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第五章 旋涡理论 1 本章讨论内容 1 漩涡场的基本概念 涡线 涡管 漩涡强度速度环量 2 司托克斯定理 3 汤姆逊定理 4 海姆霍兹定理 5 毕奥 沙伐尔定理 6 漩涡诱导速度的一般提法 7 兰金组合涡 2 圆柱绕流尾流场中的旋涡 有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡 圆球绕流尾流场中的旋涡 弯曲槽道内的二次流 3 流体流过固体壁面时 除壁面附近粘性影响严重的一薄层外 其余区域的流动可视为理想流体的无旋运动 旋涡运动理论广泛地应用于工程实际 机翼 螺旋桨理论等 旋涡与船体的阻力 振动 噪声等问题密切相关 4 流场涡场 流速v流量Q流线流线方程流管流束元流 涡量 涡通量J涡线涡线方程涡管涡束涡丝 旋涡运动基本概念 5 涡量 用来描述流体微团的旋转运动 涡线是在给定瞬时和旋转角速度矢量相切的曲线 涡线的微分方程 某一瞬时 在漩涡场中任取一封闭曲线 不是涡线 通过曲线上每一点作涡线 这些涡线形成封闭的管形曲面 截面无限小的涡管称为微元涡管 1 涡线 2 涡管 3 涡束 涡管中充满着的作旋转运动的流体 微元涡管中的涡束称为涡索或涡丝 旋转角速度 6 4 旋涡强度 涡通量 通过任一开口曲面的涡量总和的一半 为任意微元面积d 上的旋涡强度 涡通量 为任意面积 上的旋涡强度 如果面积 是涡管的某一横截面积 为涡管强度 速度向量的切向分量沿某一封闭周线的线积分 规定沿曲线逆时针绕行的方向为正方向 沿曲线顺时针绕行的方向为负方向 5 速度环量 7 对于无旋流场 对于有旋场 速度环量的计算 1 已知速度场 求沿一条开曲线的速度环量 由公式计算 8 2 若已知速度场 求沿一条闭曲线的速度环量 对于无旋场 对于有旋场 此式称为斯托克斯定理 9 斯托克斯 Stokes 定理 在涡量场中 沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围曲面面积的旋涡强度的两倍 即 速度环量与旋转角速度关系 给出了通过速度环量计算旋涡强度的方法 推广到有限大平面 10 3 复连通区域的修正 双连通区域的斯托克斯定理 沿外边界逆时针的环量 L 沿内边界顺时针的环量 11 推论一单连通区域内的无旋运动 流体中的旋度处处为零 则沿任意封闭周线的速度环量为零 即 推论二对于包含一个翼截面在内的双连通区域 如果流动是无旋的 则沿任何两个包含翼截面在内的封闭周线的环量彼此相等 即 反之 若沿任意封闭周线的速度环量等于零 可得处处为零的结论 但沿某闭周线的速度环量为零 并不一定无旋 可能包围强度相同转向相反的旋涡 与积分路径方向一致时 12 例5 2已知速度分布 求涡线方程 const 13 例5 3已知漩涡强度 求速度环量 方法 详见p141 斯托克斯定理 式 5 1 11 14 例5 4已知速度向量 求绕圆心的速度环量 方法 详见p142 由速度环量定义 式 5 1 9 直接积分求得 注 最后公式中R平方无必要 但结果正确 15 旋涡运动基本定理 Thomson定理 Kelvin定理 旋涡强度的保持性定理 定理 沿封闭流体线的速度环量不随时间变化 1 理想流体2 正压流体 3 在有势质量力作用下 适用条件为 16 17 18 旋涡运动基本定理 1 理想流体2 正压流体 3 在有势质量力作用下 Lagrange定理 涡量保持性 不生不灭 定理 定理 若某一时刻流场无旋 则以后的流动始终无旋 Thomson定理和Lagrange定理适用条件为 旋涡起因 粘性 均匀流体经过物体边界层时运动变为有旋 非正压流场 大气和海洋中的密度分层形成旋涡 非有势力场 地球哥氏力使气流生成旋涡 旋风 流场的间断 非连续 曲面激波后形成有旋流动 19 亥姆霍兹 Helmholtz 定理 1 亥姆霍兹第一定理 在同一瞬间涡管各截面上的旋涡强度都相同 涡管强度空间守恒 由斯托克斯定理 因为 内 所以 由斯托克斯定理上式写成 20 由该定理得到 涡管 涡线 本身首尾相接 形成一封闭的涡环或涡圈 涡管 涡线 两端可以终止于所研究流体的边壁上 固体壁面或自由面 不可能的情况 涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始 否则 时有 涡管存在的形式 要么终止于流体边界或固体边界 要么自行封闭形成涡环 结论 21 2 亥姆霍兹第二定理 涡管保持定理 涡管上的封闭轴线 3 亥姆霍兹第三定理 涡管强度时间守恒定理 综上所述 Thomson Lagrange及Helmholtz定理全面地描述了理想正压流体在有势场中运动时涡量演化的规律 若流体理想 正压 质量力有势 无旋运动永远无旋 有旋运动永远有旋 涡线 涡面 涡管及涡管强度具有保持性 若不满足Kelvin任一条件 则运动过程中会产生新的旋涡 无旋变成有旋 不具备保持性 流场中的涡管始终由相同的流体质点组成 任一涡管强度不随时间变化 22 5 5 漩涡诱导速度场的一般提法 泊松方程 通过上式由漩涡场先求出辅助矢量 再求出速度场 23 4 5 4Biot Savart定理 涡线的诱导速度 电流诱导磁场强度 旋涡诱导流体速度 水电比拟 物理现象不同 但满足相同的数学方程 其数学解相同 电磁场方程流场 磁场强度H磁场势V电流面密度 电流强度i 流体速度v速度势 涡量 速度环量 24 Biot Savart定理 电流诱导磁场强度 旋涡诱导流体速度 如要研究空间有限长涡丝在P点的诱导速度 则将上式积分得 直涡丝 25 诱导速度方向指向纸外 直线涡丝段对P点所产生的诱导速度为 直涡丝 26 半无限长直涡线 1 90 2 180 诱导速度场除点r 0外处处无旋 v 0 尽管涡线本身是有旋的 它诱导的速度场是无旋的 第三章已证明 无限长直涡线 1 0 2 180 平面点涡诱导速度场 平面点涡诱导速度场的速度势和流函数 27 例5 1如图5 16 p99 100 所示 求两种情况下 两点的运动 位移规律 方法 由 5 22 式求出两点的速度 在积分即得 a 积分常数由初始条件 t 0 确定 b 由于两点速度相反 故为绕原点的圆周运动 28 5 6 二维旋涡的速度和压强分布 设流场中有一半径为 的无限长圆柱形流体象刚体一样绕其轴线转动 角速度为 例3 4 5已证明 圆柱内的流体运动有旋 且旋涡角速度就是 由于直线涡束无限长 这样的旋涡以及它的诱导速度场可作为平面涡处理 由于旋涡诱导的速度场是无旋的 在讨论整个流场的速度和压力分布时 亦须将旋涡内部和外部分开 29 5 6 二维旋涡的速度和压强分布如图5 17所示 涡束内的流动为有旋流动 称为涡核区 涡束外的流动区域为无旋流动 称为环流区 一 速度分布1 旋涡内部 5 27 2 旋涡外部 5 28 在环流区内 速度分布为 涡束内部的速度分布为 30 上式表明 越靠近中心 速度越大 压力越小 在旋涡的边界上 相应压力为 二 压力分布1 旋涡外部 定常且无旋可用拉格朗日积分 在涡束边缘上 流速达该区的最高值 而压强则是该区的最低值 由于涡束内部为有旋流动 伯努利积分常数随流线变化 故其压强分布可由欧拉运动微分方程导出 对于平面定常流动 欧拉运动微分方程为 2 旋涡外部 定常但有旋 伯努力方程中的常数沿径向变化 31 将涡核内任意点的速度投影到直角坐标上 则有 代入上式得 将和分别乘以以上二式 相加后得 积分得 在旋涡边缘处 32 讨论 1 从以上分析可知 从旋涡外部无限远处向旋涡中心接近时 压力不断降低 在中心处为最低 在边缘处则降低一半 2 内外压力和速度的关系不同 外部速度越大压力越小 参见 5 28 和 5 30 式 内部速度越大压力也越大 参见 5 27 和 5 33 式 旋涡内部的压力分布为 在旋涡中心速度为零 故其相对压力为 33 涡核区边缘至涡核中心的压强差为 由以上讨论可知 涡核区和环流区的压强差相等 其数值均为 涡核区的压强比环流区的的低 在涡束内部 半径愈小 压强愈低 沿径向存在较大的压强梯度 所以产生向涡核中心的抽吸作用 涡旋越强 抽吸作用越大 自然界中的龙卷风和深水旋涡就具有这种流动特征 具有很大的破坏力 34 具有自由表面流场中的铅直方向的圆柱形涡 压力分布 兰金组合涡 1 旋涡内部 水面的形状是以回转抛物面 2 旋涡外部 水面的凹陷与半径的平方成反比 35 水面旋涡的涡量在中心附近为最大 向外逐渐减少 作为一种近似 可认为是由涡量均匀分布的核心部分 称涡核 和其外部的无旋流动两部分所组成 可直接应用本节的结果 实际情况 兰金组合涡在气象学中常被用作台风中心的物理模型 36 例 9 试证强度为 半径为a的圆形线