模态综合法.doc

6.4 子结构模态综合法简介 在结构静力分析中，对于大型复杂结构问题往往采用子结构技术，即将结构划分为若干个子结构，先进行局部分析，然后综合组集，再作整体分析。这种先局部后整体的分析方法是科学研究的普遍方法。实际上有限元法本身也就是这种分析方法的具体应用。人们为了克服大型结构动力分析的困难，从60年代以来，不断提出了各种动态子结构的方法。通过多年的实践证明，动态子结构方法已成为解决复杂结构动力分析的有效方法。它不仅能够大幅度降低动力方程的阶数，而且能够保证结构分析的精度。从解决问题所采用的方式来看，一般可把动态子结构方法分为模态综合法、界面位移综合法、迁移子结构法和超单元法。在这四类方法中，模态综合法目前使用得最为普遍。子结构模态综合法又可称为分支结构模态综合法，它的基本思想是把一复杂结构，按其结构的特点分成若干个子结构，然后用离散化方法对子结构做各种力学分析（有时也可用实验模态分析的方法）得到各子结构的分支模态，再对各子结构的物理坐标结点位移坐标进行模态坐标变换，并在此基础上对子结构进行组集把所有子结构的模态坐标简单组集成整个结构的模态坐标，再通过各子结构的界面连接条件，作第二次坐标变换，消去不独立的模态坐标，即对整个结构的模态坐标进行独立坐标变换，得到一组用独立的各子结构模态坐标组成的描述整个系统运动的独立广义坐标。由于在进行结构的模态坐标变换时，一般只选用各子结构的少数低阶分支模态，因此，组集后的整个结构的独立广义坐标数目就远小于结构离散化以后的有限元模型的整体自由度数。由此可导出整个系统的以独立的模态坐标表示的动力方程。这样，求解此低阶的系统动力学方程就简单多了。以上的分析过程可以归纳为两个基本步骤： 1. 对子结构的分支模态坐标变换； 2. 利用各子结构的界面连接条件，进行第二次坐标变换，消去不独立的模态坐标。最后得到一组独立的广义坐标。 因为模态综合方法实际上是采用子结构技术来获得一组复杂结构的品质优良的“假设模态”，此假设模态作为Ritz基所张成的模态空间可以很好的覆盖住系统的真实的低阶模态空间，所以，用模态综合法不但可以简化复杂结构的动态特性计算，而且也可以简化其响应计算。下面我们用一个实际结构的分析，来详细说明模态综合法的基本原理与方法。为了简明起见，我们将先考虑一个没有刚体自由度的简单结构的无阻尼自由振动，并且只有两个子结构的情况。 图6-6为一个两端固定的梁，将它划分为和两个子结构，并将每个子结构的物理坐标集分为内部坐标集与界面坐标集。对与两个子结构，用矢量形式表示的物理坐标为 （6-93）根据界面位移连续条件，有 （6-94）由界面力的对接条件，有 （6-95）（6-95）式表示连接部分的作用力为作用力与反作用力的关系。经简单的叠加，可得整个结构的动能为 （6-96a） 而系统的势能为 （6-96b）式中，分别是与和子结构的物理坐标相对应的质量矩阵和刚度矩阵。对各子结构作动力特性分析，并选出恰当的分支模态构成模态矩阵，对与子结构分别作模态坐标变换。 （6-97a） （6-97b）其中，分别是两个子结构的模态坐标。通常分支模态的个数远少于子结构的自由度数。式（6-97）常称为第一次坐标变换。将（6-97）式代入（6-96）式，则得到用分支模态坐标表示的系统动能与势能表达式为 （6-98a） （6-98b） 其中 （6-99a） （6-99b） （6-99c）显然，因为有方程（6-94）表示的约束条件，所以在系统的模态坐标中，并非所有的坐标都是独立的，故不能把（6-98）式表示的系统动能与势能表达式直接代入第二类Lagrange方程以求得系统的运动方程。只有从中消去不独立的模态坐标后才能使用第二类Lagrange方程。由各分支的模态坐标变换式（6-97）可得 （6-100a） （6-100b）由此可得 （6-101a） （6-101b）由界面位移连续条件（6-94）式，可得 或写为 （6-102）简记为 （6-103）式中，。式（6-103）就是一般的线性约束方程的形式。由（6-103）式便可以很方便地进行第二次坐标变换独立坐标的变换。中的独立广义坐标为，非独立的广义坐标为，即令 （6-104）于是，（6-103）式可写成为 （6-105）由此可得 （6-106）因而有： （6-107）式中称为独立坐标变换矩阵，有 （6-108）上面的（6-107）式，通常称为第二次坐标变换。由此可用独立的广义坐标来表示系统的动能与势能为 （6-109a） （6-109b）其中 （6-110a） （6-110a）于是，得到系统的无阻尼自由振动的运动方程 （6-111）其相应的广义特征值问题可写为 （6-112）这就是经过各子结构模态综合后的新方程。显然，方程的阶数等于所选取的全部分支模态的总数减去连接坐标数（即约束方程数）。对于一般的动力方程，也可得到缩减了自由度的动力方程为 （6-113）式中，由（6-110）式决定，而和可写为 （6-114） 缩减后的动力方程式（6-113），可通过直接积分等方法求解。在模态综合法中，为了描述结构在空间的位形，即其运动及变形状态，通常采用两类广义坐标：“物理（几何）坐标”和“模态坐标”。物理坐标是描述结构各点几何位置的坐标。模态坐标则是表示各个模态成分大小的坐标。这里之所以采用“模态”这一术语而不用“振型”是因为“