 抽取的卡片上的数字满足a b c 为事件A 则事件A包括 1 1 2 1 2 3 2 1 3 共3种 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 求 抽取的卡片上的数字a b c不完全相同 的概率 解设 抽取的卡片上的数字a b c不完全相同 为事件B 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 2014 山东 海关对同时从A B C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测 从各地区进口此种商品的数量 单位 件 如下表所示 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 求这6件样品中来自A B C各地区商品的数量 解因为样本容量与总体中的个体数的比是 11 12 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 所以A B C三个地区的商品被选取的件数分别是1 3 2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测 求这2件商品来自相同地区的概率 解设6件来自A B C三个地区的样品分别为A B1 B2 B3 C1 C2 则从6