第5章 第2节　等差数列及其前n项和.doc

第二节等差数列及其前n项和考纲传真(教师用书独具)1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系(对应学生用书第80页)基础知识填充1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列用符号表示为an1and(nN*，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d，anam(nm)d.(2)前n项和公式：Snna1.3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列知识拓展an为等差数列，Sn是an前n项和(1)若anm，amn，则amn0，(2)若Smn，Snm，则Smn(mn)，(3)若SmSk(mk)，则Smk0.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()答案(1)(2)(3)(4)(5)2等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a30，则公差d等于()A1B1C2D2D依题意得S33a26，即a22，故da3a22，故选D3在等差数列an中，若a24，a42，则a6等于()A1B0C1D6B由等差数列的性质，得a62a4a22240，选B4(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A5B7C9D11Aa1a3a53a33a31，S55a35.5(教材改编)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.180由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.(对应学生用书第81页)等差数列的基本运算(1)(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1B2C4D8(2)设Sn为等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_. 【导学号：97190171】(1)C(2)72(1)设an的公差为d，则由得解得d4.故选C(2)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知，得解得S16163(1)72.规律方法解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”.(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解.(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程.跟踪训练(1)(2017云南省二次统一检测)设等差数列an的前n项和为Sn，S1122，a412，若am30，则m()A9B10C11D15(2)数学文化张邱建算经卷上第22题为：今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第1天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布，则第2天织布的尺数为()ABCD(1)B(2)A(1)设等差数列an的公差为d，依题意解得ama1(m1)d7m4030，m10.(2)由条件知该女子每天织布的尺数构成一个等差数列an，且a15，S30390，设公差为d，则305d390，解得d，则a2a1d，故选A等差数列的判定与证明(2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列解(1)设an的公比为q.由题设可得解得q2，a12.故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差数列规律方法等差数列的四种判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列.可用来判定与证明.(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列.可用来判定与证明.(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列.(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列.跟踪训练(1)在数列an中，若a11，a2，(nN*)，则该数列的通项为()AanBanCanDan(2)已知数列an中，a1，an2(n2，nN*)，数列bn满足bn(nN*)求证：数列bn是等差数列求数列an中的通项公式an.(1)A由已知式可得，知是首项为1，公差为211的等差数列，所以n，即an.(2)证明：因为an2(n2，nN*)，bn.所以n2时，bnbn11.又b1，所以数列bn是以为首项，1为公差的等差数列由(1)知，bnn，则an11.等差数列的性质及最值(1)(2018东北三省三校二联)等差数列an中，a1a3a539，a5a7a927，则数列an的前9项的和S9等于()A66B99C144D297(2)在等差数列an中，已知a110，前n项和为Sn，若S9S12，则Sn取得最大值时，n_，Sn的最大值为_. 【导学号：97190172】(1)B(2)10或1155(1)根据等差数列的性质知a1a3a53a339，可得a313.由a5a7a93a727，可得a79，故S999，故选B(2)法一：因为a110，S9S12，所以910d1210d，所以d1.所以ann11.所以a110，即当n10时，an0，当n12时，an0，所以当n10或11时，Sn取得最大值，且最大值为S10S111010(1)55.法二：同法一求得d1.所以Sn10n(1)n2n.因为nN*，所以当n10或11时，Sn有最大值，且最大值为S10S1155.法三：同法一求得d1.又由S9S12得a10a11a120.所以3a110，即a110.所以当n10或11时，Sn有最大值且最大值为S10S1155.规律方法1.等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，aman(mn)dd(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.(2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则S2nn(a1a2n)n(anan1).S2n1(2n1)an.2.求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.易错警示：易忽视nN.(2)邻项变号法.当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm.当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.跟踪训练(1)设Sn是等差数列an的前n项和，若，则()A1B1C2D(2)设Sn是等