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3 1 1方程的根与函数的零点 方程 X2 2x 1 0 X2 2x 3 0 y x2 2x 3 y x2 2x 1 函数 函数的图象 方程的实数根 x1 1 x2 3 x1 x2 1 无实数根 1 0 3 0 1 0 无交点 X2 2x 3 0 y x2 2x 3 函数的图象与x轴的交点 方程ax2 bx c 0 a 0 的根 函数y ax2 bx c a 0 的图象 判别式 b2 4ac 0 0 0 函数的图象与x轴的交点 有两个相等的实数根x1 x2 没有实数根 x1 0 x2 0 x1 0 没有交点 两个不相等的实数根x1 x2 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 函数零点的定义 注意 零点指的是一个实数 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 等价关系 y x2 x 20 2 y 2x 1 例1 求下列函数的零点 练习 下列说法正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 B 0 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 x y 探究 结论 例 思考1 函数y f x 在区间 a b 上的图象是一条连续不断的曲线 若函数y f x 在区间 a b 内有零点 一定能得出f a f b 0的结论吗 结论 函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 1 f a f b 0函数y f x 在区间 a b 内有零点 2 函数y f x 在区间 a b 内有零点f a f b 0 思考2 如果函数y f x 在 a b 上是连续的单调函数 并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f a f b 0 那么这个函数在 a b 内的零点个数能确定吗 例2 解 用计算器或计算机作出x f x 的对应值表 表3 1 和图象 图3 1 3 4 1 3069 1 0986 3 3863 5 6094 7 7918 9 9459 12 0794 14 1972 由表3 1和图3 1 3可知 f 2 0 即f 2 f 3 0 说明这个函数在区间 2 3 内有零点 由于函数f x 在定义域 0 内是增函数 所以它仅有一个零点 思考 还有没有其他方法 例3 解 作出函数的图象 如下 因为f 1 1 0 f 1 5 2 875 0 所以f x x3 3x 5在区间 1 1 5 上有零点 又因为f x 是 上的减函数 所以在区间 1 1 5 上有且只有一个零点 例4 已知函数y f x 在区间 a b 上是连续不断的曲线 判断下列结论 正确的是 5 课堂练习 无数个 温馨提示 函数零点方程根 图象连续不能忘 数形本是同根生 端值计算是根本 借问零点何处有 端值互异零点生 课堂小结 函数零点的定义 2 函数的零点与方程的根的关系 3 确定函数的零点大致区间的方法 1 求下列函数的零点 1 y x2 6
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