2019_2020学年高中数学第8章向量的数量积与三角恒等变换8.2三角恒等变换8.2.1两角和与差的余弦学案.docx

8.2.1两角和与差的余弦学 习 目 标核 心 素 养1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用(难点)2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式(重点)3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值(重点)1.通过两角和与差的余弦公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养2.借助两角和与差的余弦公式的应用，培养学生的数学运算核心素养.两角和与差的余弦公式C：cos()cos_cos_sin_sin_.C：cos()cos_cos_sin_sin_.思考：用向量法推导两角差的余弦公式时，角、终边与单位圆交点P1、P2的坐标是怎样得到的？提示依据任意角三角函数的定义得到的以点P为例，若设P(x，y)，则sin ，cos ，所以xcos ，ysin ，即点P坐标为(cos ，sin ).1.cos 22cos 38sin 22sin 38的值为()ABCDA原式cos(2238)cos 60.2.化简cos()cos sin()sin 为()Asin(2)Bcos(2)Ccos Dcos C原式cos()cos .3.cos(40)cos(20)sin(40)sin(20)_.cos(40)cos(20)sin(40)sin(20)cos(40)(20)cos(60)cos 60.利用两角和与差的余弦公式化简求值【例1】(1)cos 345的值等于()ABCD(2)化简下列各式：cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)；sin 167sin 223sin 257sin 313.思路探究利用诱导公式，两角差的余弦公式求解(1)Ccos 345cos(36015)cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.(2)解原式cos(21)(24)cos 45，所以原式.原式sin(18013)sin(18043)sin(18077)sin(36047)sin 13sin 43sin 77sin 47sin 13sin 43cos 13cos 43cos(1343)cos(30).1.在两角和与差的余弦公式中，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体2.两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值1.求下列各式的值：(1)cos ；(2)sin 460sin(160)cos 560cos(280)；(3)cos(20)cos(40)sin(20)sin(40)解(1)cos coscos coscos.(2)原式sin 100sin 160cos 200cos 280sin 80sin 20cos 20cos 80(cos 80cos 20sin 80sin 20)cos 60.(3)cos(20)cos(40)sin(20)sin(40)cos(20)(40)cos 60.给值(式)求值【例2】(1)已知cos ，则cos_.(2)，为锐角，cos()，cos(2)，求cos 的值思路探究(1)可先求得sin ，再用两角差的余弦公式求cos.(2)可考虑拆角即(2)()来求cos .(1)因为cos ，所以sin ，所以coscos cos sin sin .(2)解因为，为锐角，所以0.又因为cos()，所以0，所以02.又因为cos(2)，所以02，所以sin()，sin(2)，所以cos cos(2)()cos(2)cos()sin(2)sin().给值求值的解题步骤：(1)找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异.(2)拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：()，()，(2)()，()()，()()等.(3)求解.结合公式C求解便可.2.已知cos ，cos()，且，求cos 的值解，(0，)又cos ，cos()，sin ，sin().又()，cos cos()cos()cos sin()sin .已知三角函数值求角【例3】已知，均为锐角，且cos ，cos ，求的值思路探究本题可先求出cos()的值，结合的范围，再求出的值解，均为锐角，cos ，cos ，sin ，sin ，cos()cos cos sin sin .又sin sin ，0，0.故.1.这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，角可求解2.确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定3.设，是锐角，sin ，cos()，求证：.证明由0，0，知0，又cos()，故sin().由sin ，可知cos ，cos cos()cos()cos sin()sin ，.利用角的变换求三角函数值探究问题1.若已知和的三角函数值，如何求cos 的值？提示cos cos()cos()cos sin()sin .2.利用()可得cos 等于什么？提示cos cos()cos cos()sin sin()3.若cos cos a，sin sin b，则cos()等于什么？提示cos().【例4】若0，0，cos，cos，则cos的值为()ABCD思路探究利用角的交换求解，.C0，0，又cos，cos，sin，sin，coscoscoscossinsin.故选C巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：单角变为和(差)角，如()，等；倍角化为和(差)角，如2()()等.4设cos，sin，其中，求cos 的值解，sin，cos，cos coscoscossinsin.对公式C()和C()的三点说明(1)公式的结构特点：公式的左边是差(和)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和(差)式，可用口诀两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”(2)公式的适用条件：公式中的，不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的角，“”相当于公式中的角.(3)公式的“活”用：公式的运算要“活”，体现在顺用、逆用、变用而变用又涉及两个方面：公式本身的变用，如cos()cos cos sin sin .角的变用，也称为角的变换，如cos cos()等.1.下列式子中，正确的个数为()cos()cos cos ；cos sin ；cos()cos cos sin sin .A0个B1个C2个D3个A由cos()cos cos sin sin 知错误，cos sin ，故错误，故选A2.已知锐角，满足cos ，cos()，则cos 等于()ABCDA因为，为锐角，cos ，cos()，所以sin ，sin()，所以cos cos()co